Lycée Louis-Le-Grand,Paris Pour le 20/05/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
DM n
o20 : Espaces vectoriels, dimension
Correction du problème 1–
1. ‚ SoitFun sous-espace deE. Il est donc non vide, et stable par combinaisons linéaires à coefficients complexes ; il est donc a fortiori stable également par combinaisons linéaires à coefficients réels, et est donc un sous- espace surRdeE. Tout sous-espace vectoriel (surC) deE est donc un sous-espace vectoriel surR.
‚ La réciproque n’est pas vraie ; un sous-ensemble stable par combinaisons linéaires à coefficients réels n’a pas de raison en général d’être stable par combinaisons linéaires à coefficients complexes. Donnons un contre- exemple. SoitE“C. AlorsF “RĂCest un sous-espace surRdeC, mais n’est pas un sous-espace deC, carF n’est pas stable par combinaisons linéaires à coefficients complexes ; par exemple,i¨1RR.
2. (a) ‚ Pour commencer, pour tout y PiF, il existe xPF tel que y “ix, et comme xP E et que E est un espace vectoriel sur C,ixPE. Ainsi,iF est un sous-ensemble deE.
‚ On a :0“i¨0, et comme0PF, on a donc0PiF.
‚ Soitpx, yq P piFq2, et soitλPR. Alors il existex1 ety1 dansF tels quex“ix1 ety“iy1. Ainsi : λx`y“ipλx1`y1q.
CommeF est un sous-espace surRdeE, il est stable par combinaisons linéaires à coefficients réels ; par conséquent,λx1`y1PF, puisλx`yPiF. Ainsi,iF est stable par combinaisons linéaires à coefficients réels.
‚ On en déduit que iF est un sous-espace vectoriel surRdeE.
(b) De façon immédiate, par pseudo-associativité de la loi externe, ipiFq “ ´F, et par stabilité, par prise d’opposé on obtient´F ĂF, et puisque´p´Fq “F, de mêmeF Ă ´F. Ainsi, ipiFq “F .
(c) Soitpb1, . . . , bnqune base deF. Alors pib1, . . . ,ibnqest une base deiF . En effet, l’applicationϕ:F ÑiF définie par ϕpxq “ixest linéaire, et c’est un isomorphisme, sa réciproque étant l’application ψ: iF ÑF définie parψpyq “ ´iy. Par conséquent,ϕenvoie une base deF sur une base deiF.
On en déduit que dimpFq “dimpiFq.
(d) ‚ Pour commencer,F1“FXiF ĂF, etFXiF est un sous-espace deE. En effet,F1est un sous-ensemble de E contiennant0, stable par somme (car F et iF le sont). Il reste donc à montrer la stabilité par multiplication par un scalaire complexeλ“a`ib. Par stabilité deF etiF par somme et multiplication par un scalaire, il suffit de vérifier la stabilité par multiplication par i. Or, étant donnéxPF1, xPF, doncixPiF, et de même,xPiF, doncixPipiFq “F. Ainsi, xPF1.
Par conséquent, F1“FXiF est un sous-espace vectoriel (surC) deE)
‚ Montrons que c’est le plus grand sous-espace deEcontenu dansF. SoitGun sous-espace deE contenu dans F. On a alors, par stabilité,iGĂG, etG“ipiGq ĂiG, doncG“iGet par suite G“iGĂG.
CommeiGĂiF, on en déduit queGĂFXiF.
Ainsi, FXiF est le plus grand sous-espace (surC) deE contenu dansF.
(e) SoitGun supplémentaire deFXiF dansF. PuisqueGĂF etiGĂiF, on aGXiGĂFXiF, et puisque GXiGĂG, il vient
GXiGĂGX pFXiFq “ t0u,
par définition d’un supplémentaire. L’inclusion réciproque étant évidente, il vient doncGXiG“ t0u, donc Gest un sous-espace réel deE .
3. SoitF un sous-espace réel deE.
(a) SoitpxjqjPI une famille d’éléments deF, libre surR. SoitpλjqjPCune famille d’éléments deCpresque tous nuls, tels que
ÿ
jPI
λjxj “0.
Écrivons pour tout j PI, λj “aj`ibj, où aj etbj sont des réels. Alors les aj et lesbj sont presque tous nuls, et ÿ
jPI
ajxj “ ´ÿ
jPI
bjpixjq. La première somme est dans F, la seconde est dans iF. Ainsi, au vu de l’égalité, elles sont toutes les deux dansFXiF qui est égal àt0u(F est un sous-espace réel). Ainsi :
ÿ
jPI
ajxj“0 et ÿ
jPI
bjpixjq “0.
Comme la famille pxjqjPI est libre (sur R), la première somme (qui est à coefficients réels) amène : @j P I, aj “0.
