Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques
Algorithmique algébrique 1 - Feuille 10
Exercice 1
Soient α1,· · ·, αd des nombres complexes distincts deux à deux. On pose P =
d
Y
k=1
(X−αk). Soitβ une racine de P′.
a. Montrer l’égalité β
d
X
k=1
1
|β−αk|2 =
d
X
k=1
αk
|β−αk|2.
b. En déduire la majoration|β| ≤max(|α1|;· · ·;|αd|).
Exercice 2
a. Exprimer(X+Y)(X+Z)(Y +Z)en fonction des polynômes symétriques élémentaires Σ1, Σ2, Σ3.
b.On poseP =X3−3X2−X−2et on notea, b, cles racines complexes de P. Calculer ³a
b + 1´³b
c + 1´³c a + 1´
.
Exercice 3
Trouver tous les triplets (x;y;z)∈C3 vérifiant
x+y+z = 0 x2+y2 +z2 = 14 x3+y3+z3 = 18 .
Exercice 4
On considère dans C[X;Y] les polynômes F = X2 −XY +Y2 −1 et G = X2−X+ 2Y2−2.
a. Soit y∈C. Calculer le résultant de F(X;y)et G(X;y).
b. Trouver tous les couples (x;y)∈C2 vérifiant F(x;y) = 0 etG(x;y) = 0.
Exercice 5
1
Pour tout nombre premierp et toutF ∈Z[X], on note ici Fp la réduction de F modulo p, de sorte que Fp ∈Fp[X].
a.PosonsF =X2+4etG=X3−3X2−2. Trouver tous les nombres premiers ptels Fp etGp aient une racine commune dans Fp.
b.On pose Q=X3−3X2−1. Trouver tous les nombres premiers ptels que Qp ait une racine double dansFp.
Exercice 6
Soit F ∈ R[X] unitaire de degré 3. Désignons par D le discriminant de F. Montrer que F a 3 racines réelles (distinctes) si et seulement si D >0.
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