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exponentielles et logarithmes
A la Renaissance, le développement de l’astronomie, du commerce et de la navigation fait émerger de nouveaux groupes, tels que les celui des astronomes-astrologues, qui génèrent au cours des XVIe et XVIIe siècles, une somme considérable d’œuvres, d’idées et de techniques nouvelles sur lesquelles la société va s’appuyer, et la science classique se construire.
L’invention des logarithmes découle du besoin qu’ont les astronomes, les commerçants ou encore les navigateurs de disposer de méthodes de calcul simples pour effectuer des multiplications, des divisions, ou extraire des racines. C’est dans ce contexte qu’en 1614, John Neper crée des tables de calcul utilisant les logarithmes (dont la couverture est reproduite à gauche). Il n’imaginait pas créer de nouvelles fonctions, mais seulement une méthode pour calculer des produits en effectuant des sommes. Ce type de tables a été utilisé pendant plus de 300 ans, jusqu’à la deuxième moitié du XXe siècle, quand des calculatrices performantes sont devenues accessibles au grand public.
La notion de fonction et le lien entre les exponentielles et les logarithmes n’apparaissent qu’à la fin du XVIIe siècle. Les exponentielles et les logarithmes dépasseront largement le cadre des calculs numériques imaginés par Neper pour s’imposer comme des notions fondamentales de l’analyse mathématique.
Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus particulièrement à cette nature fonctionnelle et aux utilisations pratiques des exponentielles et des logarithmes.
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1.1 Rappel : les puissances
Pour tout réel 𝑎, et pour tous naturels 𝑛, 𝑝 et 𝑞.
𝑎𝑛= 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎
𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠
avec 𝑎 > 0, par exemple :
𝑎−𝑛= 1
𝑎𝑛 𝑎
𝑝
𝑞 = √𝑎𝑞 𝑝
30 = 1
31 = 3 3-1 = 1/3 31/2 = √ 3 ≈ 1,73
32 = 9 3-2 = 1/9 32/3 = 3√32 ≈ 2,08
33 = 27 3-3 = 1/27 3-1/2 = 1/√ 3 ≈ 0,58
avec 𝑎 < 0, par exemple : (-3)0 = 1
(-3)1 = -3 (-3)-1 = -1/3 (-3)1/2 = √−3
(-3)2 = 9 (-3)-2 = 1/9 racine carrée d’un nombre négatif : ne fait pas partie de l’ensemble ℝ
(-3)3 = -27 (-3)-3 = -1/27 (-27)1/3= √−273 = −3
On remarque que si 𝑎 < 0, certaines puissances fractionnaires ne peuvent pas être calculées.
Le résultat est toujours positif si 𝑎 est positif, et le résultat peut être négatif ou positif si 𝑎 est négatif.
On peut étendre les définitions du début du paragraphe à tout exposant 𝑛, 𝑝 et 𝑞 réel.
Pour tous réels strictement positifs 𝑥, 𝑦 et pour tous réels 𝑝 et 𝑞, on a les propriétés suivantes:
𝑥𝑝. 𝑥𝑞 = 𝑥𝑝+𝑞
𝑥𝑝
𝑥𝑞 = 𝑥𝑝−𝑞
(𝑥. 𝑦)𝑝= 𝑥𝑝. 𝑦𝑝
(𝑥 𝑦)
𝑝
=𝑥𝑝 𝑦𝑝
(𝑥𝑝)𝑞= 𝑥𝑝.𝑞
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1.2 Exponentielle et logarithme : découverte
1.2.1 Introduction
Une équipe de scientifiques étudie l’évolution de la taille de la population d’une espèce de bactéries. Les scientifiques déposent une bactérie dans le récipient au début de l’expérience.
Les bactéries se reproduisent en se divisant, c’est-à-dire que chaque bactérie se divise en deux à intervalle régulier.
Pour l’espèce étudiée, les scientifiques constatent qu’après une heure, le nombre de bactéries a doublé.
a. Remplis le tableau suivant : Temps
(heures) 0 1 2 3 5 10
Nombre de bactéries
b. Combien y aura-t-il de bactéries après un nombre quelconque 𝑥 d’heures ? Donne l’expression du nombre de bactéries en fonction de 𝑥.
c. Après combien de temps y aura-t-il 4096 bactéries dans le récipient ?
d. Dans le repère de la page suivante, trace le graphe du nombre de bactéries en fonction du nombre 𝑥 d’heures.
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Nombre de bactéries
Temps (heures)
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1.2.2 Croissance et décroissance
Tu as reçu un euro de ta grand-mère pour aller acheter des bonbons. Ta grand-mère ne se rend pas bien compte que tu as grandi et que tu n’es plus très intéressé par les bonbons. Plutôt que d’aller dépenser cet argent, tu décides de commencer à économiser pour tes vieux jours et d’aller placer cet euro à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte pendant 50 ans, Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de chaque année, la banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve (à ce moment-là).
a. Par combien ton capital sera-t-il multiplié à chaque fin d’année ?
b. Remplis le tableau suivant :
Temps (années) 0 1 2 3 5 10
Capital Paul (euros)
c. A combien ton capital s’élèvera-t-il après un nombre quelconque 𝑥 d’années ? Donne l’expression de la valeur de ton capital en fonction de 𝑥.
d. En utilisant ta calculatrice, détermine après combien d’années tu auras plus de 2 euros.
e. Dans le repère de la page suivante, trace en bleu le graphe de ton capital en fonction du nombre 𝑥 d’années. (utilise les valeurs du tableau ci-dessus, ensuite complète le graphe avec le capital à 20, 30, 40 et 50 ans calculés avec la formule découverte au point c) Tu voudrais essayer de gagner un peu plus d’argent, et tu décides d’aller voir une autre banque.
Robert le banquier, bien qu’il n’ait pas l’air très honnête, te propose un taux d’intérêt de 6%. Cela te semble un meilleur placement et tu signes un contrat avec lui. Tu es pressé et le contrat fait 10 pages, tu décides de ne pas tout lire. Quand tu rentres à la maison et que tu annonces la bonne nouvelle à ton père, il demande à lire le contrat. Il te signale qu’il est écrit que la banque te réclamera comme frais de dossier 8% de ce qui se trouve sur ton compte en chaque fin d’année.
a. Par combien ton capital sera-t-il multiplié à chaque fin d’année ?
b. Remplis le tableau suivant :
Temps (années) 0 1 2 3 5 10
Capital Robert (euros)
c. A combien ton capital s’élèvera-t-il après un nombre quelconque 𝑥 d’années?