De plus, en multipliant la seconde somme par´i, on obtientÿ
jPI
bjxj“0. En utilisant de nouveau la liberté de la famillepxjqjPI surR, on en déduit que pour toutjPI,bj “0.
Ainsi, pour toutjPI,λj “0, et la famillepxjqjPI est libre surC.
(b) ‚ Si dimCE“n, alorsdimRE“2n. En effet, si pbjqjPv1,nw est une base deE surC, alors :
˚ en séparant partie réelle et partie imaginaire des coefficients, toute combinaison à coefficients com- plexes depb1, . . . , bnqest combinaison linéaire à coefficients réels depb1, . . . , bn,ib1, . . . ,ibnq.
˚ toute combinaison linéaire à coefficients réels des vecteurs depb1, . . . , bn,ib1, . . . ,ibnqest une combi- naison linéaire nulle à coefficients complexes desbk (en regroupant les termes bk et ibk). Si elle est nulle, la liberté surCde la famillepbkqnous assure la nullité de tous ces coefficients complexes, donc de leur partie réelle et imaginaire, donc de tous les coefficients de la combinaison initiale.
Ainsi,pb1, . . . , βn,ib1, . . . ,ibnqest une base deE surR
‚ SoitF un sous-espace réel. CommeFetiF ont même dimension, et commeF ĂiF “ t0u(par définition d’un sous-espace réel), il vient dimF ďn.
‚ On a égalité si et seulement sidimRpF‘iFq “dimRpEq. L’inclusion, avec égalité des dimensions, amène l’égalité. Ainsi, dimFďnsi et seulement siF‘iF “E.
4. Soit Gun sous-espace deE de dimension finie. Soit pb1, . . . , bℓqune base sur CdeG. le même argument que pourE montre quepb1, . . . , bℓ,ib1, . . . ,ibℓqest une base deGsurR.
Soit alorsF “VectRpb1, . . . , bℓq. On a iF “VectRpib1, . . . ,ibℓq, et le fait quepb1, . . . , bℓ,ib1, . . . ,ibℓqsoit une base deGamène alors :
G“F‘iF
(l’égalité provenant du caractère générateur, et la somme directe de la liberté).
Cet espace n’est bien sûr pas unique ; en effet, siF est un tel espace, alorsiF convient aussi. D’autres contre- exemples : siE “G“C, soitz PC˚, et soitF “Rz (ainsi,F est n’importe quelle droite réelle dans le plan complexe). AlorsiFXF “ t0u, et C“F‘iF. On a trouvé une infinité de sous-espacesF qui conviennent.
5. On considèreFl’ensemble des sous-espaces vectoriels surRdeGtels queF‘iF soit directe (et nécessairement inclu dansG, par stabilité deGpar multiplication par un scalaire complexe), ordonné par l’inclusion.
SoitpFiqiPI un sous-ensemble totalement ordonné deF. Alors :
‚ siI“∅,t0uest un majorant depFiq
‚ siI‰∅, soit F “Ť
iPIFi.
˚ Montrons queF est un sous-espace vectoriel surRdeE. Soitx,yPF. Il existepi, jq PI2tels quexPFi etyPFj. L’ordre étant total surpFiqiPI, on aFiĂFj ouFj ĂFi. Ainsi,xetysont soit tous deux dans Fi, soit tous deux dansFj. Pour se fixer les idées, supposons quexety soient dansFi. Alors pour tout l PR,x`λyPFi, doncx`λyPF. Comme de plus,F est de toute évidence inlus dansE, et contient 0 (carI‰∅), on en déduit queF est un sous-espace vectoriel surRdeE.
˚ F est inclus dansG. De plus, soit xPFĂiF. Il existe doncietj tels que xPFi et xPiFj. De même que précédemment, on peut supposeri“j car l’ordre est total, donc xPFiXiFi “ t0u. Ainsi,x“0.
Par conséquent,FXiF“ t0u, et la sommeF‘iF est directe.
Ainsi,F est un majorant dansF depFiq.
On en déduit que F est inductif. D’après le lemme de Zorn, il admet donc un élément maximal F. On a F‘iF ĂG. Si ce n’est pas une égalité, alors soit xPGzpF‘iFq.
Il n’est pas très dur de se convaincre queF est un sous-espace vectoriel (surC) deG. Ainsi, on obtient pF‘iFq ‘CxĂG.
Or, vu comme espace surR,
F‘iF‘Cx“F‘iF‘Rx‘Rix“ pF‘Rxq ‘ piF‘Rixq “ pF ‘Rxq ‘ipF‘Rxq.
Cela contredit la maximalité deF. Ainsi, F‘iF “G.
6. SoitF un espace vectoriel surRquelconque.
(a) On définit des opérations surFˆF par :
px, yq ` px1, y1q “ px`x1, y`y1q et pa`ibq ¨ px, yq “ pax´by, bx`ayq.
