EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

Pr. Mohammed BOUSSAID

UNIVERSITE MOHAND OULHADJ BOUIRA 5 mars 2018

Table des matières

I Méthodes aux di¤érences 3

1 Les équations aux dérivées partielles 3

1.1 Classi…cation des EDP . . . 3

1.2 Méthodes de résolution des EDP . . . 4

2 Méthodes aux di¤érences 4 2.1 Origine des expressions discrètes . . . 5

2.2 Expressions discrètes pour les dérivées premières . . . 5

2.3 Expressions discrètes pour les dérivées secondes . . . 6

2.4 Cas des dérivées mixtes . . . 7

3 Conditions aux limites spatio-temporelles 8 4 Conditions du type linéaire 8 5 Conditions du type non linéaire 8 6 Les erreurs en di¤érences …nies 9 6.1 Erreurs de consistance . . . 9

6.2 Erreur de stabilité . . . 9

6.3 Erreur de convergence . . . 10

7 Problèmes paraboliques à une dimension 10 8 Discrétisation des problèmes paraboliques 11 8.1 Shéma explicite pur . . . 11

8.1.1 Stabilité du schéma explicite . . . 11

8.1.2 Schémas des noeuds limites . . . 12

8.1.3 Représentation matricielle . . . 12

8.2 Autre type d’équation parabolique . . . 14

8.3 Schéma implicite pur ou d’Euler . . . 15

8.3.1 Stabilité du schéma implicite . . . 15

8.3.2 Schémas implicite des noeuds limites . . . 16

8.3.3 Représentation matricielle . . . 16

8.4 Schéma de Crank-Nicholson . . . 19

8.4.1 Stabilité du schéma de Crank-nicholson . . . 19

8.5 Schéma pondéré . . . 21

8.6 Schéma de Dufort et Frankel . . . 22

8.6.1 Stabilité du schéma de Dufort-Frankel . . . 22

8.7 Schémas à trois niveaux de temps . . . 23

8.7.1 Stabilité du schéma 86 . . . 23

8.8 Schéma de gear . . . 23

8.9 Schéma de Richardson . . . 23

8.9.1 Stabilité de la méthode de Richardson . . . 23

9 Problèmes paraboliques en coordonnées cylindriques 24 9.1 Discrétisation . . . 24

9.2 Conditions aux limites . . . 24

10 Méthodes des directions alternées explicites 25 11 Equations paraboliques en deux dimensions 28 12 Méthodes des directions alternées implicites 29 12.1 Schéma des noeuds limites . . . 29

13 Méthode de Hopscotch 31 14 Problèmes elliptiques 31 14.1 Equations de Poisson et de Laplace . . . 31

14.2 Discrétisation d’une équation elliptique . . . 32

14.3 Méthode de stationnarisation . . . 33

15 Problème de convection naturelle 34 16 Approche physique 34 16.1 Problème monodimensionnel . . . 34

16.2 Problème bidimensionnel . . . 34

16.3 Problème cylindrique . . . 34

17 Equations hyperboliques 34 17.1 L’équation d’onde . . . 34

18 Erreurs de dissipation et de dispersion 36 18.1 Dissipation . . . 36

18.2 Dispersion . . . 36

18.3 Dissipation . . . 37

19 Shémas explicites 38 19.1 Schéma de Lax ordre 1 . . . 39

19.1.1 Stabilité . . . 40

19.2 Schéma de Lax à l’ordre 2 . . . 41

19.3 Stabilité du schéma de Lax d’ordre 2 . . . 43

19.4 Schéma décentré (upwind) . . . 44

19.5 Schéma Leap-Frog . . . 46

19.6 Schéma de Lax-Wendro¤ . . . 49

19.7 Schéma de Lax-Wendro¤ à 3 niveaux de temps . . . 50

19.8 Schéma de Mac-Cormak . . . 51

19.9 Schéma Crank-Nicholson . . . 51

20 Equation d’onde du second degré 51

20.1 Schéma explicite . . . 51

20.2 Schéma implicite . . . 56

20.3 Stabilité du schéma implicite . . . 56

20.4 Equation d’onde acoustique . . . 57

Première partie

Méthodes aux di¤érences

1 Les équations aux dérivées partielles

1.1 Classi…cation des EDP

Les équations aux dérivées partielles (E.D.P) sont souvent rencontrées en physique et dans les sciences de l’ingénieur. Elles sont alors le fruit de bilans locaux ou globaux de quantités scalaires ou vectorielles. Les E.D.P du second ordre sont très courantes en transfert de chaleur et de masse, en mécanique des ‡uide en électricité et magnétisme. La forme générale de ce type d’équations est du type 1

A@²f

@x² +B @²f

@x@y +C@²f

@y² +D@f

@x +E@f

@y +F f =G (1)

Les coe¢ cientsA, B,C,D,E,F,G peuvent dépendre de xet dey mais pas def. Les E.D.P du second ordre ne présentant pas la forme ci-dessus sont des équations non linéaires. Si G est nul, l’équation est dite homogène. siG6= 0, l’équation est non homogène.

