Racine carr´ ee d’un r´ eel positif ou nul

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚1

Racine carr´ ee d’un r´ eel positif ou nul

Rappel 1 : D´efinition de la racine carr´ee d’un nombre r´eel positif ou nul Soitx∈R⁺.

1. Il existe un uniqueα∈R⁺ tel queα²=x.

2. Ce r´eelαest appel´e racine carr´ee dexet est not´e√ x.

Rappel 2 : D´efinition de la valeur absolue d’un nombre r´eel

Soitx∈R. La valeur absolue de xest le nombre r´eel positif ou nul not´e|x|d´efini par :

|x|=

x six≥0

−x six <0.

Exercice 1 (Racine carr´ee d’un r´eel positif ou nul)

1. Une propri´et´e utile pour ´etablir qu’une racine carr´ee est ´egale `a un nombre donn´e Soitx∈R⁺. Soitα∈R. Compl´eter la phrase suivante en donnant deux conditions surα.

Si

















. . . .

et

. . . .

















alors√ x=α.

2. Racine carr´ee versus ´el´evation au carr´e (a) Soit x ∈ R⁺. Simplifier (√

x)². On conjecturera dans un premier temps le r´esultat, puis on le d´emontrera.

(b) i. Justifier que le nombre√

x² est bien d´efini pour toutx∈R.

ii. Justifier que ^≪pour toutx∈R,√

x²=x^≫ est une assertion fausse.

iii. Soit x ∈ R. Simplifier √

x². On conjecturera dans un premier temps le r´esultat, puis on le d´emontrera.

3. Calculs de quelques racines carr´ees remarquables

Calculer les carr´es des entiers compris entre 0 et 20, puis interpr´eter ces r´esultats en termes de racines carr´ees.

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4. Propri´et´es alg´ebriques de la racine carr´ee

(a) Justifier que^≪pour tout couple (x, y) de nombres r´eels positifs ou nuls,√

x+y=√ x+√

y^≫ est une assertion fausse.

(b) D´emontrer que pour tout couple (x, y) de nombres r´eels positifs ou nuls : √

xy = √

x√y. Cette propri´et´e est appel´ee multiplicativit´e de la racine carr´ee.

(c) D´emontrer que pour toutx∈R^+∗: r1

x = 1

√x. (d) D´emontrer que pour toutx∈R⁺, pour touty∈R^+∗ :

rx y =

√x

√y.

5. Simplifications de quelques racines carr´ees Simplifier les racines carr´ees suivantes :√

40,√ 405,√

847,√ 9408.

6. Quelques identit´es mettant en jeu des racines carr´ees

(a) Soitx∈R⁺. Montrer que : √

x+ 1−√

x= 1

√x+ 1 +√ x. (b) Montrer que :p

8 + 2√ 12 =√

2 +√ 6.

7. Une ´equation mettant en jeu une racine carr´ee R´esoudre l’´equation√

x²−8x+ 16 = 2x+ 1 d’inconnuex∈R.

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