Pour vérifier que cela définit une structure d’espace vectoriel, il faut vérifier toutes les propriétés d’un espace vectoriel (ici, ce n’est par le sous-espace vectoriel de quelque chose !) :
‚ Structure de groupe abélien pour la somme : la définition donnée pour la somme n’est rien d’aure que la définition de la structure de groupe produitGˆH, abélien si les deux groupesGetH le sont.
‚ Compatibilité avec le neutre1PC:
@x, yPFˆF, 1¨ px, yq “ p1`i¨0q ¨ px, yq “ p1¨x´0¨y,0¨x`1¨yq “ px, yq.
‚ Le produit est associatif : pour toutpx, yq PF2, et tousa, b, c, dPR,
ppa`ibqpc`idqqpx, yq “ pac´bd`ipbd`adqqpx, yq “ ppac´bdqx´ pad`bcqy,pad`bcqx` pac´bdqyq,
et : pa`ibqppc`idqpx, yqq “ pa`ibqpcx´dy, dx`cyq
“ papcx´dyq ´bpdx`cyq, bpcx´dyq `apdx`cyqq “ ppa`ibqpc`idqqpx, yq.
‚ Distributivité du produit sur la somme deC:
ppa`ibq ` pc`idqqpx, yq “ ppa`cq `ipb`dqq “ pa`cqx´ pb`dqy,pb`dqx` pa`cqyq,
et : pa`ibqpx, yq ` pc`idqpx, yq “ pax´by, bx`ayq ` pcx´dy, dx`cyq
“ ppa`cqx´ pb`dqy,pb`dqx` pa`cqyq.
‚ Distributivité du produit sur la somme deFˆF : de même.
Au passage, remarquez à quel point c’est préférable de pouvoir définir un espace vectoriel comme un sous- espace d’un espace connu : il y a beaucoup moins de vérifications à faire !
(b) ‚ Tout d’abord, montrons que F est un sous-espace sur R de FC; pour cela, étudions la stabilité par combinaisons linéaires. Soit X “ px,0q et Y “ py,0qdeux éléments de F, etλP R. AlorsλX`Y “ pλx`y,0q. Or,λx`y est dansF, par stabilité deF, donc pλx`y,0q PF, d’après l’abus de notation précisé dans l’énoncé. Comme p0,0q PF, on en déduit que F est un sous-espace surRdeFC.
Remarquez que l’abus de notation se justifie par le fait que l’application linéaire F ÝÑF (de l’ancien F vers le nouveau) donnée parxÞÑ px,0qest un isomorphisme.
‚ Soit maintenantX “ px,0qun élément deF. AlorsiX “ p0, xq, d’après la description de la loi externe.
Ainsi, iF est le sous-espace sur R de FC constitué des couples p0, xq, pour x P F. En particulier, FXiF “ tp0,0qu “ t0u. Par conséquent, F est un sous-espace réel deFC .
(c) On sait déjà que F et iF sont en somme directe (question précédente). Montrons que F `iF “FC. Soit px, yqun élément de FC. Alors px, yq “ px,0q ` p0, yq, avec px,0q PF, etp0, yq P iF. DoncFCĂF`iF. L’inclusion réciproque est évidente, puisqueF ĂFCet iF ĂFC. Ainsi, F‘iF“FC
(d) Un sous-espace réel deFC n’est pas forcément un sous-espace (surR) deF.
En effet, siF “R, alors une vérification immédiate montre queFC“C; l’élémenticorrespond àp0,1q. Le produit et l’addition correspondent au produit et à l’addition dansC. On a vu plus haut que toute droite réelle de C est un sous-espace réel de C. Ainsi, iF “ iR est un sous-espace réel de R, aussi étrange que puisse paraître la terminologie !
C’est d’ailleurs le cas pour tout sous-espace réelF :iF est alors aussi un sous-espace réel deFC, mais n’est bien sûr pas contenu dansF, sauf dans le cas oùF “ t0u.
7. D’après la question 4, il existe un sous-espace sur RdeE tel queF‘iF “E. Montrons que Eest isomorphe àFC. On définit l’isomorphisme
ϕ : FC“FˆF ÝÑE“F‘iF
parϕpx, yq “x`iy. Cette application est clairement une bijection. En effet l’application définie pour tout xPF etyPiF parψpx`yq “ px,´iyqen est clairement une réciproque.
Montrons que c’est un isomorphisme, c’est-à-dire que cette bijection est une application linéaire. Soitpx, yqet px1, y1qdeux éléments deF ˆF, et λPC. On écrit λ“a`ib, oùaetb sont deux réels. Alors :
ϕpλpx, yq ` px1, y1qq “ϕpax´by`x1, bx`ay`y1q “ pax´by`x1q `ipbx`ay`y1q
“ pa`ibqpx`iyq ` px1`iy1q “λϕpx, yq `ϕpx1, y1q.