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d. Dans le repère suivant, trace en rouge le graphe de ton capital en fonction du nombre 𝑥 d’années (utilise les valeurs du tableau ci-dessus, ensuite complète le graphe capital à 20, 30, 40 et 50 ans calculés avec la formule découverte au point c)
Capital (euros)
Temps (années)
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Les situations étudiées aux points 1.2.1 et 1.2.2 ont en commun que pour une augmentation d’une unité de la variable (le temps en heures pour l’exemple en biologie et en années pour l’exemple en finance), la quantité étudiée est multipliée par un nombre constant. Ce type de fonction est appelée exponentielle et le nombre par lequel la quantité étudiée est multipliée est appelé base.
Comparons à l’aide du tableau suivant les propriétés des différentes exponentielles étudiées.
Bactérie Banque
Paul Banque Robert
Base
Expression analytique : quantité en fonction de 𝑥 Croissant / décroissant ?
Nous avons remarqué que certaines exponentielles étaient croissantes et d’autres décroissantes.
La base étant le facteur multiplicatif reliant le capital d’une année par rapport à la suivante, donne l’intervalle dans lequel peut varier la base des deux différents types d’exponentielles.
Exponentielle croissante Exponentielle décroissante Intervalle de variation de
la base
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1.2.3 Logarithme
Nous avons constaté que l’expression analytique des fonctions exponentielles placent la variable 𝑥 en exposant (voir points 1.2.1 et 1.2.2), les quantités calculées sont donc des puissances* du nombre appelé base. Observons l’évolution des quantités en terme de puissance de la base. Pour ce faire, remplis le tableau suivant en exprimant les quantités comme pour la ligne correspondant à 𝑥 = 3.
Bactérie Banque
Paul Banque Robert
Base
Unité de 𝑥 Quantité de départ
(𝑥 = 0) Quantité pour 𝑥 = 1
(après 1 h / 1 an) Quantité pour 𝑥 = 2
(après 2 h / 2 ans)
Quantité pour 𝑥 = 3 8 = 23 1.1576 = 1.053 0.9412 = 0.983
Quantité pour 𝑥 = 5
Quantité pour 𝑥 = 10
Le tableau précédent fait apparaître un autre type de fonction appelé logarithme. Dans nos exemples, le logarithme est le temps qu’il faudra attendre avant d’avoir une quantité donnée de bactéries dans le récipient, ou le temps qu’il faudra attendre avant d’avoir une quantité donnée d’argent sur le compte en banque. Nous avons remarqué que ce nombre correspond à l’exposant à appliquer à la base pour obtenir la quantité voulue.
Ainsi par exemple :
- on constate qu’il faudra attendre 3 heures pour avoir 8 bactéries dans le récipient. Donc, le logarithme en base 2 de 8 vaut 3, ou en notation mathématique :
log28 = 𝟑 car 2𝟑= 8
- Il faudra attendre 3 ans pour avoir un capital de 1,1576 euros chez Paul le banquier. Donc, le logarithme en base 1,05 de 1,1576 vaut 3, ou en notation mathématique :
log1,051.1576 = 𝟑 car 1,05𝟑= 1,1576
* Puissance et exposant sont des synonymes
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Pour les cas moins évidents à calculer, on pourra utiliser la calculatrice. Ainsi si on veut déterminer combien d’heures il faudra attendre pour avoir 15 bactéries dans le récipient, il faudra attendre un nombre d’heures égal à log215 , ce qui revient à déterminer l’exposant 𝑥 tel que 2𝑥= 15.
Malheureusement, les calculatrices permettent de calculer le logarithme en base 10, (noté log10, ou plus souvent simplement log), mais pas de calculer le logarithme dans n’importe quelle base.
Il faudra dès lors utiliser la formule de changement de base, que nous démontrerons au paragraphe 1.4.4. Ainsi pour déterminer avec la calculatrice le temps à attendre pour avoir 15 bactéries dans le récipient, c’est-à-dire log215, on calculera le quotient suivant :
log215 =log 15
log 2 =1,176 0,301= 3,9
On a ainsi calculé qu’il faudra attendre 3,9 heures pour avoir 15 bactéries dans le récipient.
De façon similaire, pour que mon capital s’élève à 10 euros chez Paul le banquier, il faudra attendre un nombre d’années égal à log1,0510, ce qui revient à déterminer l’exposant 𝑥 tel que 1,05𝑥= 10.
Avec la formule de changement de base, on calculera : log1,0510 = log 10
log 1,05= 1
0,021= 47,2
On a ainsi calculé qu’il faudra attendre 47,2 années pour avoir 10 euros de capital.
Remplis les tableaux suivants. N’utilise ta calculatrice que lorsque c’est nécessaire. Dans le cas où tu utilises ta calculatrice, veille à écrire dans chaque case le calcul effectué en mentionnant la formule de changement de base comme ci-dessus.
Bactéries
Base
Temps pour avoir 2 bactéries Temps pour avoir 3
bactéries Temps pour avoir 5
bactéries Temps pour avoir 10
bactéries Temps pour avoir 20
bactéries Temps pour avoir 50
bactéries
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Paul le banquier
Base
Temps pour avoir 2 euros
Temps pour avoir 3 euros
Temps pour avoir 5 euros
Temps pour avoir 10 euros
Temps pour avoir 20 euros
Temps pour avoir 50 euros
Robert le banquier
Base
Temps pour avoir 90 centimes Temps pour avoir 80
centimes Temps pour avoir 70
centimes Temps pour avoir 60
centimes Temps pour avoir 50
centimes Temps pour avoir 40
centimes
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1.2.4 Fonction réciproque
Il apparaît de nos explorations des fonctions exponentielles et logarithmes qu’elles sont liées.
En effet, si l’exponentielle donne la quantité (de bactéries, d’argent sur un compte, …) pour une valeur 𝑥 de la variable (le temps, …), on constate que le logarithme donne reciproquement le temps à attendre pour obtenir une quantité donnée. Le résultat de l’une est la donnée de l’autre, on dira que ces fonctions sont réciproques.
Reprenons notre premier exemple, celui des bactéries, et comparons numériquement et graphiquement l’évolution des fonctions exponentielle et logarithme.
Exponentielle Logarithme
Variable 𝑥 Temps en heures Nombre de bactéries
Expression analytique de la
fonction 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = log2𝑥
Valeur renvoyée par la
fonction Nombre de bactéries après 𝑥
heures Temps en heures pour
obtenir 𝑥 bactéries
Valeur pour 𝑥 = 1
Valeur pour 𝑥 = 2
Valeur pour 𝑥 = 3
Valeur pour 𝑥 = 4
Valeur pour 𝑥 = 8
Valeur pour 𝑥 = 10
Valeur pour 𝑥 = 16
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Trace les graphes des deux fonctions dans le repère suivant, utilise certains points du tableau précédent, ceux qui ne sortent pas de l’échelle du repère.