Les E.D.P du second ordre sont quali…ées d’elliptiques, d’hyperboliques ou de paraboliques quand elles prennent des formes particulières de l’équation générale ci dessus. Ce quali…catif est important dans la mesure ou c’est à partir du type déquation que le choix des méthodes de résolution se fait. Selon le signe de l’expression B² 4AC, on a une :

- Equation elliptique lorsque

B² 4AC <0 (2)

- Equation hyperbolique lorsque

B² 4AC >0 (3)

- Equation parabolique lorsque

B² 4AC= 0 (4)

Une deuxième façon simple de reconnaître le type d’équation dont on a a¤aire est de remplacer les dérivées comme suit :

@f

@x !X, @f

@y !Y, @²f

@y² !Y², @²f

@x² !X², @f

@t !T (5)

Une équation est alors dite parabolique si la forme équivalente est un paraboloide du type :

T =a X²+Y² (6)

On dira quelle est hyperbolique si l’équation représentative est de la forme hyperboloide :

a X² Y² = 0 (7)

Elle est du type elliptique si l’équation est du type ellipsoide :

aX²+bY²=d (8)

Exemples :

Cas de l’équation de la di¤usion (chaleur, neutron ou matière,...), elle s’écrit :

@f

@t =a @²f

@x² a: est le coe¢ cient de di¤usion

Cette équation est du type parabolique, en e¤et la première classi…cation montre que : A=a, B = 0, C= 0, D= 0, E= 1, F= 0

Dans ce cas B² 4AC= 0

La deuxième classi…cation est encore plus simple à mettre en oeuvre et l’équation équivalente s’écrit : T =aX² qui est l’expression d’une parabole, l’équation de la di¤usion est donc du type parabolique.

Cas de l’équation des ondes, vibration d’une corde, d’un milieu ..., elles s’écrivent de la manière suivante :

@²f

@t² a^@_@x^2f2 = 0

Avecf pouvant être un déplacement, une vitesse, une pression, une masse volumique...

La première classi…cation montre que :A= 1; B= 0; C= a; D= 0; E= 0; F = 0 Dans ce cas : B² 4AC= 0 4a= 4a

aétant un terme positif, alors : B² 4AC >0 l’équation des ondes est par conséquent du hyperbolique.

La deuxième classi…cation montre directement que la cônique équivalente est du type hyperbolique, en e¤et T² aX²= 0est l’expression d’une hyperbole.

L’équation de Laplace ou de Poisson très souvent rencontrées dans les problèmes de la physique, notamment en di¤usion permanente, s’écrit : ^@_@x^2f2 +^@_@y^2f2 =P

Avec P = 0 On a une équation du type Laplace et avec P 6= 0 on une équation du type Poisson. Ce type d’équation est elliptique. La première classi…cation montre : A = 1; B = 0; C = 1; D = 0; E= 0; F = 0, B² 4AC = 0 4 1<0

la seconde classi…cation montre une équation représentative du typeX²+Y²=P qui est une ellipse, donc l’E.D.P considérée est elliptique.

1.2 Méthodes de résolution des EDP

La résolution des EDP se fait analytiquement ou numériquement. De nombreuses méthodes analytiques existent, on peut citer les méthodes de séparation de variables alliées à l’analyse de Fourier et les méthodes basées sur les transformations de Laplace.

Les méthodes numériques de résolution des EDP peuvent être classées en deux catégories :

– Les méthodes d’approximation de solutions : Ces méthodes consistent à proposer des solutions approchées en essayant d’avoir le plus petit reste possible (résidu) entre la solution exacte et la solution approchée.

C’est le des méthodes de collocations, de Kantorovich, de Galerkin, des puissances virtuelles, variation- nelles, éléments …nis

– Les méthodes d’approximation des équations : Elles consistent à proposer des approximations aux dérivées partielles apparaissant dans ces équations : C’est le cas des méthodes aux di¤érences …nies ou aux volumes

…nis ensuite de résoudre les systèmes d’équations obtenues.

2 Méthodes aux di¤érences

Le principe de la méthode aux di¤érences …nies est le suivant : Le domaine de variation continu de la fonction est remplacé par un ensemble discret de points ou noeuds qui constitue un maillage ou un réseau. Les dérivées …gurant dans les équations di¤érentielles ou aux dérivées partielles sont remplacées par des di¤érences que l’on obtient en faisant des développement limités en série de Taylor au voisinage d’un pointidonné.