Ainsi,ϕest un isomorphisme deFCsurE : E est isomorphe au complexifié deF . Correction du problème 2– La quadrature du cercle
Partie I – Extensions algébriques 1. Degré d’une extension
(a) ‚ L’addition correspond à l’addition du corpsL. Par définition,pL,`qest un groupe abélien.
‚ La multiplication par un scalaire deKest la restriction àK(pour la variable scalaire). La multiplication deLétant associative, et distributive sur l’addition, on en déduit toutes les propriétés requises pour un espace vectoriel.
Ainsi, Lest unK-espace vectoriel .
(b) Soitpa1, . . . , anqune base deLsurK, etpb1, . . . , bmqune base deM surL. En particulier,n“dimKpLqet m“dimLpKq.
Montrons quepaibjqpi,jqPv1,nwˆv1,mwest une base deM surK.
‚ Soitpλi,jqpi,jqPv1,nwˆv1,mwune famille de scalaires deK tels que
n
ÿ
i“1 m
ÿ
j“1
λi,jaibj“0.
On a alors :
m
ÿ
j“1
˜n ÿ
i“1
λi,jai
¸ bj.
Or, lesai sont dansL, donc les sommes
n
ÿ
i“1
λi,jai sont des éléments deL. Par liberté surLde la famille pbiqiPv1,mw, on en déduit que pour toutj P v1, mw, on a :
n
ÿ
i“1
λi,jai“0.
La liberté de la famille paiqsurK nous permet alors de conclure que pour toutpi, jq P v1, nw ˆ v1, mw, λi,j“0.
Ainsi,paibjqpi,jqPv1,nwˆv1,mwest libre sur K.
‚ SoitxPM. Commepbiqest génératrice surL, il existe des élémentsµ1, . . . , µmdeLtels que x“
m
ÿ
j“1
µjbj.
Or, lesµj étant dansL, etpaiqétant une famille génératrice deLsurK, pour toutj P v1, mw, il existe une famillepλi,jqiPv1,nw, telle que
µj“
n
ÿ
i“1
λi,jai. On a alors :
x“
m
ÿ
j“1 n
ÿ
i“1
λi,jaibj. Ainsi, la famillepaibjqpi,jqPv1,nwˆv1,mwest génératrice deM surK.
on en déduit quepaibjqpi,jqPv1,nwˆv1,mw est une base deM surK.
Cette base étant de cardinal fininm, on en déduit queM est de dimension finie surK, donc que l’extensionM :K est de degré fini , et que
dimKpMq “dimKpLqdimLpMq soit: rM :Ks “ rM :LsrL:Ks. 2. Adjonction d’un élément à un corps
(a) L’intersection de tous les sous-corps de L contenant K et α est un corps (stabilité par intersection), et contientK etα. C’est aussi clairement le plus petit. D’où l’ existence deKpαq.
Par ailleurs, comme dans la première question, Kpαq est un espace vectoriel sur K, et est muni d’une structure d’anneau (puisque c’est un corps). L’associativité de la multiplication d’un corps, ainsi que sa commutativité, assure que pour toutλPK, et toutx, yPKpαq,λpxyq “ pλxqy“xpλyq.
Ainsi, Kpαqest une algèbre surK .
(b) On suppose dans cette question queαest algébrique.
i. Comme α est algébrique, il existe un polynôme P non nul tel que Ppαq “ 0. L’ensemble des degrés des polynômes non nuls annulant αest donc un sous-ensemble non vide de N, et admet un minimum.
SoitQα un polynôme réalisant ce minimum, etPα le polynôme unitaire obtenu en divisantQα par son coefficient dominant. Ainsi, Pαest un polynôme unitaire de degré minimal annulantα.
SupposonsPαnon irréductible. Il existe alors deux polynômes non constantsQetRdansKrXstels que Pα“QR. On a alors
Pαpαq “QpαqRpαq,
et l’intégrité deLamène alorsQpαq “0, ouRpαq “0. Or, commeQetRsont non constants, ils divisent strictementL. Quitte à les diviser par leur coefficient dominant, on a donc trouvé un polynôme unitaire contredisant la minimalité du degré de Pα.
Ainsi, Pαest irréductible dans KrXs.
ii. L’application linéaireϕest bien définie par la description de l’énoncé (elle est définie sur une base).
SoitP etQdeux polynômes deKrXs. On les décrit par leurs coefficients dansK: P “
k
ÿ
i“0
aiXi et Q“
ℓ
ÿ
i“0
biXi.
