SC inter = r

Feuille d'exercices 5

29mars 2010

Exercice 1

Onreprendlesnotationsducoursintroduitesdanslechapitresurletest decomparaisonde

r

espérances(testd'analyse delavariance).Onnote deplus:

SC inter = _r

i=1

_n

j=1 ( ¯ X n ⁽ⁱ⁾ − X ¯ ) ²

^{lasommedescarrés}inter-groupe

SC _res = _r

i=1

_n

j=1 (X _j ⁽ⁱ⁾ − X ¯ n ⁽ⁱ⁾ ) ²

^{lasommedescarrés}intra-groupe

SC tot = _r

i=1

_n

j=1 (X _j ⁽ⁱ⁾ − X ¯ ) ²

^{lasommedescarréstotale}

a.Montrerque

SC tot = SC inter + SC res

b.Montrerque

SC inter = n _r

i=1 ( ¯ X n ⁽ⁱ⁾ − X ¯ ) ²

c.Montrer,enutilisantlesrésultatsdonnéesducours,que

SC inter ∼ χ ² _r−1

^,

SC res ∼ χ ² _r(n−1)

^et

quelastatistiquedutest decomparaisonde

r

^{espérancesest}

F =

SC inter

SC r−1 res

n(r−1)

d.DanslasuiteduTD,onprésenteralerésultatdutestsouslaformedutableausuivant:

Sourcedevariabilité sommedescarrés ddl carrémoyen

F

Inter-groupe

SC _inter

^r-1

^SC _r−1 ^inter F

Intra-groupe

SC intra r(n − 1) ^SC _r(n−1) ^intra

Totale

SC _tot nr − 1

Tab.1Tableaud'analysedelavariance

Quelleest l'hypothèsetestéeaveccetest?Quelleestlaloide

F

^sousl'hypothèsed'égalitédes espérances?Quelleest larèglededécision?

Exercice 2

Al'issud'untestdedégustation,onarecueilli8notesd'aciditépour4bièresblanchesdiérentes.

Lesrésultatssontdonnésdansletableau2.Réaliseruntestpermettantdecomparerl'acidité

moyennedeces diérentesbières(onprésenteraletestsouslaformed'untableaucommedans

l'exerciceprécédent).Onpréciserasurquelle(s)hypothèse(s)reposelavaliditédece test.

Note1 5 0 5 0

Note2 5 1 6 0

Note3 5 2 6 1

Note4 6 2 7 1

Note5 7 3 8 2

Note6 7 4 9 3

Note7 8 6 10 4

Note8 10 6 10 4

Tab.2Notesd'aciditéde4bièresblanches

Exercice 3

Andemesurerleniveaudestressdeveaux lorsd'untransportroutierentrelaFranceetl'Italie,

d'uneduréede29heures,onamesurélepourcentagedetempsquelesanimauxrestentcouchés.

Troistraitements ontétéappliqués surdesgroupesde6veaux :

Traitement A:lesanimauxnereçoiventpasd'alimentpendantlevoyage

Traitement B :lesanimauxreçoiventdesalimentspendantlevoyage,2abreuvoirssont

utilisés.

Traitement C :lesanimauxreçoiventdesalimentspendantlevoyage,5abreuvoirssont

utilisés.

Lesrésultatssontdonnésdansletableau3.

TraitementA TraitementB TraitementC

17.4 14.65 18.76

20.00 37.22 19.49

26.70 37.73 27.19

31.70 43.61 45.42

35.80 46.07 53.20

47.80 47.40 61.27

Tab.3Pourcentagedetempscouchéenfonctiondutraitement

a.Donneruneestimationdelavariancedutempscouchépourchaquetraitement.Onchoisitde

testerl'égalitédesvarianceslesplusdiérentes.Pourquoicecipeutêtreintéressant?Réaliserle

testenexplicitantlesdiérentes hypothèsessurlesquellesreposelavaliditédecestests

b.Compléterletableau4.Quepeut-onenconclure?

