Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 25 (24/05 – 28/05)
NB : Les colles devraient pouvoir se dérouler normalement cette semaine, les cours de l’après-midi étant tous en présentiel. N’oubliez cependant pas de prévoir un rattrapage pour les colles de lundi.
Chapitre 23 : Espaces vectoriels
1. Notion d’espace vectoriel
‚ Définition et généralités
˚ Définition, propriétés0¨x,λ¨0,p´1q ¨x. Terminologie adaptée (vecteurs, scalaires)
˚ Combinaisons linéaires.
˚ Espace de référence : fonctionsEF lorsqueE est unK-ev. En particulier si E“K.
˚ Kn,KnrXs...
˚ Produit cartésien deK-ev
‚ Sous-espaces vectoriels
˚ Définition. Caractérisation.
˚ Exemples importants :KrXs,CnpI,Rq...
˚ Droite vectorielle. Deux droites vectorielles deEsoit ont une intersection réduite àt0u, soit sont confon- dues.
˚ Description des sev deR2 (étude élémentaire avec les moyens du bord)
˚ Intersection de sev
˚ VectpXq: définition par minimalité, description par CL.
‚ Sommes
˚ Sommes de 2 sev, d’un nombre fini de sev
˚ VectpXYYq “VectpXq `VectpYq
˚ Somme directe de 2 sev, d’un nombre fini de sev.
˚ Caractérisation de la somme directe par unicité de la décomposition.
˚ Supplémentaire.
˚ Avec axiome du choix : existence d’un supplémentaire (démonstration non exigible) 2. Familles de vecteurs
‚ Familles libres, caractérisation par unicité de la décomposition, par la somme directeÀ
Kxi. Famille liée.
‚ Préservation de la liberté par restiction. CNS pour que l’ajout d’un vecteur préserve la liberté.
‚ Famille libre maximale.
‚ Familles génératrices
‚ Stabilité par ajout, CNS pour préserver le caractère générateur en ôtant un vecteur.
‚ Famille génératrice minimale.
‚ Base. Caractérisation par minimalité pour une famille libre ou maximalité pour une famille génératrice.
‚ Exemples importants (bc deKn, de KrXs, famille échelonnée en degrés dans KrXs) 3. Dimension finie
‚ Théorie de la dimension
˚ Définition d’un espace de dimension finie. Extraction d’une famille génératrice finie de toute famille génératrice.
˚ Théorème de la base incomplète (version forte) : on peut compléter toute famille libre en une base par ajout de vecteurs d’une famille génératrice donnée.
˚ Corollaire : thm de la base extraite (extraction d’une base d’une famille génératrice), de la base incomplète (possibilité de compléter toute famille libre en une base) ; Corollaire : existence d’une base finie.
˚ Théorème d’échange
˚ Théorème de la dimension. Définition de la dimension.
˚ Dimension d’un produit cartésien.
‚ Rang d’une famille de vecteurs
˚ Définition du rang d’une famille. Majoration du rang par le cardinal, cas d’égalité.
˚ Majoration du cardinal d’une famille libre, minoration du cardinal d’une famille génératrice. Caractéri- sation des bases par liberté et cardinal ; de même pour les familles génératrices.
‚ Dimension de sous-espaces vectoriels
˚ Un sev deEde dimension finie est aussi de dimension finie ; Inégalité sur les dimensions et cas d’égalité.
˚ Dimension d’une somme directe de 2 sev, de nsev
˚ Existence (sans AC) et dimension d’un supplémentaire en dimension finie.
˚ Formule de Grassmann.
˚ Majoration de la dimension d’une somme densev.
˚ Avertissement : ne pas généraliser la formule de Grassmann par analogie avec la formule du crible de Poincaré.
Chapitre 24 : Applications linéaires
1. Généralités
‚ Définition, respect du neutre, caractérisation par conservation des CL
‚ Exemples. En particulier l’exemple générique X ÞÑ M X, M étant une matrice (le calcul matriciel est vaguement connu, mais le cours sur les matrices n’a pas encore eu lieu)
‚ NotationLpE, Fq. Structure d’ev deLpE, Fq.
‚ Composée de deux AL. Bilinéarité de la composition.
‚ Images directes et réciproques de sev.
‚ Noyau et image d’une AL. Ce sont des sev deE etF respectivement.
‚ Caractérisation de l’injectivité.