On a alors, par linéarité deϕ: ϕpP Qq “ϕ
˜ k ÿ
i“0 ℓ
ÿ
j“0
aibjXi`j
¸
“
k
ÿ
i“0 ℓ
ÿ
j“0
aibjϕpXi`jq.
La définition de ϕamène donc : ϕpP Qq “
k
ÿ
i“0 ℓ
ÿ
j“0
aibjαi`j “
˜ k ÿ
i“0
aiαi
¸ ˜ ℓ ÿ
j“0
bjαj
¸ .
On utilise à nouveau la linéarité pour conclure que
ϕpP Qq “ϕpPqϕpQq.
Ainsi, ϕest un morphisme d’algèbre .
Le noyau de ϕ est l’ensemble des polynômes annulateurs de α. Les polynômes annulateurs sont les éléments de l’idéal pPαq. En effet siP est un polynôme annulateur de α, alorsP ^Pα aussi (par une relation de Bézout). Comme Pα est de degré minimal, il en résulte queP^Pα“Pα, doncPαdiviseP, d’où notre assertion.
Ainsi,Kerpϕq “ pPαq.
iii. L’applicationϕdéfinit, par passage au quotient, un morphisme d’anneaux injectif
˜
ϕ:KrXs{pKerpϕqq ÝÑKpαq.
Par ailleurs, étant donné P dans KrXs{pKerpϕqq représenté par P, si P ‰ 0, alors P^Pα ‰ Pα, et P ^Pα divise Pα. Par irréductibilité de Pα, on aP ^Pα“ 1, donc P et Pα sont premiers entre eux.
Une relatin de Bézout amène alors l’existence de U et V tels que U P `V Pα “1. En réduisant dans le quotient, il vient doncU P “1, et par commutativité, on en déduit queP est inversible.
Par conséquent,KrXs{pKerpϕqq “KrXs{pPαqest un corps. Son image par le morphismeϕ˜est donc un sous-corps deKpαq. Ce sous-corps contientK et α(image deX). Donc par minimalité deKpαq, on a
Impϕq “˜ Kpαq.
Ainsi,ϕ˜est surjective.
On en déduit que ϕ˜est un isomorphisme d’anneaux (donc aussi de corps).
Ainsi, KrXs{pPαqest isomorphe àKpαqen tant que corps . iv. La projection canoniquepest clairementK-linéaire.
‚ La familleppp1q,¨ ¨ ¨, ppXd´1qq “ p1, α,¨ ¨ ¨αp´1qest libre dans leK-espace vectorielKrXs{pPaq, sinon on en déduirait l’existence d’un polynômeQdeKrXsnon nul de degré strictement plus petit qued tel queppQq “0, c’est-à-direQP pPaq, ou encore,Pa|Q. Ceci est impossible.
‚ La familleppp1q,¨ ¨ ¨ , ppXd´1qqest génératrice deKrXs{pPaq, car étant donné un élémentP˜ dePa, représenté par un polynômeP (c’est-à-direppPq “P), le reste˜ Rde la division deP parPa vérifie ppRq “PpPq “P˜. Ainsi, tout élément deKrXs{pPaqest représenté par un polyôme de degré au plus d´1. Notons
R“
d´1
ÿ
k“0
akXk. On a alors
P˜“
d´1
ÿ
k“0
akppXkq PVectppp1q, . . . , ppXd´1qq.
Ainsi, ppp1q,¨ ¨ ¨ , ppXd´1qqest une base deKrXs{pPαq. 3. Caractérisation des éléments algébriques
‚ Supposons queαest algébrique, et notons comme plus hautPαun polynôme unitaire minimal.
On vérifie assez facilement que le morphisme de corpsϕ˜introduit précédemment respecte aussi la structure de K-espace vectoriel. Pour le montrer, il suffit de vérifier la compatibilité avec le produit par un scalaire (les autres propriétés étant incluse dans la propriété de morphisme de corps). Cela provient de la linéarité initiale deϕ(avant quotient) :
ϕpλP˜ q “ϕppλP˜ q “ϕpλPq “λϕpPq “λϕpPq.˜
Ainsi,ϕ˜ est un isomorphisme deK-espaces vectoriels. CommeKrXs{pPαqest de dimension finie (on en a trouvé une base de cardinal finid), il en est donc de même deKpαq, qui a même dimension. On peut même affirmer que le degré de l’extensionKpαq:K est égal au degré du polynôme minimal deα.
‚ Réciproquement, si rKpαq: Ks ă `8, alorsKpαqne contient pas de famille libre infinie, donc la famille pαnqnPNest liée surK. Une relation non trivial donne un polynôme annulateur de αà coefficients dansK, permettant d’affirmer queαest algébrique surK.
Ainsi, αest algébrique surK si et seulement sirKpαq:Ks ă `8. 4. Produit d’éléments algébriques.