Sourcedevariabilité sommedescarrés ddl carrémoyen F

Inter-groupe 241.49

Intra-groupe 3009.59

Totale

Tab.4Tableaud'analysedelavariance(données dutableau3)

L'objectifdecetexerciceest dedémontrercertainsrésultatssurletestdecomparaisonde

r

espérancesqui ontétéadmisdanslecoursetdansuncadreplusgénéral.

Onconsidèredoncunensemblede

n

observationsrépartiesen

p

^{groupes.Onnote}

n j

^lenombre

d'observationsdanslegroupe

j

^,

(y 1,j , y 2,j , ..., y n j ,j )

^lesobservationsdanslegroupe

j

^et

¯

y j = _n ¹ _{j n j}

i=1 y i,j

^{lamoyenneempirique} correspondante.Onaalors

n = n 1 + n 2 + ... + n p

^.

Onsupposequelesobservations

(y _1,j , y _2,j , ..., y _{n j ,j} )

^dugroupe

j

^sontdesréalisationsdevariables aléatoires

(Y _1,j , Y _2,j , ..., Y _{n j ,j} )

indépendantes quisuiventunemêmeloi

N (µ _j , σ ² )

^.Onsupposera

égalementl'indépendanceentrelesdiérentsgroupes.L'objectif del'analysedelavarianceàun

facteurestdetesterl'hypothèse:

H 0 : µ 1 = µ 2 = ... = µ p

contrel'hypothèsealternative:

H 1 : ∃i = j

^telque

µ i = µ j

1. Onnote

Y ¯ j = _n ¹ _{j n j}

i=1 Y i,j

^{.Montrer,enutilisantlethéorèmedeCochran(cfexercice6du}

TD1),que

Y ¯ _j

^{estune variablealéatoire}gaussienne,dontonpréciseralesparamètres, indépendante de

SC j = _{n j}

i=1

Y i,j − Y ¯ j ₂

et que

SC j

σ ²

^{suitune loidu}

χ2

^{dontonpréciserale}

degrédeliberté.

2. Onnote

Y ¯ = ¹ _{n p}

j=1

_{n j}

i=1 Y i,j

^.

a. Quereprésente

Y ¯

^?Montrerque

Y ¯ = ¹ _{n p}

j=1 n j Y ¯ j

^.

b. Montrerque

SC ent = _p

j=1 n j ( ¯ Y j − Y ¯ ) ²

^est indépendantde

SC int = _p

j=1 SC j

^.

c. Montrerque

SC int

^suituneloidu

χ2

^{dontonpréciseraledegrédeliberté.}

3. Montrerque

SC ent + SC int = SC tot

^avec

SC tot = _p

j=1

_{n j}

i=1 (Y i,j − Y ¯ ) ²

^{.Commentpeut-on}

interpréterlesquantités

SC ent

^,

SC int

^et

SC tot

^?

4. Onnote

Z j = √ n j Y ¯ j

^pour

j ∈ {1...p}

^{.Quelleestlaloide}

Z j

^?Montrerque

Z = ^t (Z 1 , ..., Z p )

estunvecteurgaussiendontonpréciseralesparamètres.

5. Onnote

u = ^t ( √ n ₁ , ..., √ n _p )

^{. Soit}

z ∈ R ^p

^{.Donnerlaprojection}orthogonalede

z

^sur

u

^et

u ^⊥

^.

6. Onsupposedanscettequestionquel'hypothèse

H ₀

^estvériée.

a.Montrer,enutilisantlethéorèmedeCochran,que

SC ent

σ ²

^suituneloidu

χ ²

^dont

onpréciseraledegrédeliberté.

b.En déduireque

F = ^n−p _p−1 ^SC _SC ^ent _int

^{suitune loideFisherà}

p − 1

^et

n − p

^degrésde

liberté.

7. Montrerqu'onretrouvelerésultatducoursdanslecasparticulier

n 1 = ... = n p = n

^.