Exercice 1 : Introduction - D´ efinition de la distribution de Dirac 1 – On introduit la fonction

Universit´ e Paris-Saclay Ann´ ee 2019–2020 Licences L3 PAPP & PMEC

Math´ ematiques pour la Physique II

TD 8 : Distribution de Dirac

Exercice 1 : Introduction - D´ efinition de la distribution de Dirac 1 – On introduit la fonction

δ ε (x)

= ε/π

x ² + ε ² . (1)

a) Tracer la soigneusement.

b) Analyser lim _ε→0

δ ε (x) pour x 6= 0 et pour x = 0.

c) Soit ϕ(x) une fonction continue ` a l’origine. Calculer

ε→0 lim

Z

R

dx δ _ε (x) ϕ(x) . (2)

On supposera ´ egalement que ϕ d´ ecroˆıt

vite

` a l’infini, afin que l’int´ egrale soit absolu- ment convergente.

d) Calculer la d´ eriv´ ee δ ⁰ _ε (x). La tracer soigneusement. Calculer

ε→0 lim

Z

R

dx δ _ε ⁰ (x) ϕ(x) . (3)

e) Mˆ eme question avec δ ⁰⁰ _ε (x).

f) Donner la transform´ ee de Fourier ˆ δ _ε (k) (cf. TD pr´ ec´ edent). La tracer et discuter la limite ε → 0 ⁺ . Quelle forme prend la repr´ esentation δ _ε (x) = R

R

√ dk

2π δ ˆ _ε (k) e ^ikx dans cette limite ? g) Que vaut F _k

δ ⁽ⁿ⁾ ε (x)

? Discuter la limite ε → 0 ⁺ .

2 – Aurions nous pu baser la discussion sur les fonctions suivantes ? Π ε (x) =

( 1

ε pour |x| < ε/2

0 pour |x| > ε/2 , T ε (x) = ( ₁

ε

1 − ^|x| _ε

pour |x| < ε 0 pour |x| > ε , Φ _ε (x) = 1

πε sinc x ε

, Ψ _ε (x) = 1

πε sinc ² x ε

, Υ _ε (x) = 1 2ε exp

− |x|

ε

, g _ε (x) = 1

√ 2π ε e ⁻

^(x/ε)

.

La distribution de Dirac peut ˆ etre vue comme la limite de δ _ε (x) pour ε → 0 ⁺ . Dans les exercices qui suivent, on utilisera la relation fondamentale :

Z

R

dx δ(x) ϕ(x) = ϕ(0) (4)

o` u ϕ est une fonction continue en 0.

Exercice 2 : Int´ egrales avec δ Calculer les int´ egrales suivantes

Z

R

dx δ(ax + b) x ² avec a > 0 Z

R

d ³ ~ x δ(R − ||~ x||) Z

R

d ³ ~ x δ(R ² − ~ x ² ) Z

R

dk Z ∞

0

dx x e ^−x cos(k(x ² − λ)) Z

R

dx δ(sin(πx)) π x ² + a ² Z

R

dp δ(x ² + p ² − E)

Exercice 3 : Densit´ es d’´ etats quantiques pour des particules libres

La distribution de Dirac est tr` es utile pour calculer des densit´ es. Par exemple, si l’on consid` ere un probl` eme quantique, caract´ eris´ e par un spectre des ´ energies {ε _n }, le concept de

densit´ e d’´ etats

, d´ efinie comme ρ(ε) = P

n δ(ε − ε _n ), est tr` es utile.

1 – Soit I = [E ₁ , E ₂ ] un intervalle. Que repr´ esente R

I dε ρ(ε) ?

2 – On consid` ere des particules libres ultrarelativistes. Les ´ etats quantiques libres sont des ondes planes |φ _{~ k} i, d’´ energie ε _{~ k} = ~c|| ~ k||. Calculer la densit´ e des ´ etats quantiques par unit´ e de volume en dimension d (pour ~ c = 1)

ρ(ε) =

Z d ^d ~ k

(2π) ^d δ(ε − || ~ k||) (5)

Indication : la surface d’une sph` ere de rayon unit´ e en dimension d est S d = 2π ^d /Γ(d/2).