On remarque que les graphes des deux fonctions ont pour particularité d’être symétriques par rapport à un axe, trace cet axe sur le graphe. A l’aide de tes connaissances sur les équations de droites, détermine l’équation de cet axe et indique-la sur le graphe.
y
x
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Puisque le logarithme de la quantité de bactéries est le nombre d’heures qu’il faut attendre pour obtenir cette quantité de bactéries, on peut dire que :
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠 = log2(𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠) Or le nombre de bactéries après un temps donné se calcule comme suit :
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 = 2(𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠) On peut en conclure que :
𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅′𝒉𝒆𝒖𝒓𝒆𝒔 = log22(𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅 𝒉𝒆𝒖𝒓𝒆𝒔)
Réciproquement, on peut aussi écrire :
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 = 2(𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠) Et puisque :
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠 = log2(𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠) On peut dire :
𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒆𝒔 = 2log2(𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒆𝒔)
Et plus généralement, pour toute variable 𝑥 (temps, quantité de bactéries…) et pour toute exponentielle et pour tout logarithme de même base notée ici 𝑎:
𝒙 = log𝑎𝑎𝒙 Et aussi :
𝒙 = 𝑎log𝑎𝑥
Cette relation exprime mathématiquement que les fonctions exponentielles et logarithmes sont réciproques, puisque « leurs effets se compensent ». Autrement dit, l’application successive des deux fonctions sur la variable 𝑥 renvoie la valeur de 𝑥.
Cette dernière relation est la définition même du logarithme qui est donc uniquement défini comme étant la réciproque de l’exponentielle. Plus généralement, pour une base 𝑎, on écrira :
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖
𝒙 = 𝒂𝒚
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1.2.5 Caractérisation des exponentielles
Reprenons l’exemple des bactéries et imaginons que l’équipe de scientifiques ait déposé des bactéries dans trois récipients différents, correspondant à trois milieux différents, décrits ci- dessous :
a. Nous sommes dans la même situation que dans le point 1.2.1. Les bactéries se développent librement, le nombre de bactéries double toutes les heures. Il s’agit de l’expérience témoin.
b. Les scientifiques étudient l’efficacité d’un désinfectant, ils observent que le nombre de bactéries vivantes est divisée par deux toutes les heures.
c. Les scientifiques testent un produit dopant la croissance des bactéries, le nombre de bactéries est doublé toutes les demi-heures.
Afin de pouvoir plus facilement observer l’évolution des bactéries, les scientifiques ont besoin d’une quantité significative de bactéries dans chaque milieu et décident de commencer leurs observations quand il y aura exactement 1 gramme de bactéries dans chaque récipient. Le début de l’observation correspondra au temps 𝑥 = 0.
Remplis le tableau suivant :
Expérience a. : expérience témoin
Expérience b. : désinfectant
Expérience c. : dopant Base
Expression analytique : masse de bactéries en fonction
de 𝑥 (temps en heures) Croissant / décroissant ? Masse de bactéries au
début de l’observation (𝑥 = 0)
Masse de bactéries après 1h (𝑥 = 1) Masse de bactéries
après 2h (𝑥 = 2) Masse de bactéries
après 3h (𝑥 = 3) Masse de bactéries
après 4h (𝑥 = 4)
Dans le tableau ci-dessus, les exposants sont des nombres naturels. En les utilisant, il est possible de prévoir l’évolution de la masse de bactéries après un nombre d’heures entières (et positives puisqu’on ne s’intéresse qu’à ce qui se passe après le début de l’expérience).
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Nous disposons d’outils mathématiques supplémentaires nous permettant de déterminer la masse de bactéries à n’importe quel moment.
Les exposants fractionnaires (correspondant pour rappel aux racines carrées, cubiques, …) permettent de connaître la masse de bactéries par exemple après une demi-heure (𝑥 =1
2), après trois quarts d’heure (𝑥 =3
4),…
D’autre part, les exposants négatifs permettront de déterminer la masse de bactéries présentes dans le récipient par exemple une heure avant le début de l’expérience (𝑥 = −1), ou encore un quart d’heure avant le début de l’expérience (𝑥 = −1
4).
En toute généralité, on pourra calculer à l’aide des exposants réels la masse de bactéries à n’importe quel moment, par exemple 2,3689 h avant ou après le début de l’expérience (𝑥 =
−2,3689 𝑜𝑢 𝑥 = 2,3689).
Remplis le tableau suivant :
𝑥 Expérience a. : expérience
témoin
Expérience b. : désinfectant
Expérience c. : dopant Masse de
bactéries 3,6 heures avant le
début Masse de bactéries une heure avant le
début Masse de bactéries un quart d’heure avant le début
Masse de bactéries après
10 minutes Masse de bactéries après un quart d’heure
A l’aide des résultats compris dans les deux tableaux précédents, trace dans le repère suivant les graphes représentant l’évolution du nombre de bactéries pour les trois expériences. Utilise une couleur différente pour chaque graphe. Il est à noter que certains résultats sont hors d’échelle, ils ne pourront pas être représentés (« ils sortiraient du graphique »). Représente pour chaque graphe les éventuelles asymptotes que tu observerais, et donne leurs équations.
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x (temps) y (masse de bactéries)
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On a constaté que :
• une base supérieure à 1 correspond à une fonction croissante, et que la croissance de la population sera d’autant plus rapide que la base est élevée.
• une base comprise entre 0 et 1 correspond à une fonction décroissante, et que la décroissance sera d’autant plus rapide que la base sera proche de 0. †
L’utilisation de bases négatives poserait problème d’un point de vue mathématique (par exemple (−2)12= √−2 n’est pas un réel) et sont proscrites dans le cadre de ce cours.
Une base = 1 correspondrait à une quantité constante (facteur multiplicatif unitaire) et une base nulle correspondrait à une quantité nulle tout le temps. Ces deux cas particuliers ne sont donc pas considérés ici comme étant des exponentielles.
On constate aussi que le domaine des fonctions exponentielles est l’ensemble des réels ℝ. En effet, dans notre exemple, on peut calculer le nombre de bactéries à n’importe quel moment.
Les exponentielles ne sont définies que pour des bases strictement positives, et en conséquence la valeur renvoyée par une exponentielle ne pourra être que strictement positive, en effet toute puissance d’un nombre strictement positif donne un nombre strictement positif. Ainsi l’ensemble image d’une fonction exponentielle est ℝ0+. Dans notre exemple, cela se traduit par le fait que nous n’aurons jamais une quantité de bactéries négative.
En outre, le graphe d’une fonction exponentielle présente toujours une asymptote horizontale d’équation 𝑦 = 0. En effet, pour une fonction décroissante, après un temps infini, la quantité tendra vers 0. Pour une fonction croissante, la quantité à un moment infiniment éloigné dans le passé tendrait vers 0.
