´Equations aux d´eriv´ees partielles Chapitre 1 : ´Equations hyperboliques en une dimension d’espace

Equations aux d´ ´ eriv´ ees partielles

Chapitre 1 : ´ Equations hyperboliques en une dimension d’espace

Lucie Le Briquer

1 M´ ethode des caract´ eristiques

∂u

∂t +c∂u

∂x =f (1)

o`u u(t, x) est une fonction `a valeurs r´eelles, c(t, x, u) donn´ee,f(t, x, u) donn´ee

Exemples.

– ´equation d’advection ou du dromadaire c∈Rdonn´ee

u_t+cu_x= 0 (2)

– ´equation du dromadaire qui s’´evapore o`u se concentre c∈Retα∈R

ut+cux+αu= 0 (3)

– ´equation de Burgers non visqueuse f = 0 etc(t, x, u) =u

ut+uux= 0 (4)

Contre-exemple.

– ´equation de Burgers visqueuse ε >0

ut+uux=εuxx (5)

Remarque.

Probl`eme : siu^εest une solution de (5), est-ce queu^ε−→

ε→0uo`u uest solution de (4) ?

⇒Th´eorie des distributions

1

1.1 Etude de ´ (1)

Id´ee. PoserU(t) =u(t, x(t)) pour simplifier (1). Posons :

∂x

∂t(t) =c(t, x, u(t, x(t))) ´equation des caract´eristiques (6) Si on ajoute :

x(t0) =x0 on obtient un probl`eme de Cauchy (7)

dU

dt(t) = ∂u

∂t(t, x(t)) +∂x

∂t(t)∂u

∂x(t, x(t)) =

∂u

∂t +c∂u

∂x

(t, x(t))⁽¹⁾=f(t, x(t), u(t, x(t))) dU

dt(t) =φ(t, U(t)) (8)

U(t) =u(t, x(t)) (9)

φ(t, V) =f(t, x(t), V) (10)

U(t0) =u(t0, x0) (11)

Sif est C¹, sic, usontC⁰, alorsφest C⁰ par rapport `at etC<sup>1</sup> par rapport `aV.

L’ensemble des ´equations (8) `a (11) est unprobl`eme de Cauchy qui poss`ede une solution locale en temps d´efinie sur un intervalle Icontenantt0.

(1) ´etant donn´ee, (6) porte le nom d’´equation des caract´eristiques. La courbe (t, x(t)) est unecaract´eristique de (1)

D´efinition 1(´equation des caract´eristiques, caract´eristique)

1.2 Etude de l’´ ´ equation (2)

dx dt =c

x(t) =c(t−t₀) +x₀ solution globale (12) Les caract´eristiques sont des droites. L’´equation (8) devient :

dU

dt = 0 (13)

U(t) =u(t, x0+c(t−t0)) =u(t0, x0) (14)

Si uest solution de (2) alorsuest constant sur les caract´eristiques.

Propri´et´e 1

2

Si uest solution de (2) et si :

∀x∈R, u(t0, x) =u0(x) (15)

alors :

u(t, x) =u0(x−c(t−t0)) (16)

Corollaire 2

Preuve.

• u(t0, x−c(t−t0))

| x−c(t−t₀) x|

t−

t₀•

caract´eristique

1.3 Etude de l’´ ´ equation (3)

(8) : dU

dt =−αU U(t0) =u(t0, x0) U(t) =u(t0, x0)e^{−α(t−t0)}

Apr`es calculs, on obtient :

u(t, x) =u₀(t₀, x−c(t−t₀))e^{−α(t−t0)} (17)

Exercice 1.

Montrer l’assertion (17)

Exercice 2.

v(t, x) =u(t, x)e^{−α(t−t0)} Montrer que siuv´erifie (3) alors v v´erifie (2) (⇒(17))

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