3 – Mˆ eme question pour des particules non relativistes avec ε _{~ k} = ^~ _2m

^{~ k}

(en faisant ~ ² /(2m) = 1) :

ρ(ε) =

Z d ^d ~ k

(2π) ^d δ(ε − ~ k ² ) (6)

Exercice 4 : Normalisation des ondes planes sur R ⁺ en MQ

On consid` ere l’´ equation de Schr¨ odinger libre sur R <sup>+</sup> , avec condition de Dirichlet ` a l’origine.

Une base de fonctions est

φ k (x) = C sin(kx) pour k > 0 . (7)

1 – Calculer la constante C assurant la condition d’orthonormalisation des ondes planes Z ∞

0

dx φ _k (x) φ _k

(x) = δ(k − k ⁰ ) (8)

2 – On souhaite maintenant indicer les ondes planes ` a l’aide de l’´ energie E = k ² . On les note alors ψ E (x) = B sin( √

E x). Calculer la nouvelle constante de normalisation assurant la condition

Z ∞

0

dx ψ E (x) ψ E

(x) = δ(E − E ⁰ ) . (9)

Exercice 5 : Distribution de la position d’un oscillateur 1D en m´ ecanique statistique On consid` ere une particule en une dimension, soumise ` a un potentiel V (x) confinant (i.e. t.q. V (x) → +∞ pour x → ±∞). Le postulat fondamental de la physique statistique nous dit que la distribution microcanonique ρ ^∗ est uniforme dans l’espace des phases, i.e. la loi jointe de la position et de l’impulsion est

ρ ^∗ (x, p) = C δ p ² + V (x) − E

(10) 1 – D´ eduire la distribution de la position

w(x) = Z

dp ρ ^∗ (x, p) , (11)

`

a une normalisation pr` es.

Exercice 6 : Distribution de Dirac δ et fonction de Heaviside θ _H 1 – On d´ efinit la fonction

θ ε (x)

= 1 2 + 1

π arctan x

ε

. (12)

a) Tracer soigneusement θ _ε (x).

b) Calculer θ _ε ⁰ (x).

c) Discuter la limite ε → 0 ⁺ pour les deux fonctions.

d) Pr´ eciser quelle est la valeur de θ ε (0).

2 – On donne un autre ´ eclairage sur la relation pr´ ec´ edente. La fonction de Heaviside est d´ efinie comme

θ _H (x) =

( 1 pour x > 0

0 pour x < 0 (13)

Discuter la valeur de l’int´ egrale R x

−∞ dt δ(t) en fonction de x. D´ eduire la relation entre θ _H (x) et δ(x).

3 – Applications :

a) La fonction indicatrice d’un ensemble A ⊂ R est χ _A (x) = 1 pour x ∈ A et χ _A (x) = 0

pour x / ∈ A. Calculer la d´ eriv´ ee de la fonction indicatrice d’un intervalle, χ _[a,b] (x).

b) En exprimant la fonction sign(x) en fonction de θ H (x), donner sa d´ eriv´ ee.

c) D´ eduire _dx ^d

|x − x ₀ | et _dx ^d

max(x, x ₀ ).

4 – On consid` ere la fonction Π _ε (x) d´ efinie dans le premier exercice (et un TD pr´ ec´ edent).

Calculer Π ⁰ _ε (x). Soit ϕ une fonction continue, exprimer R

R dx Π ⁰ _ε (x) ϕ(x) puis discuter la limite ε → 0 ⁺ (faire d’abord l’int´ egration puis prendre la limite).

5 – Discutons des applications de la relation entre θ _H et δ. on consid` ere l’´ equation diff´ erentielle d

dx + λ

y(x) = δ(x) . (14)

V´ erifier que y(x) = θ _H (x) e ^−λx est solution.

Facultatif : En supposant que λ > 0, r´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle ` a l’aide de la transfor- mation de Fourier. Et pour λ < 0 ?