On remarque en outre que tous les graphes des trois fonctions exponentielles étudiées passent par le même point, indépendamment de la valeur de leur base. A l’aide de leur expression analytique, explique pourquoi :
………
………
………
………
………
†Ces observations découlent directement de la définition de la base qui est le facteur par lequel est multiplié la quantité étudiée (ici la masse de bactéries) pour une augmentation de 1 de la variable 𝑥 (ici le temps en h).
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1.2.6 Caractérisation des logarithmes
Continuons avec l’exemple des bactéries et reprenons les 3 expériences décrites au point 1.2.5.
Remarquons tout d’abord que lorsqu’on étudie le problème à l’aide des fonctions logarithmiques, abscisses et ordonnées sont échangées par rapport aux fonctions exponentielles, les fonctions étant réciproques l’une de l’autre (voir 1.2.4). Ici donc, l’abscisse 𝑥 correspond à la quantité de bactéries et l’ordonnée 𝑦 correspond au temps. En effet le logarithme renvoie le temps nécessaire à obtenir une quantité de bactéries, là où l’exponentielle renvoie la quantité de bactéries à un moment donné. Remplis le tableau suivant.
Expérience a. : expérience témoin
Expérience b. : désinfectant
Expérience c. : dopant Base
Expression analytique : moment où l’on a
une masse 𝑥 de bactéries
Valeur de la variable 𝑥
Expérience a. : expérience
témoin
Expérience b. :
désinfectant Expérience c. : dopant Moment où l’on a
0,1 g de bactéries Moment où l’on a
0,52 g de bactéries Moment où l’on a
0,75 g de bactéries Moment où l’on a
1 g de bactéries : début de l’observation Moment où l’on a
2 g de bactéries Moment où l’on a 3,7 g de bactéries Moment où l’on a 10 g de bactéries
Dans le tableau ci-dessus, on obtient des valeurs négatives et positives. Que signifie une valeur négative ?
………
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A l’aide des résultats compris dans le tableau précédent, trace dans le repère suivant les graphes représentant le temps en fonction de la masse de bactéries pour les trois expériences. Utilise une couleur différente pour chaque graphe. Représente pour chaque graphe les éventuelles asymptotes que tu observerais, et donne leurs équations.
y (temps)
x (masse de bactéries)
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On a constaté que ‡:
• pour un phénomène représenté par une base supérieure à 1, la quantité augmente avec le temps et donc réciproquement, le temps nécessaire pour obtenir une quantité donnée augmente avec la quantité. Une fonction logarithmique à base supérieure à 1 est donc croissante.
• Pour un phénomène représenté par une base comprise entre 0 et 1 correspond à une fonction décroissante. Les limitations sur la valeur des bases des phénomènes exponentiels s’étendent aux fonctions logarithmiques, puisqu’elles sont réciproques l’une de l’autre.
Le domaine d’une fonction logarithmique couvre l’ensemble des réels strictement positifs ℝ0+. Dans notre exemple, quand on considère les fonctions logarithmiques, on se rappelle que l’abscisse 𝑥 correspond à la masse de bactéries et l’ordonnée 𝑦 correspond au temps. Il n’est pas possible d’obtenir une abscisse 𝑥 négative, c’est-à-dire une «masse négative » de bactéries, on ne pas non plus avoir masse nulle car, en se divisant en deux à chaque pas de temps, il en restera toujours une certaine quantité, même minime.
Puisque la quantité de bactéries s’approche de 0 sans jamais être nulle, on observe sur le graphe la présence d’une asymptote verticale d’équation 𝑥 = 0. Pour une fonction logarithmique décroissante, la quantité de bactéries tendra vers 0 après un temps infini (ordonnée 𝑦 tend vers +∞). Pour une fonction logarithmique croissante, la masse de bactéries tendait vers 0 à un moment infiniment éloigné dans le passé (ordonnée 𝑦 tend vers −∞).
Dans notre exemple, on peut étudier les phénomènes à des moments à la fois éloignés dans le passé et dans le futur. De façon plus générale, cela se traduit par le fait qu’il n’y a pas de limitation sur la valeur de l’ordonnée 𝑦. Ainsi l’ensemble image d’une fonction logarithmique est couvre tout l’ensemble des réels ℝ.
On remarque en outre que tous les graphes des fonctions logarithmiques passent par le même point, indépendamment de la valeur de leur base. A l’aide de leur expression analytique, explique pourquoi :
………
………
………
………
‡On pourra constater que par réciprocité, l’ensemble des observations faites sur l’abscisse des exponentielles peuvent se faire sur l’ordonnée des fonctions logarithmiques et vice versa.
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1.3 Synthèse
1.3.1 Fonction exponentielle 1.3.1.1 Définitions
Le réel dont on calcule la puissance est appelé base et est noté 𝑎.
• 𝑎 > 0
• 𝑎 ≠ 0 car 0𝑥 = 0 ∀𝑥 : fonction constante
• 𝑎 ≠ 1 car 1𝑥 = 1 ∀𝑥 : fonction constante
La fonction 𝑎𝑥: ℝ → ℝ0+ : 𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑥 est appelée fonction exponentielle en base 𝑎 1.3.1.2 Propriétés et graphes
Avec 𝑎 > 1
Par exemple, soit 𝑓(𝑥), la fonction exponentielle en base 2:
𝑓: ℝ → ℝ0+: 𝑥 → 𝑦 = 2𝑥 Propriétés :
• 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ
• 𝐼𝑚 𝑎𝑥= ℝ0+
• les points (0,1) et
(1, 𝑎)appartiennent au graphe de 𝑎𝑥
• le graphe admet une asymptote horizontale à gauche en 𝑦 = 0, c’est-à-dire lim
𝑥→−∞𝑎𝑥 = 0
• lim
𝑥→+∞𝑎𝑥 = +∞
• la fonction est croissante Avec 0 < 𝑎 < 1
Par exemple, soit 𝑔(𝑥), la fonction exponentielle en base 12 :
𝑔: ℝ → ℝ0+: 𝑥 → 𝑦 = (1 2)
𝑥
Propriétés :
• 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ
• 𝐼𝑚 𝑎𝑥= ℝ0+
• les points (0,1) et (1, 𝑎)appartiennent au graphe de 𝑎𝑥
• le graphe admet une asymptote horizontale à droite en 𝑦 = 0, c’est-à-dire lim
𝑥→+∞𝑎𝑥 = 0
• lim
𝑥→−∞𝑎𝑥 = +∞
• la fonction est décroissante
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1.3.2 Réciproque d’une fonction
La réciproque d’une fonction est la relation qui, à chaque élément de 𝐼𝑚 𝑓, associe l’élément de 𝐷𝑜𝑚 𝑓 dont il est l’image.
