Formulaires: Les espaces vectoriels

Formulaires: Les espaces vectoriels

D´ efinition 1:

^{Soit G} une partie de E. On dit que G est un Ksous-espace vectoriel de E si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

1. 0_E ∈G. 2. ∀x ∈ G, ∀λ ∈ K, λx ∈

G.

3. ∀(x, y)∈G²,x+y∈G.

On peut prouver (Ce n’est plus une d´efinition mais une proposition) qu’il suffit de v´erifier que ces deux conditions :

1. 0E ∈G. 2. ∀(x, y, λ)∈G²×K, λx+y ∈G.

* Remarque :

Un sous-espace vectoriel deE n’est jamais vide, il contient n´ecessairement 0_E.

Proposition 2:

L’intersection de deux sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de E.

D´ efinition 3:

Une famille (e₁,· · · , e_n) de E est dite g´en´eratrice de E si E = Vect (e1,· · · , en).

Proposition 4:

• Toute famille de E contenant une famille g´en´eratrice de E est g´en´eratrice deE.

• Toute famille de E engendrant une famille g´en´eratrice de E est g´en´eratrice de E.

D´ efinition 5:

• Une famille (e1,· · · , en) de E est dite libre (ou lin´eairement ind´ependant) si on a : Pour tout (a₁,· · · , a_n)∈Kⁿ, a₁e₁+· · ·+a_ne_n = 0_E =⇒a₁ =· · ·=a_n= 0.

Cela signifie que la d´ecomposition du vecteur nul sur cette famille est alors unique.

• Une famille de vecteur qui n’est pas libre est dite li´ee (ou lin´eairement d´ependant).

Proposition 6:

Une famille (e₁,· · · , e_n) deE est donc li´ee si et seulement si il existe des scalaires a1,· · · , an non tous nuls tels que : a1e1+· · ·+anen= 0E.

Proposition 7:

^{Soient u etv} deux vecteurs de E.

• (u) est une famille libre si et seulement si u n’est pas 0_E.

• (u, v) est une famille libre si et seulement si (u, v) ne sont pas colin´eaires.

• (u, v) est une famille li´ee si et seulement si (u, v) sont colin´eaires.

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+ Mise en garde :

La pr´ec´edente ´equivalence n’est pas vraie pour les familles comportant plus de 3 vecteurs. Par exemple, les vecteurs de ((1,1),(3,4),(2,5)) sont deux `a deux non colin´eaires mais cette famille est tout de mˆeme li´ee !

Proposition 8:

Soit (P_i)_16i6r une famille de polynˆomes non nuls. Si les polynˆomes sont de degr´es tous distincts alors cette famille est libre.

Proposition 9:

• Toute famille contenant le vecteur nul est li´ee.

• Toute famille contenant une famille li´ee est li´ee.

• Toute sous-famille d’une famille libre est aussi libre.

• Si (e₁,· · · , e_n) est une famille libre de E, alors on a pour tout scalaires ((a₁,· · · , a_n),(b₁,· · · , b_n)) de (Kⁿ)² :

a₁e₁ +· · ·+a_ne_n=b₁e₁+· · ·+b_ne_n⇐⇒a₁ =b₁ et a₂ =b₂ et · · · et a_n=b_n

• Une famille (e₁,· · · , e_n) deE est li´ee si et seulement si l’un de ses vecteurs est combinaison lin´eaire des n−1 autres.

D´ efinition 10:

On appelle base de E une famille libre et g´en´eratrice de E.

Th´ eor` eme 11:

Soit G un espace vectoriel de dimension finie non r´eduit au vecteur nul.

• G admet alors une base.

• Toutes les bases de G ont le mˆeme nombre d’´el´ements, ce nombre est appel´e la dimension deG et est not´e dim(G).

On pose par convention dim ({0_E}) = 0.

Proposition 12:

^{On en d´eduit :}

dim (Kⁿ) =n, dim (Kⁿ[X]) =n+ 1 et dim (Mn,p(K)) =n×p.

Proposition 13:

SoientF un espace vectoriel de dimensionnet (l₁, . . . , l_p) une famille libre de F et (g₁, . . . , g_r) une famille g´en´eratrice de F. On a alors :

1. p6n etr >n.

2. Si p=n, (l₁, . . . , l_p) est une base de F. 3. Si r =n, (g₁, . . . , g_r) est une base deF.

4. On peut extraire une base de (g₁, . . . , g_r), c’est `a dire qu’il existe (a₁, . . . , a_n)∈ {g₁, . . . , g_r}ⁿ tel que (a1, . . . , an) soit une base de F.

5. On peut compl´eter (l₁, . . . , l_p) en une base de F, cela signifie qu’il existe (a_p+1, . . . , a_n) ∈ {g₁, . . . , g_r}^n−p tel que (l₁, . . . , l_p, a_p+1, . . . , a_n) soit une base de F.

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Proposition 14:

Soit G un sous-espace vectoriel de F. On suppose que F est de dimension finie. On a alors dim(G) 6 dim(F) et, si on prouve que dim(F) = dim(G), alors F =G.

D´ efinition 15:

Soit B= (u1, . . . , un) une base deF.

• Soit x un vecteur de F. Il existe un uniquen-uplet (x₁, . . . , x_n) de Kⁿ tel que : x=x₁u₁ +x₂u₂+· · ·+x_nu_n.

On appelle cen-uplet (x₁, . . . , x_n) les coordonn´ees dexdans la base B. On appelle matrice des coordonn´ees du vecteur x dans la base B la matrice suivante :

MatB(x) =





 x₁

... x_n





.

• Soit (a₁, . . . , a_p) une famille de pvecteurs deF. Pour toutj ∈J1, pK, on note (a_1,j, . . . , a_n,j) les coordonn´ees de a_j dans la baseB. Pour toutj ∈J1, pK, on a donc :

a_j =a_1,ju₁+a_2,ju₂ +· · ·+a_n,ju_n.

On appelle matrice des coordonn´ees de la famille (a1, . . . , ap) dans la base B la matrice suivante :

MatB(a₁, . . . , a_p) =







a_1,1 · · · a_1,p ... ... a_n,1 · · · a_n,p







D´ efinition 16:

^{Soit (u}1, . . . , u_p) une famille de E. On appelle rang de la famille (u₁, . . . , u_p) la dimension de l’espace vectoriel qu’elle engendre, on a donc :

rang (u₁, . . . , u_p) = dim (Vect (u₁, . . . , u_p)).

Proposition 17:

^{Soit (u}1, . . . , u_p) une famille deF avecF un espace de dimension n.

On a :

• rang (u1, . . . , up)6min(n, p)

• rang (u₁, . . . , u_p) =p si et seulement si (u₁, . . . , u_p) est une famille libre.

• rang (u₁, . . . , u_p) =n si et seulement si (u₁, . . . , u_p) est une famille g´en´eratrice de F.

Proposition 18:

Soit B une base deF. Soit (r₁, . . . , r_p) une famille de F. On a : rang (r₁, . . . , r_p) = rang (Mat_B(r₁, . . . , r_p)).

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