6 – On consid` ere maintenant l’´ equation diff´ erentielle d ²

dt ² + ω ²

G(t) = δ(t) . (15)

Montrer que G _R (t) = θ _H (t) _ω ¹ sin(ωt) est solution. V´ erifier que G _F (t) = _2iω ¹ exp

iω|t| est aussi solution.

Exercice 7 : Changement de variable dans une distribution et g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires

Consid´ erons une variable al´ eatoire X distribu´ ee selon la loi p(x). Nous notons h· · · i _X la moyenne sur la variable al´ eatoire.

1 – Justifier que l’on peut ´ ecrire p(x) = hδ(x − X)i _X .

2 – Soit f une fonction monotone. Utiliser la remarque pr´ ec´ edente pour relier p(x) ` a la distribution q(y) de la variable al´ eatoire Y = f(X).

3 – Application : g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires

a ) soit X une variable distribu´ ee uniform´ ement sur l’intervalle [0, 1]. Quelle est la distribu- tion de la variable Y = − ln X ?

b) On consid` ere deux variables gaussiennes identiques et ind´ ependantes, X et Y , distribu´ ees selon la loi jointe

P (x, y) = 1

π exp{−x ² − y ² } . (16)

Quelle est la distribution de Z = X ² + Y ² ? Quelle est la distribution de l’angle θ d´ efinissant la direction du vecteur X~ u x + Y ~ u y ?

Sachant qu’un ordinateur fournit des nombres al´ eatoires uniform´ ement distribu´ es sur [0, 1], d´ eduire une mani` ere de programmer un g´ en´ erateur de nombres al´ eatoires gaussiens.

Exercice 8 : Fonctions de Green

1 – Bille dans un fluide soumise ` a une force oscillante.— On ´ etudie l’´ equation diff´ erentielle

¨ x(t) + 1

τ x(t) = ˙ F _ω

m cos(ωt) , (17)

o` u 1/τ est reli´ e au coefficient de viscosit´ e.

a ) Donner l’´ equation pour la fonction de Green G(t) associ´ ee ` a l’´ equation diff´ erentielle (pour la vitesse).

b) Calculer G(t).

c) D´ eduire la solution de l’´ equation diff´ erentielle (17) (en r´ egime permanent).

2 – Oscillateur ´ electrique

a ) On soumet un oscillateur ´ electrique (circuit LC) ` a une impulsion ´ electrique exponentielle : Q(t) + ¨ 1

LC Q(t) = U (t)

L avec U (t) = θ _H (t) U ₀ e ^−λt (18)

La fonction de Green

retard´ ee

a ´ et´ e donn´ ee plus haut : G(t) = θ _H (t) _ω ¹

0

sin(ω ₀ t).

Exprimer ω 0 en fonction de L et C. D´ eduire la solution Q(t) nulle pour t < 0.

b) Facultatif : Effet de la dissipation.– On ´ etudie maintenant le circuit RLC en ajoutant un terme (R/L) ˙ Q(t) ` a l’´ equation pr´ ec´ edente. On pose 2/τ = R/L. ´ Ecrire la nouvelle

´

equation pour la fonction de Green et la r´ esoudre en utilisant l’analyse de Fourier. ´ Etudier la fonction de Green dans la limite τ ω 0 1.

Exercice 9 : Distribution de Dirac dans R ^d et fonction de Green du Laplacien On d´ efinit la distribution de Dirac dans R ³ comme

δ(~ x)

= δ(x)δ(y)δ(z) (19)

1 – Calculer Z

R

d ³ ~ x δ(~ x) . (20)

2 – Reprendre l’exercice du TD pr´ ec´ edent sur le potentiel de Yukawa et r´ einterpr´ eter le r´ esultat pour donner la fonction de Green de l’´ equation

− ∆ + κ ²

G κ (~ x) = δ(~ x). D´ eduire la fonction de Green du Laplacien G ₀ (~ x).

3 – Ecrire la solution de l’´ ´ equation de Poisson (dans le syst` eme CGS)

∆V (~ x) = −4π ρ(~ x) (21)

pour une densit´ e de charge ρ(~ x) quelconque ` a l’aide de G ₀ (~ x).