La résolution numérique des équations di¤érentielles de la physique mathématique par la méthode des di¤érences …nies se fait en deux étapes :

1. Une approximation discrète de l’équation di¤érentielle sur un maillage, ce qui donne un système d’équa- tions linéaires d’ordre égal au nombre de noeuds

2. Une résolution sur ordinateur du système d’équations obtenu.

2.1 Origine des expressions discrètes

Les développement de la fonction f(x) au voisinage de (i+ 1) et de (i 1), que l’on notera simplement fi+1 et fi 1s’écrivent comme suit :

f_i+1 = f_i+ x 1!

@f

@x _i+ x² 2!

@²f

@x² _i+ x³ 3!

@³f

@x³ _i+:::+ xⁿ n!

@ⁿf

@xⁿ _i+R_{n+1 +} (9) fi 1 = fi

x 1!

@f

@x _i+ x² 2!

@²f

@x² _i x³ 3!

@³f

@x³ _i+::: xⁿ n!

@ⁿf

@xⁿ _i+Rn+1 (10) Le resteR_{n+1 +} = _(n+1)!^{1 @n+1}_@xn+1^{f( )}

Pour tenir compte aussi des dérivées temporelles, il est commode d’introduire le compteur de temps eni

indice supérieur. Le développement en série de Taylor au voisinage du tempsn+ 1 s’écrit comme suit : fⁿ⁺¹=fⁿ+ t

1!

@f

@t

n

i

+ t² 2!

@²f

@t²

n

i

+ t³ 3!

@³f

@t³

n

i

+:::+ tⁿ n!

@ⁿf

@tⁿ

n

i

+Rn+1( +) (11) Le resteR_n+1( ₊) = _(n+1)!^{1 @n+1}_@xn+1^{f( )}

n

xet tsont les pas d’espace et de temps. On reviendra sur les valeurs dei xet tet leurs conséquences sur la qualité des solutions numériques obtenues.

iet le numéro du noeud spatial considéré. En trois dimensionsi; j; k représenteront les positions du noeud considéré.

nest l’indice de temps pour les équations évolutives.

2.2 Expressions discrètes pour les dérivées premières

L’expression des dérivées premières et secondes s’obtient à partir de ces développements. Par exemple, en limitant le développement à l’ordre 1, on peut tirer une première expression discrète de la dérivée à partir de 9, c’est expression dite amont (ou foreward) 12

@f

@x _i

fi+1 fi

x +O( x) (12)

On tire aussi de 10 l’expression dite arrière (ou backward) 13

@f

@x _i

f_i f_{i 1}

x +O( x) (13)

Ces deux expressions approchées de la dérivée première spatiale sont obtenues à l’ordre 1. En faisant la di¤érences entre 9 et 10, on obtient une expression discrète à l’ordre 2, plus précise et appelée di¤érence centrale, soit :

@f

@x _i

f_i+1 f_{i 1}

2 x +O x² (14)

Les deux premières expressions sont dites décentrées par rapport ài, alors que la troisième est centrée.

Du dernier développement on obtient une approximation de la dérivée temporelle précise à l’ordre 1 :

@f

@t

n f_iⁿ⁺¹ f_iⁿ

t +O( x) (15)

Il est bien sûr possible d’obtenir des expressions pour des ordres plus élevés qui donnent des schémas aux di¤érences à plusieurs niveaux de temps. On introduira ce type de schéma par la suite.

Il est possible d’obtenir des approximations sur trois points comme suit :

Fig.1 –Représentation graphiques des dérivées discrètes

@f

@x _i

( 3fi+ 4fi+1 fi+2)

2 x +O x² (16)

et :

@f

@x _i

(fi 2 4fi 1+ 3fi)

2 x +O x² (17)

précise toutes les deux à l’ordre 2.

et sur quatre points :

@f

@x _i

( 11f_i+ 18f_i+1 9f_i+2+ 2f_i+3)

6 x +O x³ (18)

@f

@x _i

( 2fi 1 3fi+ 6fi+1 fi+2)

6 x +O x³ (19)

@f

@x _i

(fi 2 6fi 1+ 3fi+ 2fi+1)

6 x +O x³ (20)

Ces trois expressions sont précises à l’ordre 3.