(a) Si rL:Ks est fini, alors pour toutαPL, puisque Kpαqest un sous-K-espace vectoriel deL, lui-même de dimension finie sur K, on en déduit que Kpαqest aussi de dimension finie sur K. La question précédente nous permet d’affirmer queαest algébrique surK.
Ainsi, ceci étant valable pour toutαPL, L est algébrique surK .
(b) SoitαPM. Siαest algébrique surK, il existe un polynômeP PKrXstel quePpαq “0. OrKĂL, donc KrXs ĂLrXs. Ainsi, il existe aussiP PLrXs(le même) tel quePpαq “0. Donc αest aussi algébrique surL. (c) Soit α et β deux élément de L, algébriques surK. On déduit de la question précédente que β est aussi
algébrique sur Kpαq. On a alors, d’après la question 3, rKpαq : Ks ă `8 et rKpαqpβq : Kpαqs ă `8.
La question 1(b) montre alors que rKpαqpβq : Ks ă `8, et la question 4(a) permet de conclure que l’extensionKpαqpβqest algébrique surK .
(d) Or,αetβsont éléments du corpsKpαqpβq, donc aussiαβ. Ainsi, d’après la question 4(c), αβ est algébrique .
Partie II – Transcendance deπ
1. On suppose que πest algébrique (surQ). De plus, iest aussi algébrique, puisque racine du polynôme X2`1 à coefficients rationnels. Ainsi, sous l’hypothèse que π est algébrique, et d’après la question I-4(d), on peut conclure que iπest aussi algébrique .
2. SoitP un polynôme minimal unitaire annulantiπ, et soitnson degré.
(a) Le calcul d’un PPCM de P et Q se fait par l’algorithme d’Euclide étendu. Les restes successifs dans cet algorithme seront les mêmes qu’on fasse l’algorithme dansKrXsou dansLrXs. Ainsi, le PPCM (unitaire) est invariant par extension de corps.
Par conséquent, puisque dire que Q et R sont premiers entre eux équivaut à dire que 1 est le PPCM unitaire de Qet R, et que le PPCM unitaire est le même dansKrXset dans LrXs, on peut affirmer que
QetR sont premiers entre eux dansKrXssi et seulement s’ils le sont dansLrXs.
(b) ‚ P est irréductible dansQrXsd’après la question I-2(b)-i.
‚ Si P admet une racine multiple dansC,P et P1 ne sont pas premiers entre eux dans CrXs(ils ont une racine commune), donc pas non plus dans QrXs d’après la question précédente. Ainsi, P1^P est un diviseur non constant de P. CommeP est irréductible, on en déduit que P1^P “P (les deux étant unitaires), puis P|P1, ce qui est absurde,P n’étant pas constant.
Donc P n’admet que des racines simples dansC.
‚ Le nombre de racines est au moins égal à2, car d’après le théorème de d’Alembert-Gauss, il est égal au degré deP, qui ne peut pas être1 (cela signifierait queiπPQ, alors que cette quantité n’est même par réelle !) Donc ně2.
3. (a) Soit σun élément deSn. On a alors :
Q0pX, Xσp1q, . . . , Xσpnqq “ ź
IĂv1,nw
˜ X´ÿ
iPI
Xσpiq
¸
“ ź
IĂv1,nw
¨
˝X´ ÿ
iPσpIq
Xσpiq
˛
‚.
Or,σinduit une bijection dePpv1, nwqlui-même. Ainsi, en posantJ “σpIq(doncI“σ´1pJq), on obtient : Q0pX, Xσp1q, . . . , Xσpnqq “ ź
IJĂv1,nw
˜ X´ÿ
iPJ
Xσpiq
¸
“Q0pX, X1, . . . , Xnq
Ainsi, Qest symétrique par rapport aux variablesX1, . . . , Xn .
(b) Le polynômeQ0s’écrit donc comme polynôme en les fonctions symétriques élémentaires desXi, à coefficients dans ZrXs. Or, en évaluant les Xi aux γi, le polynôme Q1 s’exprime donc comme combinaison linéaire d’éléments deZrXs, donc les coefficients sont des produits de fonctions symétriques élmentaires en lesαi. Or, d’après les relations de Viète, ces fonctions symétriques élémentaires en les αi sont aux signe près, les coefficients du polynôme unitaireP dont lesαi sont les racines. CommeP PQrXs, on en déduit queQ1est combinaison linaire à coefficients rationnels de polynômes deZrXs. Ainsi, Q1PQrXs.
(c) Remarquons d’abord que0“
n
ź
i“1
peαi`1q. En effet, le facteur correspondant à i“1esteiπ`1“0.
Le développement du produit amène :
n
ź
i“1
peαi`1q “ ÿ
IĂv1,nw
ź
iPI
eαi“ ÿ
IĂv1,nw
eřiPIαi.
