Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚23 Espaces vectoriels
Notation :La lettreKd´esigneRouC.
Exercice 217 : Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels deK3? 1. F1:={ (x, y, z)∈K3|xy+z= 0}
2. F2:={(a, a+b, a+b+c)|(a, b, c)∈ K3} 3. F3:={(x, y, z)∈K3|7x−5y+ 12z= 0}
4. F4:={(a,1, b)|(a, b)∈K2}
Exercice 218 : Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels deF(R,R) ? 1. F1:={f ∈ F(R,R)|f est croissante surR}
2. F2 :={f ∈ F(R,R)|f est 2π-p´eriodique}
3. D1(R,R) :={f ∈ F(R,R)|f est d´erivable surR}
4. F3:={f ∈f ∈ F(R,R)|f est deux fois d´erivable sur Ret f′′+f′+f = 1}
5. B(R,R) :={f ∈ F(R,R)|f est born´ee surR} 6. F4:={f ∈ F(R,R)|f est affine}
7. F5:={f ∈ F(R,R)|f est deux fois d´erivable surRet f′′+f = 0}
Exercice 219 : Soitn∈N. On pose :
Kn[X] :={P ∈K[X]| deg(P)≤n}.
D´emontrer queKn[X] est un sous-espace vectoriel deK[X].
Exercice 220 : Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel. SoientF1, F2deux sous-espaces vectoriels deE. D´emontrer queF1∪F2 est un sous-espace vectoriel deE si et seulement siF1⊂F2 ouF2⊂F1.
Exercice 221 : Soit u1 := (1,1,2), u2 := (2,2,1), v1 = (1,1,1) et v2 := (1,1,−1). D´emontrer que les sous- espaces vectoriels Vect({u1, u2}) et Vect({v1, v2}) deR3 sont ´egaux.
Exercice 222 : Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel.
1. Soientu1, . . . , un des vecteurs deE et soientλ1, . . . , λn des scalaires non nuls, o`unest un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. D´emontrer que :
Vect({λ1.u1, . . . , λn.un}) = Vect({u1, . . . , un}).
2. Soientu1, . . . , un des vecteurs deE, o`un est un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. D´emontrer que si un∈Vect({u1, . . . , un−1}) alors :
Vect({u1, . . . , un−1, un}) = Vect({u1, . . . , un−1}).
3. Soientuetv des vecteurs deE. D´emontrer que Vect({2u,3v,4u+ 5v}) = Vect({u, v}).
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Exercice 223 : SoitF d´efini par :
F :=
(x1, x2, x3, x4)∈R4
x1 + x3 = 0 x2 − x4 = 0
et soiente1:= (1,0,0,0), e2:= (0,1,0,0).
1. Justifier queF etG:= Vect(e1, e2) sont des sous-espaces vectoriels deR4.
2. D´emontrer queF est engendr´e par deux vecteurs, i.e. qu’il existe deux vecteursu1 etu2 deR4tels que F := Vect(u1, u2).
3. D´emontrer queF⊕G=R4.
4. D´ecomposer le vecteurv:= (1,2,3,4)∈R4 relativement `a la d´ecompositionF⊕G=R4.
Exercice 224 : Soitn∈N∗. On noteSn(K) (resp.An(K)) l’ensemble des matrices de formatn×n`a coefficients dansKqui sont sym´etriques (resp. antisym´etriques). On a donc :
Sn(K) :={M ∈ Mn(K)| tM =M} et An(K) :={ M ∈ Mn(K)| tM =−M}.
D´emontrer queSn(K) etAn(K) sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deMn(K).
Exercice 225 : Soient aetbdes nombres r´eels tels quea < b.
1. D´emontrer que :
C0([a, b],R) :={ f ∈ F([a, b],R)|f est continue sur [a, b]}
est un sous-espace vectoriel deF([a, b],R).
2. SoientF1et F2 d´efinies par :
F1:=
(
f ∈ C0([a, b],R)
Z b
a
f(x)dx= 0 )
et F2:=
[a, b] → R
x 7→ k
k∈R
.
D´emontrer queF1 etF2 sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deC0([a, b],R).
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