2.3 Expressions discrètes pour les dérivées secondes

@²f

@x² _i=fi+1 2fi+fi 1

x²

1

12f_xxx( ) ²x (21)

et une expression décentrée avant (forward) :

@²f

@x² _i=fi 2fi+1+fi+2

x² +O x² (22)

et une autre expressions décentrée arrière (backward)

@²f

@x² _i=fi 2fi+1+fi+2

x² +O x² (23)

on propose aussi des expressions discrètes utilisant quatre points d’approximations comme suit :

@²f

@x² _i = 2fi 5fi+1+ 4fi+2 fi+3

x² +O x⁴ (24)

@²f

@x² _i = fi 3+ 4fi 2 5fi 2+ 2fi

x² +O x⁴ (25)

@³f

@x³ _i = f_i+ 2f_{i 1} 2f_i+1+f_i+2

2 x³ +O x² (26)

@⁴f

@x⁴ _i = f_{i 2} 4f_{i 1}+ 6f_i 4f_i+1+f_i+2

x⁴ +O x² (27)

discrétisations d’ordre 4, centrées

@²f

@x² _i = fi 2+ 16fi 1 30fi+ 16fi+1 fi+2

12 x² +O x⁴ (28)

@³f

@x³ _i = fi 3 8fi 2+ 13fi 1 13fi+1+ 8fi+2 fi+3

8 x³ +O x⁴ (29)

@⁴f

@x⁴ _i = f_{i 3} 12f_{i 2} 39f_{i 1}+ 56f_i 39f_i+1+ 12f_i+2 f_i+3

6 x⁴ +O x⁴ (30)

Discrétisations avant d’ordre 1

@²f

@x² _i = fi 2fi+1+fi+2

x² O( x)

@³f

@x³ _i = fi+ 3fi+1 3fi+2+fi+3

x³ O( x)

@⁴f

@x⁴ _i = fi 4fi+1+ 6fi+2 4fi+3+fi+4

x⁴ O( x)

Discrétisations arrière d’ordre 1

@²f

@x² _i = f_i 2f_{i 1}+f_{i 2} x² O( x)

@³f

@x³ _i = fi 3+ 3fi 2 3fi 1+fi

x³ O( x)

@⁴f

@x⁴ _i = fi 4fi 1+ 6fi 2 4fi 3+fi 4

x⁴ O( x)

2.4 Cas des dérivées mixtes

Pour discrétiser une dérivée mixte du type _@x@y^@2f , on peut utiliser le schéma centré utilisé pour la dérivée première

@

@x

@f

@y _i;j 1 2 x

"

@f

@y _i+1;j

@f

@y _{i 1;j}

#

(31) en discrétisant à son tour chacun des termes, on obtient :

@

@x

@f

@y _i;j 1 2 x

f_i+1;j+1 f_{i+1;j 1} 2 y

f_{i 1;j+1} f_{i 1;j 1}

2 y (32)

L’expression 32 est précise à l’ordre 2 en x et y. D’autres types de schémas peuvent être obtenus à des ordres inférieurs, on peut citer :

Schéma Ordre Observations

@

@x

@f

@y i;j 1

x

fi+1;j+1 fi+1;j

y

fi;j+1 fi;j

y O( x; y) avant/avant

@

@x

@f

@y i;j 1

x

fi+1;j fi+1;j 1

y

fi;j fi;j 1

2 y O( x; y) avant/arrière

@

@x

@f

@y i;j 1

x

fi+1;j+1 fi+1;j 1

2 y

fi;j+1 fi;j 1

2 y O x;( y)² avant/centré

@

@x

@f

@y i;j 1

x

fi;j+1 fi;j

y

fi 1;j+1 fi 1;j

y O( x; y) arrière/avant

@

@x

@f

@y i;j 1

x

fi;j fi;j 1

y

fi 1;j+1 fi 1;j

y O( x; y) arrière/arrière

@

@x

@f

@y i;j 1

x

fi;j+1 fi;j 1

2 y

fi 1;j+1 fi 1;j 1

y O x;( y)² arrière/centré

@

@x

@f

@y i;j 1 2 x

fi+1;j+1 fi+1;j

2 y

fi 1;j+1 fi 1;j

2 y O ( x)²; y centré/avant

@

@x

@f

@y i;j 1 2 x

fi+1;j fi+1;j 1

y

fi 1;j fi 1;j 1

y O ( x)²; y centré/arrière

@

@x

@f

@y i;j 1 2 x

fi+1;j+1 fi+1;j 1

2 y

fi 1;j+1 fi 1;j 1

2 y O ( x)²;( y)² centré/centré

3 Conditions aux limites spatio-temporelles

Les équations aux dérivées partielles sont toujours accompgnées de conditions aux limites et initiales pour les équations évolutives, permettant d’identi…er le problème. Il existe plusieurs types : Les conditions aux limites linéaires et les conditions non linéaires.