En inversant les 𝑥 et les 𝑦 dans l’expression analytique d’une fonction, on obtient l’expression analytique de la réciproque:
a. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑 𝑦 = 2𝑥 − 3
⇔ 2𝑥 = 𝑦 + 3 Tout d’abord, on isole 𝑥
⇔ 𝑥 =𝑦 + 3 2 Ensuite on permute 𝑥 et 𝑦
⇔ 𝑦 =𝑥 + 3 2
La relation réciproque de 𝑓 est la relation 𝑥 → 𝑦 =𝑥+3
2 (il s’agit ici d’une fonction)
b. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐− 𝟏 𝑦 = 𝑥2− 1
⇔ 𝑥2= 𝑦 + 1
Pour obtenir l’expression analytique de la réciproque, on isole 𝑥
⇔ 𝑥 = ±√𝑦 + 1 on permute 𝑥 et 𝑦
⇔ 𝑦 = ±√𝑥 + 1
La relation réciproque de 𝑓 est la relation
𝑥 → 𝑦 = ±√𝑥 + 1 (il ne s’agit pas d’une fonction)
𝒙 𝒚
𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝐼𝑚 𝑓 𝒇: 𝒙 → 𝒚
réciproque de 𝒇: 𝒚 → 𝒙
x y x y
-2 3 3 -2
-1 0 0 -1
0 -1 -1 0
1 0 0 1
2 3 3 2
graphe de f
graphe de la réciproque de f On permute x et y
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -2 0 2 4
x y
graphe de f graphe de la réciproque de f axe de symétrie
x y x y
0 -3 -3 0
2 1 1 2
graphe de la réciproque de f On permute x et y
graphe de f
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4 -2 0 2 4
x y
graphe de f graphe de la réciproque de f axe de symétrie
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 1
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On remarque que :
a. Les graphes d’une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite ayant pour équation 𝑦 = 𝑥 (bissectrice des axes 𝑥 et 𝑦)
b. La réciproque d’une fonction 𝑓 est une fonction 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 la fonction 𝑓 est injective,
c’est-à-dire 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 des abscisses différentes ont des images différentes, c’est-à-dire 𝑠𝑖 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑢𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑖 𝑓 est strictement croissante ou strictement décroissante.
c. Si la réciproque d’une fonction est une fonction, on la note 𝑓−1 et on parle de fonction inverse.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -2 0 2 4
x
y graphe de f : décroissante
(pour x <0) puis croissante (pour x>0) -
Deux abscisses différentes ont même image (ex: x=-1 et x =1 ont pour image y=0)
=> la réciproque n'est pas une fonction
graphe de f:
strictement croissante
=> la réciproque est une fonction
𝑦
𝑥
Page 24
1.3.3 Fonction logarithme
La fonction 𝑎𝑥: ℝ0+ → ℝ : 𝑥 → 𝑦 = log𝑎𝑥 est appelée fonction logarithme en base 𝑎.
Elle est définie comme étant la réciproque de la fonction exponentielle en base 𝑎, c’est-à-dire : 𝑦 = log𝑎𝑥
⇔ 𝑥 = 𝑎𝑦
𝐥𝐨𝐠𝒂𝐱est donc l’exposant qu’il faut mettre à 𝒂 pour obtenir 𝒙, c’est-à-dire : 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 = 𝒙
Avec 𝑎 > 1
Par exemple, soit 𝑓(𝑥), la fonction logarithme en base 2:
𝑓: ℝ0+→ ℝ: 𝑥 → 𝑦 = log2 𝑥 Application numérique:
• log22 = 𝟏 car 2𝟏 = 2
• log21
2= −𝟏 car 2−𝟏=1
2
• log28 = 𝟑 car 2𝟑 = 8
• log25√64=𝟔
𝟓 car 2𝟔𝟓= √25 6 Avec 0 < 𝑎 < 1
Par exemple, soit 𝑔(𝑥), la fonction logarithme en base 1
2 : 𝑔: ℝ0+→ ℝ: 𝑥 → 𝑦 = log1
2
𝑥 Application numérique :
• log1
2
2 = −𝟏 car (12)−𝟏= 2
• log1
2
1
√8=𝟑
𝟐 car (1
2)
𝟑 𝟐= 1
√8
• log1
2
64 = −𝟔 car (1
2)−𝟔= ((1
2)−1)
6
= (2)6 = 64 Propriétés
• 𝐷𝑜𝑚 log𝑎𝑥 = ℝ0+
• 𝐼𝑚 log𝑎𝑥 = ℝ
• les points (1,0) et (𝑎, 1)appartiennent au graphe de log𝑎𝑥
• le graphe admet une asymptote verticale en 𝑥 = 0, c’est-à-dire
𝑥→0limlog𝑎𝑥 = ±∞
• lim
𝑥→+∞log𝑎𝑥 = ±∞
•
Pour 𝑎 > 1, la fonction est croissante. Si 𝑎 > 0 et 𝑎 < 1, la fonction est décroissantex y
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
log1/2x
1/2; 1 1; 0
-2 -1 0 1 2 3
0 1 2 3 4 5
x y
x y
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
log2x
1; 0
2; 1
-2 -1 0 1 2 3
0 1 2 3 4 5
x y
Page 25
Exercice 1
(P1: Connaître) Calcule sans calculatrice et donne l’exponentielle associée (comme dans l’introduction théorique ci-dessus).
a. log31 = car 3…. = b. log39 = car 3…. =
c. log3 1
27= car 3…. = d. log34√81= car 3…. =
e. log1 3
1 = car (1
3)…= f. log1
3
9 = car (1
3)…=
g. log1
3
1
9= car (1
3)…= h. log1
34√243= car (1
3)…=
Exercice 2
(P1 : Connaître) Calcule les limites suivantes.
a. lim
𝑥→∞4𝑥 b. lim
𝑥→−∞2𝑥
c. lim
𝑥→−∞(1
3)𝑥 d. lim
𝑥→−∞(1
3)1−𝑥
e. lim
𝑥→+∞2−𝑥 f. lim
𝑥→−∞2𝑥2
g. lim
𝑥→0log1
2
𝑥 h. lim
𝑥→0log2𝑥
i. lim
𝑥→+∞log1 2
𝑥 j. lim
𝑥→−∞log1 2
𝑥
k. lim
𝑥→−∞log0.55(−𝑥) l. lim
𝑥→−∞log0.55(𝑥)
Page 26
1.4 Propriétés des logarithmes
1.4.1 Découverte
Complète la deuxième ligne des 3 tableaux et indique les opérations correspondant aux flèches sous les tableaux en remplissant les pointillés. Trouve une formule générale en réécrivant les opérations en fonction des réels positifs 𝑥 et 𝑦 et du réel 𝑛.
