Exercice 1 : Ensembre de d´ efinition, D´ eriv´ ees partielles

(1)

2017-2018 MAT303–UGA

TD 5 : d´ eriv´ ees partielles, diff´ erentielle.

Exercice 1 : Ensembre de d´ efinition, D´ eriv´ ees partielles

Pour les fonctions f : R

²

−→ R suivantes, trouver et repr´ esenter dans R

²

le domaine de d´ efinition, puis calculer les d´ eriv´ ees partielles premi` eres lorsqu’elles existent.

f (x, y) = x

³

+ x

²

sin(xy), f (x, y) = x

⁴

e

^y

, f (x, y) = ln(1 − k(x, y)k

²₂

), f (x, y) = ln

x + p

x

²

+ y

²

, f(x, y) = p

x − y

²

, f (x, y) = ln(sin(x − y)).

Exercice 2 : D´ eriv´ ees directionnelles I

Soit f la fonction d´ efinie sur R

²

par f(x, y) = y

²

/x si x 6= 0 et f (0, y) = 0.

1. Soit θ un r´ eel fix´ e. Que repr´ esente g´ eom´ etriquement la fonction g

_θ

(r) = f (r cos θ, r sin θ) ? 2. Montrer que pour tout r´ eel θ, la fonction g

_θ

est d´ erivable en 0.

3. Montrer que pourtant, f n’est pas continue en (0, 0).

Exercice 3 : D´ eriv´ ees directionnelles II

Soit f d´ efinie sur R

²

par f(x, y) = x cos y +ye

^x

. Pour θ ∈ R , soit u

^→_θ

le vecteur de coordonn´ ees (cos θ, sin θ). Calculer la d´ eriv´ ee directionnelle de f en (0, 0) dans la direction de u

^→_θ

. Pour quelle valeur de θ est-elle maximale ? Interpr´ eter cette information sur le graphe de f .

Exercice 4 : Matrice Jacobienne

Calculer la matrice jacobienne en tout point de la fonction f : R

²

→ R

²

suivante et exprimer la diff´ erentielle df

_(1,1)

:

f(x, y) = ( sin(xy) , xe

^−(x²^+y²⁾

) .

Exercice 5 : D´ eriv´ ees partielles secondes I Soit f la fonction d´ efinie sur R

²

par

f (x, y) =



 



 



0 si (x, y) = (0, 0) xy(x

²

− y

²

)

x

²

+ y

²

si (x, y) 6= (0, 0)

Montrer que f est de classe C

¹

sur R

²

, mais pas de classe C

²

.

(2)

Exercice 6 : D´ eriv´ es partielles secondes II Soit f la fonction d´ efinie sur R

²

par

f (x, y) =



 

 

0 si y = 0

y

²

sin

x y

si y 6= 0 1. Etudier la continuit´ e de f .

2. Etudier l’existence et la valeur de d´ eriv´ ees partielles d’ordre 1 et 2. Montrer que

_∂x∂y^∂²^f

∂²f

∂y∂x

existent en (0, 0) mais n’ont pas la mˆ eme valeur. Quelle est la classe de f ?

Exercice 7 : Extrema I

Trouver les points critiques sur R

²

des fonctions suivantes.

f (x, y) = x

²

+ y

²

+ x

³

, f (x, y) = x

³

+ y

³

− 3xy , f(x, y) = x

²

+ xy + y

²

+ 2x + 3y f (x, y) = x

⁴

+ y

⁴

− 4xy , f(x, y) = xe

^y

+ ye

^x

Discuter leur nature.

Exercice 8 : Extrema II

Soit f d´ efinie sur R

²

par f (x, y) = (x

²

− y)(3x

²

− y).

1. Prouver que pour tout k ∈ R , la fonction g

_k

(x) d´ efinie par g

_k

(x) = f (x, kx) admet un minimum local en 0.

2. La fonction f admet-elle un minimum local en (0, 0) ?

Exercice 9 : Divergence et rotationnel

Un champ de vecteurs diff´ erentiable sur R

²

est la donn´ ee d’une fonction d´ erivable V : (x, y) ∈ R

²

7−→ V (x, y) = (V

₁

(x, y), V

₂

(x, y)) ∈ R

²

. La divergence et le rotationnel d’un champ V sont donn´ es par

div(V ) = ∂V

₁

∂x + ∂V

₂

∂y et rot(V ) = ∂V

₂

∂x − ∂V

₁

∂y .

Calculer la divergence et le rotationnel des champs de vecteurs suivants. Dessiner les champs de vecteurs et interpr´ eter les r´ esultats.

V (x, y) = (x/ p

x

²

+ y

²

, y/ p

x

²

+ y

²