4 Conditions du type linéaire

La condition la plus simple est de connaître la fonction recherché à la frontière du domaine. Ce type de condition est applelé condition de Dirichlet.

f(à la limite) connue (33)

Lorsque une dérivée de la fonction recherchée est appliquée à la limite du domaine, on a a¤aire à une condition du type Neumann :

@f(x; y; z; t)

@n _lim=g(x; y; z; t) avec n=x; y ou z (34) Lorsqu’une combinaison de ces deux conditions est appliquée, il s’agit des conditions du type Fourier ou de Robbins.

@f(x; y; z; t)

@n _lim+f(x; y; z; t) +C= 0 (35)

5 Conditions du type non linéaire

Tout le reste des conditions ne ressemblant pas à ceux citées ci-dessus sont non linéaires. On peut appli- quer par exemple une condition dans laquelle la fonction apparaît avec un exposant di¤érent de 1, comme : fⁿ(x; y; z; t) =g(x; y; z; t)à la limite du système ou

@f(x; y; z; t)

@n _lim+fⁿ(x; y; z; t) =g(x; y; z; t) avec n6= 1 (36)

6 Les erreurs en di¤érences …nies

Considérons un problème transitoire du type :

@u

@t = Q(D(x))u

u(x;0) = u0 Condition initiale

La solution exacte de ce problème dont nous ne traitons pas les conditions aux limites est u(t) qui est fonction deu₀ par l’intermédiaire d’un opérateur que nous appelleronsE(t):u(t) =E(t):u₀.

Si nous utilisons pour discrétiser cette équation un schéma à deux niveaux de temps comme suit : uⁿ⁺¹_i uⁿ_i

t =Q(D(x))uⁿ_i ( ) +Q(D(x))uⁿ⁺¹_i (1 ) système que l’on peut aussi écrire sous la forme suivante :

uⁿ⁺¹_i =C( t)uⁿ_i

avec C un opérateur (éventuellement implicite en uⁿ⁺¹_i ), on peut énoncer les critères demandés par un schéma.

6.1 Erreurs de consistance

La consistance, c’est la propriété qui assure que la solution exacte des équations discrétisées tende vers la solution exacte des équations continues lorsque le pas de discrétisation ( t et x) tendent vers zéro.

On appelle erreur de troncature l’erreur commise en supposant que la solution exacte réalise le schéma numérique.

Pour que le schéma que l’on vient d’obtenir en discrétisant l’E.D.P représente celle-ci, il faut que lorsque t !0, le schéma discret tende vers l’équation di¤érentielle, d’ou l’erreur de consistance dé…nit comme suit :

e = C( t)uⁿ_i uⁿ_i

t Q(D(x))uⁿ_i

"discrétisé exact "

e !0, t !0.

lime

t !0= C( t)uⁿ_i uⁿ_i

t Q(D(x))uⁿ_i !0

Cette condition est appelée condition de consistance et elle naturelle pour la plupart des schémas à deux niveaux, pour les schémas à plusieurs niveaux, certains schémas ne sont pas consistants (Leap-Frog).

6.2 Erreur de stabilité

La stabilité, c’est la propriété qui assure que la di¤érence entre la solution numérique obtenue et la solution exacte des équations discrétisées est bornée.

Si une perturbation parasite est introduite dans un schéma aux di¤érences (perturbation numérique ou physique), celle-ci peut être ampli…ée, on dit alors que le schéma est instable. Si cette perturbation est au contraire dissipée, le schéma est stable. La stabilité d’un schéma pose des di¢ cultés pour plusieurs raisons :

- Il est souvent di¢ cile de stabiliser un code qui développe des instabilités numériques.

- L’étude théorique et la prévision des instabilités sont délicates et souvent impossibles analytiquement pour des problèmes complexes.

De nombreuses méthodes existent pour étudier la stabilité des schémas et peuvent fournir des critères de stabilité. C’est le cas du critère de Von Neumann. C’est une technique simple et très utilisée pour l’analyse

de la stabilité des schémas aux di¤érences. Cette technique fournit un critère qui ne peut être ni nécessaire ni su¢ sant pour la stabilité pratique d’un code.

Si l’on reprend le schéma :

uⁿ⁺¹_i uⁿ_i

t =Q(D(x))uⁿ_i ( ) +Q(D(x))uⁿ⁺¹_i (1 ) dans lequel nous introduisons la perturbation harmonique :

uⁿ⁺¹_i =vⁿexp (jik x) avec j²= 1 (37) La condition de stabilité est que le coe¢ cient d’ampli…cation Adé…nit comme suit :

A= vⁿ⁺¹

vⁿ (38)

doit être tel que :

jAj 1 ou encore :

vⁿ⁺¹ vⁿ 1 qui est le critère de stabilité de Von Neumann.