Opération 1
𝑧 0,001 0,01 0,1 1 10 𝑥 =100 𝑦 =1000 10000 𝑥 ∙ 𝑦 =
100000 1000000 log 𝑧
log 100000 = log(100 ∙ 1000) = log 100 … log 1000 𝐥𝐨𝐠(𝒙 ∙ 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 … 𝐥𝐨𝐠 𝒚
Opération 2
𝑧 0,001 0,01 0,1 1 10 𝑥
𝑦= 100 𝑦 =
1000 10000 𝑥 =
100000 1000000 log 𝑧
log 100 = log (100000
1000 ) = log 10000 − log 1000 𝐥𝐨𝐠 (𝒙
𝒚) = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 … 𝐥𝐨𝐠 𝒚 Opération 3
𝑧 0,001 0,01 0,1 1 10 𝑥 =100 1000 10000 100000 𝑥𝑛=
1000000 log 𝑧
log 1000000 = log(1003) = … log 100 𝐥𝐨𝐠(𝒙𝒏) = … 𝐥𝐨𝐠 𝒙
100 ∙ 1000 = 100000
… log 𝑥 … log 𝑦 …
𝑥 ∙ 𝑦
1003= 1000000 𝑥𝑛
100000
1000 = 100
log 𝑥𝑛= … log 𝑥
… 𝑥
𝑦
log 𝑥 … log 𝑦
Page 27
1.4.2 Propriétés immédiates
Pour tout 𝑎 ∈ ℝ0+\{1} , pour tout réel 𝑥 ∈ ℝ0+ , pour tout réel 𝑟, Par définition des exponentielles
(1.3.1) 𝑎0= 1 𝑎1 = 𝑎
Par définition des logarithmes (1.3.3)
log𝑎1 = 0 log𝑎𝑎 = 1
𝐥𝐨𝐠𝒂𝒂𝒓= 𝒓 Par réciprocité des
exponentielles et logarithmes
(1.3.2) 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 = 𝒙 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒂𝒙 = 𝒙
1.4.3 Opérations sur les logarithmes
Les propriétés découvertes au paragraphe 1.4.1 sont généralisées à toutes les bases et sont démontrées dans ce paragraphe.
Pour tous réels positifs 𝑥 et 𝑦, pour tout réel 𝑟, pour tout réel 𝑎 ∈ ℝ0+\{1} :
Logarithme d’un produit
Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 ∙ 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒚 Démonstration
On pose 𝑢 = log𝑎𝑥 ⇔ 𝑎𝑢= 𝑥 𝑣 = log𝑎𝑦 ⇔ 𝑎𝑣= 𝑦 log𝑎(𝑥 ∙ 𝑦) = log𝑎(𝑎𝑢∙ 𝑎𝑣)
= log𝑎(𝑎𝑢+𝑣)
= 𝑢 + 𝑣
= log𝑎𝑥 + log𝑎𝑦
Logarithme d’une puissance
𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙𝒓 = 𝒓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 Démonstration
On pose 𝑢 = log𝑎𝑥 ⇔ 𝑎𝑢= 𝑥 log𝑎(𝑥𝑟) = log𝑎(𝑎𝑢)𝑟
= log𝑎(𝑎𝑢∙𝑟)
= 𝑢 ∙ 𝑟
= 𝑟 ∙ log𝑎𝑥
Page 28
Logarithme d’un quotient
Le logarithme d’un quotient est égal à la différence des logarithmes 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙
𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒚 Démonstration
log𝑎(𝑥
𝑦) = log𝑎(𝑥 ∙ 𝑦−1)
= log𝑎𝑥 + log𝑎(𝑦−1) (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒)
= log𝑎𝑥 + (−1) ∙ log𝑎𝑦 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒)
= log𝑎𝑥 − log𝑎𝑦
Exercice 3
(P1 : Connaître) Exprime les logarithmes suivants en fonction de log 2 et log 3, en utilisant uniquement les propriétés des logarithmes. Ecris la propriété utilisée appliquée à l’exercice.
Sachant que log 2 = 0.,301 et log 3 =0,477, détermine le résultat avec ta calculatrice.
a. log 4 = b. log 6 =
c. log 8 = d. log 9 =
e. log12= f. log32=
Exercice 4
(P1 : Connaître) A l’aide des valeurs suivantes : log𝑎15 = 1,09 et log𝑎124 = 1,94, calcule sans calculatrice les logarithmes suivants.
a. log𝑎 15
124 = b. log𝑎154=
c. log𝑎√1243 d. log𝑎124𝑎3
e. log𝑎1243
15𝑎3 f. log𝑎𝑎log𝑎1243
Page 29
1.4.4 Changement de base
La formule de changement de base, utilisée au paragraphe 1.2.3 est démontrée ici. Pour tout réel positif 𝑥, pour tous réels 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ0+\{1} :
𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 =𝐥𝐨𝐠𝒃𝒙 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂 Démonstration
On pose 𝑢 = log𝑎𝑥 ⇔ 𝑎𝑢= 𝑥 log𝑏𝑥 = log𝑏𝑎𝑢
= 𝑢 ∙ log𝑏𝑎 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒)
= log𝑎𝑥 ∙ log𝑏𝑎 D’où
log𝑎𝑥 =log𝑏𝑥 log𝑏𝑎
Exercice 5
(P1 : Connaître) Calcule en utilisant la formule de changement de base. Ecris la formule appliquée à l’exercice, ensuite calcule le résultat avec ta calculatrice.
a. log0.612 =
b. log5.24.1 =
c. log42000 =
d. log1.56𝜋 =
Page 30
1.5 Modélisation
1.5.1 Introduction
Modéliser, c’est traduire une situation réelle dans un langage mathématique dans le but de lui appliquer des outils mathématiques, pour déduire des indications sur la situation réelle étudiée.
Voici par exemple une situation réelle :
« Un père de famille a un revenu net de 1500€ et a quatre filles. Chaque mois il doit payer les charges du ménage s’élevant à 1275 €, et il distribue le reste à ses filles. L’aînée reçoit le double de ce que reçoit la deuxième ou la troisième fille, et la plus petite reçoit la moitié de ce que reçoit la deuxième ou la troisième. La deuxième fille se demande combien elle recevra. »
L’inconnue de ce problème est le montant que recevra la deuxième fille chaque mois, assignons à ce montant une valeur inconnue 𝑥.
On modélise ce problème en le traduisant en une équation mathématique, qu’on résoudra avec les outils qu’on a appris à maîtriser les années précédentes. Voici un exemple de modèle de cette situation :
1500 = 1275 + 2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +𝑥 2
⇔ 225 =9𝑥 2
⇔225 9 = 𝑥
⇔ 𝑥 = 25
Et on en déduit que la deuxième fille recevra 25€ chaque mois.