‚ Comment obtenir une famille génératrice de Impfq à partir d’une famille génératrice de E. Cas de f P LpKp,Knqdéfini par une matrice.
‚ Isomorphisme. Réciproque d’un isomorphisme (démonstration non refaite, on avait justifié cette propriété dans une situation générale, pour une structure munie d’un certain nombre de lois).
‚ Endomorphismes. NotationLpEq, structure d’algèbre. Endomorphismes nilpotents.
‚ Polynômes d’endomorphisme. pP Qqpuq “Ppuq ˝Qpuq. Polynôme annulateur, polynôme minimal (HP en sup). Existence.
‚ Automorphismes,GLpEq, structure de groupe.
2. Projecteurs et symétries
‚ Définitions algébriques (par polynôme annulateur)
‚ Définition des projections et symétries géométriques (vectorielles).
‚ Caractérisation des éléments de l’image d’un projecteur.
‚ Caractérisation géométrique des projecteurs et des symétries 3. Applications linéaires et familles de vecteurs
‚ Détermination d’une AL par l’image d’une base (propriété de rigidité)
‚ Exemple : base deLpE, Fqadaptée à des bases deEet de F. Dimension deLpE, Fq.
‚ Caractérisation de l’injectivité par l’image de toutes les familles libre, ou par l’image d’une base (sous reserve d’existence d’une base, ce qui est assuré en dimension finie, ou de façon générale en admettant l’AC).
‚ Caractérisation de la surjectivité par l’image de toutes les familles génératrices, ou par l’image d’une base (sous reserve d’existence d’une base).
‚ Caractérisation de la bijectivité par l’image d’une base
‚ Comparaison des dimensions d’espaces isomorphes.
‚ Détermination d’une AL par restriction à des sous-espaces décomposantE en somme directe.
4. Applications linéaires en dimension finie
‚ Rang d’une AL, majoration pardimE et dimF, cas d’égalité, pour chacune des deux majorations.
‚ Caractérisation des isomorphismes en dimension finie.
‚ La composition diminue le rang. Cas d’égalité. Invariance du rang par composition par un isomorphisme.
‚ Noyau d’une restriction.
‚ SiS est un supplémentaire de Kerpfq, f˜:SÑImpfqest un isomorphisme.
‚ Théorème du rang.
5. Formes linéaires
‚ Forme linéaire. Espace dual.
‚ Hyperlplan. Caractérisation par la dimension (en dimension finie). Caractérisation par la codimension i.e.
par l’existence d’un supplémentaire de dimension 1.
‚ Comparaison de deux équations de H : siH “Kerpϕq, alorsH “Kerpψq ðñψPVectpϕqzt0u.
‚ Minoration de la dimension de l’intersection d’hyperplans.
‚ (en dim finie) Tout sev de codimensionm s’écrit comme intersection demhyperplan.
‚ NB : Pas de dualité au programme (pas de base duale, d’adjoint, de principe de dualité etc)
Chapitre 25 : Matrices
UNIQUEMENT LE COURS CETTE SEMAINE 1. Matrice d’une AL ; opérations matricielles
‚ L’ensemble des matrices de typepn, pq
˚ Définition d’une matrice à coefficients dans un corpsK. NotationMn,ppKq.
˚ Matrices carrées, notationMnpKq.
˚ Matrice-colonne, matrice-ligne
‚ Matrice d’une AL
˚ Matrice-colonne des coordonnées d’un vecteur dans une base. Matrice des coordonnées d’une famille de vecteurs dans une base.
˚ Définition de la matrice d’une AL relativement aux bases B (de l’espace de départ) etC (de l’espace d’arrivée).
˚ MatB,C est une bijection de LpE, Fq dans Mn,ppKq (avec p “ dimE, n “ dimF). On ne parle pas encore d’isomorphisme, puisque la définition de la structure d’ev deMn,ppKqn’est pas encore donnée à ce stade.
˚ Des exemples importants, notamment :
— la matrice relativement aux bases canoniques dansLpKp,Knq: on retrouveM telle quefpXq “M X (forme générale d’un élément deLpKp,Knqjustifiée lors du chapitre précédent)
— Matrice d’un endomorphisme nilpotent d’indice n, d’un espace lui-même de dimension n, dans une base bien choisie.
‚ Structure d’espace vectoriel deMn,ppKq.
