Fonction Expronentielle - Cours
– décembre 2020
1 Dérivée de la fonction exponentielle
Soitaun nombre réel positif.
La fonctionpuissanceouexponentiellede baseaest la fonc- tion
f(x) =ax Cette fonction est définie surR.
x y
−5 −4 −3 −2 −1 00 1 2 3 4 5 1
2 3 4 5
Définition Rappel : Fonctions puissances
Parmi cette famille de fonction une seule vérifie la conditionf0(0) = 1c’est la fonction exponentielle.
Lafonction exponentiellenotéeexpest définie surRparexp :x7→exavece≈2.71.
• Elle est continue et dérivable surR
• Elle est strictement positive surR (∀x∈Rex>0)
• e0= 1ete1=e x
exp(x) =ex
−∞ +∞
x y
−5 −4 −3 −2 −1 0 0 1 2 1
2 3 4 5
f(x) =ex
Définition
La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
∀x∈R exp0(x) = exp(x)
Propriété Dérivée de exp
Remarque : On peut définir l’exponentielle comme la fonction qui vérifief0(x) =f(x)(on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
On en déduit, pour toutx∈R,exp0(x) = exp(x)etexp(x)>0alors la fonction exponentielle est . . . .
Exemple de calcul
Calcul de la dérivée def(x) = (2x+ 1)ex À faire au crayon à papier :
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