Page 31
1.5.2 Modélisation par exponentielles et logarithmes
Dans ce paragraphe, nous nous attacherons à modéliser des situations à l’aide des outils que nous venons de découvrir, les exponentielles et les logarithmes.
Nous utiliserons des équations, qui font apparaître des égalités et des inéquations qui font apparaître des inégalités (>, <, ≥, ≤) et on utilisera nos nouveaux outils pour trouver la réponse au problème posé.
Nous avons résolu toutes sortes de problèmes dans la section 1.2, en utilisant nos facultés de raisonnement mais sans modéliser, c’est-à-dire sans écrire d’équation. Nous allons ici faire l’exercice de modéliser ces situations.
Reprenons les situations décrites au point 1.2.1 :
« Une équipe de scientifiques étudie l’évolution de la taille de la population d’une espèce de bactéries. Les scientifiques déposent une bactérie dans le récipient au début de l’expérience.
Les scientifiques constatent qu’après une heure, le nombre de bactéries a doublé »
1. Après combien de temps y aura-t-il 4096 bactéries dans le récipient ? L’inconnue 𝑥 est le temps. Nous avons remarqué que le nombre de bactéries après 𝑥 heures valait 2𝑥. On modélisera le problème par l’équation suivante :
2𝑥= 4096
Il s’agit d’une équation exponentielle, la variable 𝑥 apparaît en exposant dans l’équation.
Après l’avoir créée, il convient de la résoudre afin de répondre à la question posée. Pour résoudre cette équation on utilisera une propriété qui traduit mathématiquement la réciprocité des exponentielles et logarithmes de même base. Les fonctions étant réciproques, leurs « effets s’annulent » (voir 1.2.4) :
𝒙 = log𝑎𝑎𝒙 (propriété 1) Pour utiliser cette propriété, on appliquera le logarithme de même base que l’exponentielle aux 2 membres de l’équation :
log22𝑥= log24096 Avec la propriété 1
𝑥 = log24096 Or puisque 212= 4096, on a :
𝑥 = log2212 Avec la propriété 1
𝑥 = 12
Il faudra donc 12 h pour avoir 4096 bactéries dans le récipient
Page 32
2. Après combien de temps y aura-t-il plus de 15 bactéries dans le récipient ? 2𝑥> 15
Il s’agit d’une inéquation exponentielle, appliquons le logarithme en base 2 aux deux membres de l’équation :
log22𝑥 > log215 Avec la propriété 1 :
𝑥 > log215
On calculera le second membre à la calculatrice car 15 n’est pas une puissance de 2, on a : log215 =log 15
log 2 = 3,9 Et on a, finalement :
𝑥 > 3,9
Il aura plus de 15 bactéries dans le récipient après 3,9 heures
3. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient après quatre heures ? Ici, on ne cherche plus à déterminer un temps, l’inconnue 𝑥 est le nombre de bactéries. On utilisera donc la fonction réciproque, c’est-à-dire le logarithme. Nous avons remarqué que le temps à attendre pour obtenir un nombre 𝑥 de bactéries valait log2𝑥. On modélisera donc le problème par l’équation suivante :
log2𝑥 = 4
Il s’agit d’une équation logarithmique, en effet, la variable 𝑥 apparaît dans le logarithme.
Pour résoudre cette équation on utilisera une autre propriété illustrant la réciprocité des exponentielles et logarithmes de même base (voir 1.2.4) :
𝒙 = 𝑎log𝑎𝒙 (propriété 2) On utilisera cette propriété en appliquant l’exponentielle de même base que le logarithme aux 2 membres de l’équation :
2log2𝑥 = 24 Avec la propriété 2 :
𝑥 = 24
⇔ 𝑥 = 16 Il y aura 16 bactéries après 4 heures.
4. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient si on attend plus de 24 heures ? log2𝑥 > 24
Il s’agit d’une inéquation logarithmique. La variable 𝑥 apparaît dans le logarithme, on appliquera l’exponentielle de même base que le logarithme aux 2 membres de l’équation :
2log2𝑥 > 224 Avec la propriété 2 :
𝑥 > 224 c’est-à-dire : 𝑥 > 16 777 216 Il y aura plus de 16,77 millions de bactéries après 24 heures.
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Exercice 6
(P3 : Transférer) Modélise les situations suivantes, décrites au point 1.2.1, avec des équations ou des inéquations, et résous-les pour trouver la solution au problème posé :
« Tu décides d’aller placer 1€ à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte pendant 50 ans, Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de chaque année, la banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve. »
a. Après combien d’années auras-tu plus de 2€ sur ton compte ?
b. A combien s’élève ton capital après 10 ans ?
c. Quelle somme auras-tu si tu attends plus de 50 ans ?
Page 34
1.5.3 Résolution
Les méthodes de résolution s’appuient sur les différentes définitions et propriétés des logarithmes énoncées dans les paragraphes 1.3 et 1.4. Dans les tableaux suivants, des résolutions sont données pour les différents types d’équations ou d’inéquations rencontrées.
1.5.3.1 Equations exponentielles
Pas de CE (condition d’existence) car 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ égalité de 2 exponentielles de
même base
égalité entre une exponentielle et un réel
égalité de 2 exponentielles de base différentes 35𝑥+1 = 32−4𝑥 22𝑥 =1
4 22𝑥+1 = 82−𝑥
on égale les exposants
⇔ 5𝑥 + 1 = 2 − 4𝑥
⇔ 9𝑥 = 1
⇔ 𝑥 =1 9
on utilise les propriétés des puissances pour se ramener à une égalité de 2 exponentielles de même base
⇔ 22𝑥 = 2−2
on égale les exposants
⇔ 2𝑥 = −2
⇔ 𝑥 = −1
on utilise les propriétés des puissances pour se ramener à une égalité de 2 exponentielles de même base
⇔ 22𝑥+1 = 82−𝑥
⇔ 22𝑥+1 = (23)2−𝑥
⇔ 22𝑥+1 = 26−3𝑥
on égale les exposants
⇔ 2𝑥 + 1 = 6 − 3𝑥
⇔ 𝑥 = 1
ensemble solution ensemble solution ensemble solution
𝑆 = {1
9} 𝑆 = {−1} 𝑆 = {1}
Exercice 7
(P2 : Appliquer) : Résous les équations suivantes.
