Lycée Louis Barthou Denis Augier
Chapitre 16 résumé : Polynômes.
Dans ce chapitreKdésignera indifféremmentRouC.
A Ensemble des polynômes
Soitpa0, a1,¨ ¨ ¨, anq PKn`1 etP l’application polynomiale : @xPK, Ppxq “a0`a1x` ¨ ¨ ¨ `anxn“
n
ř
k“0
akxk Alorsai est le coefficient d’indice ideP. Par convention on noteX l’applicationxÞÑx.
Avec ces notationsP :xÞÑ
n
ř
k“0
akxk se notePpXqouP “
n
ř
k“0
akXk.
On noteKrXsl’ensemble des polynômesà coefficients dansKetKnrXs l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égale àn.
Définition 1(Notation des polynômes)
SoientP “
n
ř
k“0
akXk,Q“
d
ř
j“0
bjXj etλPK. On définit alors les polynômes suivants :
• P`Q“
maxpn,dq
ř
k“0
pak`bkqXk où, par convention ak “0 sikąnet bk “0 si kąd.
• λP “
n
ř
k“0
λakXk
• P Q“
n`d
ř
k“0
ckXk où@kPJ0, n`dK, ck“
k
ř
j“0
ajbk´j par conventionak“0 si kąnetbk“0 sikąd.
• P˝Qest le polynôme définit parP˝Q:xÞÑPpQpxqq. Il n’y pas vraiment d’écriture simple deP˝Q.
Définition 2(Opérations de base)
SoitP“
n
ř
k“0
akXk un polynôme non-nul, alors degpPq “maxtkPJ0, nK, ak“0u. On posera degp0q “ ´8.
SoitP et Qdeux polynômes etλPK˚. On a alors (en utilisant les formules d’opération sur les limites)
• degpP`Qq ďmaxpdegpPq,degpQqq
• degpλPq “degpPq
• degpP Qq “degpPq `degpQq
• degpP˝Qq “degpPq ˆdegpQq Si degpPq ‰degpQqalors degpP`Qq “maxpdegpPq,degpQqq.
Définition-Proposition 1(Degré d’un polynôme)
SoitpP, Qq PKrXs2 etλPK. SiP “
d
ř
k“0
akXk. On appelle polynôme dérivé deP le polynôme, notéP1 défini parP1“
d
ř
k“1
kakXk´1
On appellek-ième polynôme dérivée dePle polynômePpkqdéfini par récurrence
# Pp0q“P
@kPN Ppk`1q“ pPpkqq1
• pλPq1“λP1
• pP`Qq1“P1`Q1
• pP Qq1 “P1Q`P Q1
• pP˝Qq1“Q1ˆ pP1˝Qq SinPNon a la formule de Leibniz pour les polynôme pP Qqpnq“
n
ř
k“0
`n k
˘PpkqQpn´kq
SoitPPKrXsun polynôme. Si degpPq ěk, alors degpPpkqq “degpPq ´k Définition-Proposition 2(Polynôme dérivé)
BCPST 1 2019-2020 1
Lycée Louis Barthou Denis Augier
SoitPPKrXsun polynôme de degrénet λPK. Alors P “
n
ř
k“0
Ppkqp0q k! Xk “
n
ř
k“0
Ppkqpλq
k! pX´λqk Théorème 3 (Coefficients et dérivation)
Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.
Proposition 4(Égalité de polynômes )
B Racines et factorisation
SoitPPKrXsetaPK. On dit queaest une racine deP siPpaq “0.
SoitP PKrXsun polynôme non-constant et soitQPKrXs. On dit queP se factorise parQs’il existeRPKrXs tel queP “QR.
SoitPPKrXsetλPK.
P se factorise parX´λsi et seulement siλest une racine deP.
Définition-Proposition 5(Racine simple d’un polynôme)
SoitP un polynôme nul et soitpλ1,¨ ¨ ¨, λkq PKk des racines distinctes deP. Alors il existeQPKrXstel que P “ pX´λ1qpX´λ2q ¨ ¨ ¨ pX´λkqQ
En particulier on akďdegpPq
Théorème 6 (factorisation et racines)
SoitPPKrXsetλPK. On dit queλest une racine deP s’il existemPN˚ et QPKrXstels que P “ pX´λqmQ
avecQpλq ‰0. On appelle alorsml’ordre de multiplicitédeλou simplement la multiplicité deλ.
Dés lorsλest une racine de multiplicitémdeP si et seulement si
Ppλq “P1pλq “ ¨ ¨ ¨ “Ppm´1qpλq “0 et Ppmqpλq ‰0 Définition-Proposition 7(Racine multiple)
C Existence de racine
SoitPPCrXs(remarquons queRrXs ĂCrXs). AlorsP admet au moins un racine dansC.
SoitP PCrXsun polynôme de degrén.Padmet alors exactementnracines complexes comptées avec multiplicité On remarque alors que siPPKnrXset P possède strictement plus de n racines alorsP est nul.
Théorème 8 (Polynôme à coefficients complexes : théorème de d’Alembert Gauss)
SoitPPRrXset λPCune racine deP de multiplicitém. Alors ¯λest une racine deP de multiplicitém.
SoitPPRrXsun polynôme de degré impair. AlorsP admet au moins une racine réelle.
Proposition 9(Polynôme à coefficients réels )
BCPST 1 2019-2020 2