Le calcul de An’est possible que si l’opérateurQ(D(x))est linéaire.

6.3 Erreur de convergence

En admettant qu’on a bien discrétisé le problème, c’est à dire que le schéma est consistant, il faut assurer aussi la stablité de celui-ci, c’est-à-dire satisfaire la condition de stabilité. Un schéma est convergent si à tout instant du calcul, le résultat numérique doit tendre vers la solution exacte si on est prêt à réduire le pas de temps :

limt !0kC( t)ⁿT0 E(n t)T0k 8n

La convergence, c’est la propriété qui assure que la solution numérique tende vers la (ou une) solution exacte des équations continues. C’est évidemment la propriété la plus recherchée.

Théorème de Lax: Pour un problème aux valeurs initiales linéaire et bien posé, un schéma aux di¤érences consistant, est convergent si sa stabilité est assurée.

Remarque : D’autres erreurs sont rencontrées en di¤érences …nies comme les erreurs de dispersion et de dissipation, qui concernent surtout les équations hyperboliques. Elles seront traitées en temps voulue.

7 Problèmes paraboliques à une dimension

La conduction transitoire dans un mur in…ni dans les directionyetz(ou une barre latéralement isolée) est un cas pratique courant. Il s’agit de déterminer le champs de température dans le mur et en fonction du temps.

@T

@t =a@²T

@x² pour 0< x < L (39)

On peut considérer plusieurs types de conditions aux limites. Les conditions du type linéaires sont au nombre de quatre. Une parmi ces conditions ou plusieurs sont imposées ou connues, on a : La fonction, la dérivée de la fonction, une combinaison des ces deux conditions et en…n une condition dite de contact pour deux domaines voisins (cas des matériaux composites).

T(0; t) = T1(t), T(L; t) =T2(t) (40)

@T

@x _x=0 = '₁(t) et @T

@x _x=L='₂(t) (41)

@T

@x _x=0 = h1(T Tf), @T

@x _x=L=h2(T Tf) (42) A cela il est nécessaire pour dé…nir complètement le problème, de connaître la fonction recherchée ent= 0, c’est la condition initiale :

T(x;0) =g(x) pour t= 0 (43)

Pour ce problème spéci…que, il est possible de faire le changement de variables suivant pour simpli…er :

=T TR.TR : Est une température de référence (elle ne change pas dans le problème si cela est possible).

Les équations deviennent :

@

@t =a@²

@x² pour 0< x < L (44)

Les conditions aux limites sont aussi modi…ées :

(0; t) = T₁(t), T(L; t) =T₂(t)

@

@x _x=0 = '₁(t) et @

@x _x=L='₂(t) avec =T Ti

@

@x _x=0 = h et @

@x _x=L=h avec =T T_f (x;0) = g(x) pour t= 0 8x

8 Discrétisation des problèmes paraboliques

8.1 Shéma explicite pur

Le schéma explicite de l’équation parabolique 44 est le plus simple des schémas qu’on peut obtenir, la discrétisation de la dérivée seconde spatiale se fait au tempsn t , on a :

n+1 i

n i

t =a

n

i+1 2 ⁿ_i + ⁿ_{i 1}

( x)² (45)

Soit en posantF o= ₍^a_x)^t2 (Nombre de Fourier) :

n+1

i =F o ⁿ_i+1 2 ⁿ_i + ⁿ_{i 1} + ⁿ_i (46)

Erreur de troncature : e=h

O( t) +O( x)²i 8.1.1 Stabilité du schéma explicite

Le critère de stabilité de Von Neumann 38 peut être utilisé pour véri…er la stabilité du schéma 46.

A=

n+1

n = F o ⁿ_i+1 2 ⁿ_i + ⁿ_{i 1} + ⁿ_i

n (47)

Introduisons une perturbation du type harmonique 37 dans celui-ci et calculons le facteur d’ampli…cation A, après simpli…cation par ⁿexp (jik x):

A=F o[expk x 2 + exp k x] + 1 (48)

Comme :

exp (jk x) = cos (k x) +jsin (k x) exp ( jk x) = cos (k x) jsin (k x) le coe¢ cient d’ampli…cation devient :

A= 2F o[cos (k x) 1] + 1 (49)

La stabilité est assurée si :

1 A 1 (50)

Le cas le plus défavorable est obtenu pour cos (k x) = 1;soit : 2F o[ 2] + 1 1 Par conséquent :

F o 1=2 (51)

Pour pouvoir obtenir des solutions valables, il est donc impératif de veiller à réaliser un choix des pas de temps et d’espace satisfaisant 51.