a. 33𝑥 – 3𝑥+1= 0 b. 9𝑥= 1
3𝑥+2
c. 43𝑥=161 d. 2 (1
8)4𝑥 = 32
e. 32𝑥−5= 3𝑥−2 f. 42𝑥+3=1
4
Page 35
1.5.3.2 Inéquations exponentielles
Pas de CE (condition d’existence) car 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ inégalité de 2 exponentielles
de même base
inégalité entre une exponentielle et un réel
inégalité de 2 exponentielles de base différentes (0,2)3𝑥+4 < (0,2)5𝑥+1 32𝑥+1 ≥1
9 3𝑥+1 < (1
27)
1−𝑥
en égalant les exposants, on doit changer le sens de l’inégalité car la fonction 0,2𝑥 est décroissante, c’est- à-dire que si la valeur de l’exponentielle augmente, l’abscisse de la fonction (exposant) diminue :
⇔ 3𝑥 + 4 > 5𝑥 + 1
⇔ −2𝑥 > 5
⇔ 𝑥 < −5 2
on utilise les propriétés des puissances pour se ramener à une égalité de 2 exponentielles de même base
⇔ 32𝑥+1 ≥ 3−2
on égale les exposants
⇔ 2𝑥 + 1 ≥ −2
⇔ 2𝑥 ≥ −3
⇔ 𝑥 ≥ −3 2
on utilise les propriétés des puissances pour se ramener à une égalité de 2 exponentielles de même base
⇔ 3𝑥+1< (3−3)1−𝑥
⇔ 3𝑥+1< 3−3+3𝑥
on égale les exposants
⇔ 𝑥 + 1 < −3 + 3𝑥
⇔ −2𝑥 < −4
pour rappel ; en factorisant les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif (ici −2), on doit changer le sens de l’inégalité
⇔ 𝑥 > 2
ensemble solution ensemble solution ensemble solution
𝑆 = ←, −5
2[ 𝑆 = [−3
2, → 𝑆 = ]2, →
Exercice 8
(P2 : Appliquer) : Résous les inéquations suivantes :
a. 32𝑥+2 >19 b. 475𝑥+3 > 1
c. 4𝑥−4 − 45≥ 0 d. 0,22𝑥+1 − [ 1
0,04]3≥ 0
e. 53𝑥+2 < 53𝑥+1 f. 53𝑥+2 < 52𝑥+3
Page 36
1.5.3.3 Equations logarithmiques
On commence par déterminer les conditions d’existence (CE) car le domaine d’une fonction logarithme est ℝ0+. Ainsi l’argument de la fonction logarithme doit être strictement positif.
égalité de 2 logarithmes de même base
égalité entre logarithme et un réel
cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes log4(𝑥 − 2) = log45 log3(5 − 𝑥) = 2 log3𝑥 + log32 = 1 conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence
𝑥 − 2 > 0
⇔ 𝑥 > 2 5 − 𝑥 > 0
⇔ 𝑥 < 5
𝑥 > 0
on trouve directement :
⇔ 𝑥 − 2 = 5
⇔ 𝑥 = 7
on passe à l’exposant de même base que le logarithme :
⇔ 3log3(5−𝑥) = 32
avec la propriété 𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 (1.3.3) :
⇔ (5 − 𝑥) = 32
⇔ (5 − 𝑥) = 9
⇔ 𝑥 = −4
on utilise les propriétés des logarithmes pour se ramener à un cas décrit dans les colonnes de gauche :
⇔ log32𝑥 = 1
on est dans le cas de la colonne du milieu : on passe à l’exposant de même base que le logarithme :
⇔ 3𝑙𝑜𝑔32𝑥 = 31
avec la propriété 𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 (1.3.3) :
⇔ 2𝑥 = 3
⇔ 𝑥 =3 2 ensemble solution ensemble solution ensemble solution
𝑆 = {7} 𝑆 = {−4} 𝑆 = {3
2} Exercice 9
(P2 : Appliquer) : Résous les équations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence.
a. log2(x − 1) = log28 b. log3(1 −2x3) = 4
c. log3x − log34 = 1 d. log42 − log43x = 4
e. log2(1 − 3x) = 2 f. log32x + log3 1 2= 2
g. log(x − 2) = log(x + 2) h. log32x − log3(x + 4) = 2
Page 37
1.5.3.4 Inéquations logarithmiques inégalité de 2 logarithmes de
même base
inégalité entre logarithme et un réel
cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes log0,4(5𝑥 − 1) > log0,4(3x
+ 4) log2(3𝑥 − 1) ≤ 5 ln 𝑥 − ln 2 ≤ ln(1 − 3𝑥) conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence
{5𝑥 − 1 > 0 3𝑥 + 4 > 0
⇔ { 𝑥 > 1 5⁄ 𝑥 > −4 3⁄
en combinant les deux conditions :
⇔ 𝑥 >1
5
3𝑥 − 1 > 0
⇔ 𝑥 >1 3
{ 𝑥 > 0 1 − 3𝑥 > 0
⇔ { 𝑥 > 0 𝑥 < 1 3⁄
en combinant les deux conditions :
⇔ 0 < 𝑥 <1
3
on doit changer le sens de l’inégalité car la fonction log0,4𝑥 est décroissante, c’est-à-dire que si la valeur du logarithme augmente, l’argument de la fonction diminue :
⇔ 5𝑥 − 1 < 3𝑥 + 4
⇔ 2𝑥 < 5
⇔ 𝑥 < 5 2
on passe à l’exposant de même base que le logarithme :
⇔ 2log2(3𝑥−1)≤ 25
avec la propriété 𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 (1.3.3):
⇔ 3x − 1 ≤ 25
⇔ 3x − 1 ≤ 32
⇔ 3𝑥 ≤ 33
⇔ 𝑥 ≤ 11
on utilise les propriétés des logarithmes pour se ramener à un cas décrit dans les colonnes de gauche :
⇔ ln𝑥2≤ ln (1 − 3x)
on est dans le cas de la colonne de gauche : on trouve directement :
⇔ ln𝑥
2≤ ln(1 − 3𝑥)
⇔ 𝑥
2≤ 1 − 3𝑥
⇔ 7𝑥
2 ≤ 1
⇔ 𝑥 ≤2 7 ensemble solution ensemble solution
(en tenant compte des CE)
ensemble solution
(en tenant compte des CE)
𝑆 = ←,5
2[ 𝑆 = ]1
3, 11] 𝑆 = ]0,2
7] Exercice 10
(P2 : Appliquer) Résous les inéquations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence.
a. log2(2𝑥 − 2) > log23 b. log2(1 − 2𝑥) ≤ 3
c. log3𝑥 − log35 < 2 d. log2(3𝑥 + 3) − log23 ≥ 0
e. log (2𝑥 + 4) < log 4𝑥 f. log5(1 − 2𝑥) > 0
g. log 3𝑥 + log (1
3) < 2 h. log 3𝑥 − log (1
3) < 2