Or, la définition de Q2 donne une factorisation deQ2 en polynômes de degré1, fournissant les racines de Q2, qui sont exactement lesÿ
iPI
αi. Ainsi
0“
n
ź
i“1
peαi`1q “eγ0` ¨ ¨ ¨ `eγs.
4. Soitc le coefficient dominant deQetpun nombre premier. L’entierrest comme ci-dessus. On définit : fpXq “ crp´1
pp´1q!Xp´1pQpXqqp et FpXq “fpXq `f1pXq ` ¨ ¨ ¨ `fprp`p´1qpXq.
(a) On a, pour toutxPR:
g1pxq “ezxpF1pxq ´Fpxqq “ezxpfprp`pqpxq ´fpxqq.
Or, le polynômeQest de degrér, doncf est de degrérp`p´1. On en déduit quefprp`pq“0, d’où :
@xPR, g1pxq “ ´e´xfpxq.
(b) On a donc, pourxPR:
´x ż1
0
ep1´λqxfpλxqdλ“ ´ żx
0
ex´yfpyqdy“ex żx
0
p´e´yfpyqqdy“ex“ gpxq‰x
0
Ainsi,
´x ż1
0
ep1´λqxfpλxqdλ“expe´xFpxq ´Fp0qq “Fpxq ´exFp0q.
Évaluons ces expressions auxγi,iP v1, rw, et sommons les expressions obtenues :
r
ÿ
i“1
Fpγiq ´Fp0q
r
ÿ
i“1
eγi “ ´
r
ÿ
i“1
γi
ż1
0
ep1´λqγifpλγiqdλ.
La question 3(c) amène alors :
r
ÿ
j“1
Fpγjq `mFp0q “ ´
r
ÿ
j“1
γj
ż1
0
ep1´λqγjfpλγjqdλ .
(c) Le polynômef ayant un facteurQélevé à la puissancep, tout racineγj deQest racine def de multiplicité pau moins. Ainsi, par caractérisation de la multiplicité, pour toutkP v1, p´1w, fpkqpγjq “0 .
(d) Notonsg“pp´cpr´11q!f. Ainsi,g est un polynôme à coefficients entiers.
Montrons que pour toutkPN, il existe des polynômesAk,0, . . . , Ak,p, à coefficients entiers, tels que gpkq“
p
ÿ
ℓ“0
p!
pp´ℓq!Qp´ℓAk,ℓ,
et tel que pour tout ℓ,degQp´ℓAk,ℓďpr`p´1.
Cette propriété est vraie pourk“0, en posantA0,0“Xp´1et A0,i“0 pourią0.
Supposons que la propriété soit vérifiée à un certain rangk, alors gpk`1q“
p´1
ÿ
ℓ“0
p!
pp´ℓ´1q!Qp´ℓ´1Ak,ℓQ1`
p
ÿ
ℓ“0
p!
pp´ℓq!Qp´ℓA1k,ℓ.
On définit alorsAk`1,ℓ“Ak,ℓ´1Q1`A1k,ℓ siℓ P v1, p´1w, etAk`1,ℓ“A1k,ℓ siℓ “0. Ces polynômes sont bien à coefficients entiers, et donnent la relation voulue au rangk`1. On vérifie facilement la condition sur les degrés.
Ainsi, d’après le principe de récurrence, pour toutkPN, il existe des polynômesAk,0, . . . , Ak,p, à coefficients entiers, tels que
gpkq“
p
ÿ
ℓ“0
p!
pp´ℓq!Qp´ℓAk,ℓ.
Soit alorshkpXq “p!Ak,p. Lesγi étant racines de Q, on a alors, pour toutkPN,
r
ÿ
i“1
gpkqpγiq “
r
ÿ
i“1
hkpγiq.
On définit alors
H “ 1 p!
rp`p´1
ÿ
k“0
hk“cpr´1
rp`p´1
ÿ
k“0
Ak,p.
Ce polynômeH est à coefficients entiers, de degré au pluspr`p´1 (grâce au contrôle des degrés effectué dans la récurrence) et d’après la remarque qui précède, on a :
r
ÿ
i“1
Fpγiq “pcrp´1
r
ÿ
i“1
Hpγiq.
Or,
r
ÿ
j“1
Hpγjqest alors polynomial en les variablesγj, à coefficients dansZ, et clairement symétrique. Donc, d’après le résultat admis, il s’exprime comme polynôme à coefficients entiers en les fonctions symétriques desγj, donc, d’après les relations de Viète, comme polynôme en les cci, à coefficients entiers, où les ci sont les coefficients entiers deQ.
