Sc-Exp

(1)

2009/2010 Limites ; Continuités et comportements asymptotiques 3^ème

Sc-Exp

EXERCICE N°1 :

Calculer les limites suivantes :

a) 5 2

lim ₂ 4

2

2 − +

−

→ x x

x

x b)

1 4

lim 2₂

2 3

1 −

− + +

→ x

x x x

x c)

4 3 1 lim 2

4 −

− +

→ x

x

x .

EXERCICE N°2 : 2

10 2 ²

+ + +

− x

x Soit f(x) = x

1) Calculer les limites suivantes : lim ( ) et .

2

x f

x→− ⁻ lim ( )

2

x f

x→− ⁺

2) f admet-elle une limite en -2 ?

3) Déterminer un prolongement par continuité de f en -2 à droite.

4) Déterminer un prolongement par continuité de f en -2 à gauche.

EXERCICE N°3 :

1) Calculer les limites des fonctions suivantes : a ) lim ( ) et avec f(x) =

2

x f

x→ lim ( )

3

x f

x→ 4 3

3

2 − +

− x x

x .

b ) lim ( ) et avec g(x) =

12

x g

x→ lim ( )

0

x g

x→ 2

) 1 ( 2 1

x

x x− + +

2) Soit h la fonction définie par : h(x) =







=

−

≠ 2 0

1

0 )

( x si

x si x g

Etudier la continuité de la fonction h sur son domaine de définition.

3) Soit k(x) =





=

≠ 3

3 )

( x si a

x si x f

a) Déterminer le réel a pour que la fonction k soit continue en 3 . b) Pour le réel a trouvé étudier la continuité de k sur IR.

EXERCICE N°4 :

Soit h la fonction définie sur

[

⁻¹^;⁺^∞

[

^/

{}

¹ par h(x) =









− ≥ +

≤

− − +

) 0 1 ( 2

1

0 1 1

1

2 si x x x

x x si

x p

1) Calculer la limite de h à droite et à gauche en 0.

2) h admet –elle un prolongement par continuité en 0 ? EXERCICE N°5 :

Soit la fonction f définie par : f(x) =







≥ +

+

− +

−

1 3

3 1 2

4 4

2 2

x si ax x

x x si

x

x p

1) Déterminer le domaine de définition de f

2) Déterminer le reel a pour que f soit continue en x₀=1 3) On prend a=-1

a) calculerlim ( ) et .

0

x f

x→ lim ( )

2

x f

x→

b) Calculer la limite suivante : lim ( ) ,

3

x f

x→− 1

) 1 ( ) lim (

1 −

−

→+ x f x f

x

, lim f(x)et .

x→−∞ lim f(x)

x→+∞

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(2)

EXERCICE N° 6 :

Déterminer le domaine de définition D_f de la fonction f ; Calculer les limites de f aux bornes de Df et écrire les équations des asymptotes à (C_f) dans chacun des cas suivants :

1) f :

2 3 2

2 2

− +

−

→ +

x x

x

x x 2) f :

1 1

2−

→ + x

x x 3) f :

x x→ 1+x² −1

EXERCICE N°7 :

* Déterminer le domaine de définition D_f; Calculer les limites de f aux bornes de Df.

* Calculer

x x f

x

) lim (

∞

→ et interpréter géométriquement les résultats

dans chacun des deux cas suivants : a) f : x→−2x³+3x²−x+5 b) f : x→ 1−2x EXERCICES N°8 :

Montrer que les droites (D) est une asymptote oblique pour la courbe de chacune des fonctions suivantes :

• f :

1 3 2 ²

− +

→ − x

x

x x D : y = 2x+1 (au voisinage de -∞^{et +}∞^).

• g : x→ x² +2x+2 D : y = x+1 (au voisinage de +∞^).

• h : x→ 4x²+x+1 D : y = -2x- 4

1 (au voisinage de -∞^).

EXERCICE N°9

1) Calculer les limites suivantes : a) lim ³ 15 b)

x x x

→−∞ + + 2 4 2 ²

lim 1

x

x x

→+∞ x

− +

+ c)

2 2

lim 4 2

x

→ x

−

− ^. 2) pour x^{∈ − +∞}

[

^1;

[

^{/ 0}

{ }

^{, on pose} ^{f x}^{( )}⁼ ^x^{+ −}_x^{1 1}^.

a) Vérifier que f(x)= 1 1 1

x+ + ^{pour x}^{∈ − +∞}

[

^1;

[

^{/ 0}

{ }

^.

b) En déduire

0

lim ( )

x f x

→ .

EXERCICE N°10 :

(1 2) 1

x x

x

−

− ^{si x}^≠^1.

Soit la fonction f définie par : f(x)=

2 si x=1 . 1) Etudier la continuité de f en 1.

2) Montrer que f est continue sur IR.

Jebali.Abderrazak