˚ Définition de la somme de deux matrices et du produit par un scalaire, par transfert des opérations correspondantes dansLpE, Fq, après choix de bases fixées, via la bijectionMatB,C.
˚ Description par les coefficients, indépendance vis-à-vis du choix des espaces E etF et de leurs bases.
˚ Le théorème de transfert (déjà démontré avant) assure le transfert de la structure d’ev de LpE, Fqet le fait queMatB,C est alors un isomorphisme.
˚ Base canonique deMn,ppKq(directement ou par exemple par image de la basepui,jqdeLpE, Fqdéfinie par les basesBet CdeE et deF. Dimension deMn,ppKq.
‚ Produit matriciel
˚ Définition par transfert de la composition des AL. Description par CL des colonnes de la matrice de gauche. Indépendance vis-à-vis du choix deE,F et leurs bases.
˚ Par définition, on obtient le théorème relatif à la matrice associée à une composée (Matpf ˝ gq “ MatpfqMatpgqavec les bonnes bases pour chaque matrice)
˚ Propriétés transférés : associativité, distributivité. Le produit matriciel n’est pas commutatif
˚ Définition :In“MatB,BpidEqquel que soitEde dimensionnet une baseB. ConséquenceIn est neutre à gauche dansMn,ppKq, etIp est neutre à droite.
‚ Produit matriciel revisité
˚ Description coefficient par coefficient.
˚ Description comme combinaison linéaire des lignes de la matrice de droite.
˚ Produit de matrices Ei,j de la base canonique.
‚ Expression matricielle de l’évaluation.
˚ rfpXqsC “MatB,CpfqrXsB
˚ Comment trouver les coordonnées de vecteurs du noyau def, en cherchant des relations entre les colonnes deMatB,Cpfq.
‚ Transposition
˚ Définition, linéarité
˚ Transposée d’un produit.
˚ NB : la notion d’adjoint n’est pas au programme et n’a pas été évoquée, sauf au détour d’une question posée.
2. Matrices carrées
‚ L’algèbreMnpKq
˚ Matrice d’un endomorphisme (avec même base au départ et à l’arrivée), notation allégéeMatBpfq.
˚ Structure d’algèbre de MnpKq(par transfert de celle deLpEq). NeutreIn.
˚ Propriétés calculatoires découlant de la structure d’anneau : factorisation de Bernoulli, formule du bi- nôme. Attention à l’hypothèse de commutation.
˚ Exemple : calcul deAn par méthode du binôme
˚ Polynôme annulateur, existence d’un polynôme annulateur non nul. Polynôme minimal.
˚ Utilisation d’un polynôme annulateur pour le calcul de An.
‚ Matrices triangulaires, matrices diagonales
˚ Définitions. Décompositions de MnpKqen sommes directes associées aux matrices triangulaires, diago- nales, strictement triangulaires.
˚ Produit de deux matrices triangulaires. description des coefficients diagonaux.
˚ Produit de matrices diagonales.
˚ Structure d’algèbre de Dn, Tn`et Tn´.
˚ (HP) On a aussi évoqué les règles de produit de matrices deTn,k` pKq(matrices de type triangulaires avec première diagonale non nulle décalée).
˚ NB : contrairement aux années passées, la notion de drapeau n’a pas été évoquée, toutes les preuves ont été faites directement avec la description des coefficients.
‚ Matrices symétriques et antisymétriques
˚ Définitions. Diagonale d’une matrice antisymétrique
˚ Supplémentarité. Dimensions.
‚ Matrices inversibles
˚ Définition, caractérisation par la bijectivité d’un endomorphisme associé.
˚ CS : il suffit queA(carrée) soit inversible à gauche ou à droite.
˚ NotationGLnpKq, structure deGLnpKq.
˚ Inverse d’un produit. Inverse d’une transposée.
˚ CNS d’inversibilité pour les matrices triangulaires.
‚ Expression matricielle du pivot de Gauss
˚ Traduction des opérations sur les lignes par multiplication à gauche par certaines matrices inversibles de codage des opérations.
˚ Expression des inverses de ces matrices
‚ Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
˚ Par résolution d’un système
˚ Par la méthode du pivot, en appliquant les mêmes opérations sur les lignes à la matrice identité. Lien entre les 2 méthodes.
˚ Inverse d’une matrice2ˆ2par la comatrice.
˚ Calcul de l’inverse à l’aide d’un polynôme annulateur.