Par ailleurs, le résultat admis sur les polynômes symétriques stipule que ce polynôme en les cci est de degré au plus égal au degré deH, à savoir au plus pr`p´1. Ainsi,
r
ÿ
j“1
Hpγjq s’exprime comme combinaison à coefficients entiers d’expressions cdk, où lesdsont entiers et les exposantsksont inférieurs àpr`p´1. Par conséquent,cpr´1
r
ÿ
j“1
Hpγjqest un entier, que nous notonsN. Nous avons alors
r
ÿ
j“1
Fpγjq “pN,
donc
r
ÿ
j“1
Fpγjqest un entier divisible parp.
(e) On a, pour toutkP v0, rp`p´1w, d’après la formule de Leibniz : fpkqpXq “ cpr´1
pp´1q!
minpk,p´1q
ÿ
i“0
ˆk i
˙ pp´1q!
pp´1´iq!Xp´1´ipQpXqpqpk´iq. Ainsi :
‚ si k ă p´1, tous les termes de la somme ont un facteur X, donc fpkqp0q “ 0 (cela se voit aussi en remarquant que 0est racine de multiplicité p´1def)
‚ sik“p´1, seul un terme n’a pas de facteurX, ainsi :
fpp´1qp0q “cpr´1Qp0qp“cpr´1cp0, oùc0“Qp0qest le coefficient constant deQ.
‚ sikąp´1, on obtient également un unique terme sans facteurX : fpkqp0q “cpr´1
ˆ k p´1
˙ Ap0q,
oùAest la dérivéek´p`1-ième du polynômeQpXqp. Or, l’ordre de cette dérivation est au moins 1, et pQpXqpq1“pQ1pXqQpXqp´1“pBpXq,
oùB est un polynôme à coefficients entiers. Ainsi,
Ap0q “pBpk´pqp0q,
et B étant à coefficients entiers,Bpk´pqp0qest un entier. Ainsi,Ap0q ”0rps, puisfpkqp0q ”0rps.
Nous en déduisons queFp0q ”crp´1cp0 rps, et la question 3(d) permet de conclure :
r
ÿ
j“1
Fpγjq `mFp0q ”mcrp´1cp0 rps.
(f) Soitpun nombre premier vérifiantpąmaxpm, c, c0q. Alors,m, c etc0, étant non nuls (0 n’est pas racine de Q), et non divisibles par p, sont premiers avec p, donc aussi mcrp´1cp0. Ainsi, mcrp´1cp0 ı0 rps, donc
r
ÿ
j“1
Fpγjq`mFp0q ı0rps. En particulier, pour tout nombre premierpsuffisamment grand (plus précisément vérifiantpąmaxpm, c, c0q),
r
ÿ
j“1
Fpγjq `mFp0qest un entier non nul .
5. On montre que le terme de droite (s’exprimant sous forme intégrale), converge vers0lorsque le nombre premier ptend vers`8. En effet, notonsδ“maxp|γi|, iP v1, rwq. La fonctionzÞÑzQpzqest continue, donc bornée sur le compactBp0, δq ĂC, et de même pourzÞÑQpzq. NotonsM1et M2 deux réels tels que
@zPBp0, δq, |zQpzq| ďM1 et |Qpzq| ďM2. Alors, d’après l’inégalité triangulaire intégrale,
ˇ ˇ ˇ ˇ
ż1
0
ep1´λqγjfpλγjqdλ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď ż1
0
ˇ ˇ
ˇep1´λqγjˇ ˇ ˇ
p|c|rM1qp´1
pp´1q! M2|c|r´1dλ.
La fonction continueλÞÑˇ
ˇep1´λqγjˇ
ˇ peut également être majorée par une constanteM3 sur le compactr0,1s, d’où :
ˇ ˇ ˇ ˇ
ż1
0
ep1´λqγjfpλγjqdλ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď p|c|rM1qp´1
pp´1q! |c|r´1M2M3.
La comparaison des croissances des suites géométriques et des factorielles permet de justifier que le majorant obtenu converge vers0lorsqueptend vers`8en étant premier. Ainsi, en notantpnlen-ième nombre premier (on a bienpnÑ `8), etfpn etFpn les fonctions associées, on a :
@iP v1, rw, lim
nÑ`8
ż1
0
ep1´λqγjfpnpλγjqdλ,
puis :
nÑ`8lim
r
ÿ
j“1
γj ż1
0
ep1´λqγjfpnpλγjqdλ“0.
On a donc
nÑ`8lim
r
ÿ
j“1
Fpnpγjq `mFpnp0q “0.
Or, il s’agit d’une suite d’entiers. Sa convergence implique donc qu’elle est stationnaire de valeur0à partir d’un certain rang. Ceci contredit le fait que pour toutpassez grand (donc toutp“pn avec nassez grand), cette expression est non nulle (question 4(f)).
Aboutissant à une contradiction, on peut conclure que l’hypothèse initiale portant sur l’algébricité deπ est fausse, et on conclut :
π est transcendant.
