Exercices Alternatifs
Moindres carr´ es.
c
°2001 Vincent Guirardel(copyleftLDL : Licence pour Documents Libres).
Source:moindres carres.tex.
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Alg`ebre lin´eaire.DEUG deuxi`eme ann´ee. Angle p´edagogique : A quoi ¸ca sert.`
Objectifs et commentaires.Faire retrouver `a l’´etudiant la m´ethode des moindres carr´es sur un exemple.
Consid´erons le syst`eme
(S)
x1+x2 = 3
−2x1+ 3x2 = 1 2x1−x2 = 2 a. Montrer que ce syst`eme n’a pas de solution
Ce syst`eme s’´ecrit aussi A.X = b avec A =
1 1
−2 3
2 −1
, X = µx1
x2
¶
et b =
3 1 2
. On cherche
alors `a trouver la meilleure solution approch´ee, c’est `a dire X0 tel que ||A.X0−b||2 soit minimal (o`u
——.—— est la norme euclidienne de R3).
b. D´emontrer que X0 r´ealise le minimum de la fonction ||A.X−b||2 si et seulement siA.X0−b est orthogonal `a ImA.
c. Trouver la meilleure solution approch´ee du syst`eme (S).
d. Pour un syst`emeA.X =bquelconque, donner un syst`eme d’´equations dont les solutions sont les meilleures solutions approch´ees du syst`eme original.
Cette m´ethode pour trouver une solution approch´ee s’appelle la m´ethode des moindres carr´es. Elle est tr`es utilis´ee en sciences exp´erimentales, par exemple pour trouver des coefficients d’une application affine passant le plus pr`es possible de valeurs exp´erimentales.
e. Etant donn´es une s´erie de points exp´erimentaux (xn, yn), on cherche la fonction affiney=ax+b qui approxime le mieux les points exp´erimentaux. D´eterminer un syst`eme d’´equations dont les solutions sont les coefficients aetbde la fonction affine cherch´ee.