8.1.2 Schémas des noeuds limites

Pour les noeuds limites et avec des conditions du troisième type, nous écrivons le schéma discret au temps ncomme suit : ⁿ²_{2 x}ⁿ⁰ =h ⁿ₁ expression dans laquelle apparaît aussi un noeud …ctif que l’on éliminera de la même manière que pour le schéma implicite, il vient les équations explicites du premier et dernier noeud :

n+1

1 = (1 2F o 2BiF o) ⁿ₁+ 2F o ⁿ₂

n+1

1 = ⁿ₁ C₁+ ⁿ₂ D₁

n+1

imax = ⁿ_{imax 1}(2F o) + ⁿ_imax(1 2F o 2BiF o)

n+1

imax = ⁿ_{imax 1} Gm+ ⁿ_imax Cn

Le schéma général s’écrit sous la forme suivante :

n+1

i = ⁿ_i+1(F o) + ⁿ_i (1 2F o) + ⁿ_{i 1}(F o) (52) 8.1.3 Représentation matricielle

On peut écrire le système formé de 46 et 52 sous forme matricielle comme suit : 0

BB BB BB BB BB

@

n+1 1n+1 2

: :

n+1 i

:

n+1 imax 1

n+1 imax

1 CC CC CC CC CC A

= 0 BB BB BB BB BB

@

C1 D1 0 0 0 0 0 0

G C D 0 : : : :

0 G C D 0 : : :

: 0 C 0 : :

: : 0 C 0 :

: : : 0 C 0

: : : : 0 G C D

0 0 0 0 0 0 G_m C_n 1 CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB

@

n 1n 2

: :

n i

:

n imax 1

n imax

1 CC CC CC CC CC A

La résolution de ce schéma est simple, puisque l’évaluation de la valeur des fonctions se fait directement sans recourir à une inversion de matrice.

La …gure 2 montre l’évolution de la solution pour une condition de stabilité légèrement supérieure à la consigne(F o= 0:51). On constate l’e¤et des erreurs qui déforment les solutions, sans pour autant exploser.

Sur la …gure 3 on voit nettement des oscillations apparaître et s’ampli…er rapidement. Le critère de stabilité est dépassé de 0.5(F o= 0:55)et les solutions explosent au bout de quelques pas de temps.

C CE PROGRAMME RESOUD LEQUATION DE LA CHALEUR EN EXPLICITE 1 D C LES CONDITION SONT CELLES DE FOURIER

0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00 X

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

T(x,t)

1 10

20

40

60

100

200

300

500

Fig.2 –Solutions de l’équation de la di¤usion pour une condition légèrement supérieur à 0.5, soitF o= 0:51

DIMENSION T(200),TI(200) OPEN(17,FILE=’EXF300.DAT’) NITER=300

N=100 FO=0.5 BI=.2 TF1=100.

TF2=100.

TINIT=10.

DO I=1,N TI(I)=TINIT ENDDO J=0 C=1.-2*FO D=FO G=FO

50 T(1)=2.*D*TI(2)+TI(1)*(C-2*FO*BI)+2*FO*BI*TF1 T(N)=2.*G*TI(N-1)+TI(N)*(C-2*FO*BI)+2*FO*BI*TF2 DO I=2,N-1

T(I)=TI(I+1)*D+TI(I)*C+TI(I-1)*G ENDDO

DO I=1,N TI(I)=T(I) ENDDO J=J+1

IF(J.LT.NITER) GOTO 50 DO I=1,N

WRITE(17,*)I,T(I)

0.0 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 x

-5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0

T(x,t)

10

20

30

Fig.3 –Le critère de stabilité n’est pas respecté pour ce schéma explicite(F o= 0:55), d’ou les oscillations qui s’ampli…ent à chaque pas de temps

PRINT*,I,T(I) ENDDO

CLOSE(17) END

8.2 Autre type d’équation parabolique

Une autre forme d’équation parabolique existe, comme

@T

@t =a@²T

@x² +bT (53)

Aveca,b 0

L’équation 53 discrétisée par di¤érences …nies schéma explicite, en posant G= ₍^b_x)^t2 donne :

T_iⁿ⁺¹=T_i+1ⁿ (F o) +T_iⁿ(1 2F o+G) +T_iⁿ₁(F o) (54) Introduisons la perturbation harmoniqueT_iⁿ= ⁿexp (jik x)dans le schéma 54 on obtient :

n+1exp (jik x) = ⁿexp (j(i+ 1)k x) (F o) + ⁿexp (jik x) (1 2F o+G) + ⁿexp (j(i 1)k x) (F o) (55) divisons 54 par ⁿexp (jik x), il apparaît le facteur d’ampli…cationA

A =

n+1

n =F oexp (jk x) + (1 2F o+G) +F oexp ( jk x) (56) A =

n+1

n = 2F ocos (k x) + (1 2F o+G) (57)

Commecosk x= 1 2 sin^{2 k}₂^x , l’expression 57 devient : A=

n+1

n = 1 +G 4F osin² k x

2 (58)

Pour satisfaire à la condition de Von Neumann, il faut quejAj 1 c’est-à-dire 1 +G 4F osin² k x

2 1 (59)

de l’équation 59 on voit bien que la condition de stabilité estG 4F oou 1 G+ 4F osin^{2 k}₂^x 1 F o 1

2 +G

4 (60)

1 1 +G 4F osin^{2 k}₂^x 1

F o ²

4 sin²(^k2^x)+ ^G

4 sin²(^k2^x)

Le cas le plus défavorable correspond àsin^{2 k}₂^x = 1, il vient :F o ¹₂+^G₄

G

4 sin²(^k2^x) F oici aussi le cas le plus défavorable correspond à sin^{2 k}₂^x = 1, il vient :F o ^G₄ par conséquent la condition de stabilité est :

G

4 F o 1 2 +G

4 (61)

Cela mène …nalement à F o ¹₂ ce qui correspond à la condition de stabilité du schéma explicite pour l’équation parabolique sans le termebT.

8.3 Schéma implicite pur ou d’Euler

La discrétisation de l’équation 44 se fait au temps(n+ 1) tpour la dérivée seconde spatiale, on obtient 62 :

n+1

i n

i

t =a

n+1

i+1 2 ⁿ⁺¹_i + ⁿ⁺¹_{i 1}

( x)² (62)

Soit le schéma :

n+1

i F o ⁿ⁺¹_i+1 2 ⁿ⁺¹_i + ⁿ⁺¹_{i 1} = ⁿ (63)

L’erreur de troncature :

e=h

O( t) +O( x)²i

(64) 8.3.1 Stabilité du schéma implicite

Le coe¢ cient d’ampli…cationAs’écrit : A=

n+1

n =

n+1 n+1

i F o ⁿ⁺¹_i+1 2 ⁿ⁺¹_i + ⁿ⁺¹_{i 1} (65)

en remplaçant par l’expression de ⁿ⁺¹, et en simpli…ant par ⁿexp (jik x)on obtient : A=

n+1

n = 1

1 F o(exp (k x) 2 + exp (k x)) (66)

de la même manière que pour le schéma explicite

exp (jk x) = cos (k x) +jsin (k x) (67)

exp ( jk x) = cos (k x) jsin (k x) (68)

le coe¢ cient d’ampli…cation se réduit à l’expression :

A =

n+1

n = 1

1 F o(2 (cosk x) 2) (69)

A =

n+1

n = 1

1 + 4F osin^2k₂^x (70)

On voit bien à partir de 70 que le facteur d’ampli…cation est toujours inférieur ou égal à1. La condition de stabilité est donc vraie pour le schéma implicite quel que soit la valeur deF o, on dit que le schéma implicite est inconditionnellement stable.

8.3.2 Schémas implicite des noeuds limites

Pour des conditions de Fourier, l’obtention des schémas des noeuds limites se fait en deux étapes. La première consiste à discrétiser les expressions des conditions limites

@

@x _x=0 = h (71)

n+1

2 n+1

0

2 x = h ⁿ⁺¹₁ (72)

Il apparaît alors ⁿ⁺¹₀ qui est une température …ctive et qui s’exprime comme suit :

n+1

0 = 2h x _n+1

1 n+1

2 (73)

La seconde étape consiste à élimner cette quantité …ctive entre 73 et 63. En thermique, on écritBi= ^{h x} qui est un nombre sans dimensions appelé nombre de Biot, ce qui nous permet d’écrire :

n+1

0 = 2Bi ⁿ⁺¹₁ + ⁿ⁺¹₂ (74)

On élimine ⁿ⁺¹₀ de la façon suivante : – En faisanti= 1dans le schéma général

n+1

1 n

1

t =a

n+1

2 2 ⁿ⁺¹₁ + ⁿ⁺¹₀ ( x)²

– En substituant l’expression de ⁿ⁺¹₀ dans le schéma général, ce qui donne une l’équation du premier noeud que l’on présente comme suit :

n+1

1 (1 + 2F o 2BiF o) + ⁿ⁺¹₂ ( 2F o) = ⁿ₁ (75) AvecF o= ₍^a_x)^t2 qui est le nombre de Fourier.

On fait de même pour le noeud maxi(imax);on obtient une autre équation pour ce noeud qu’on écrit comme suit :

n+1

imax 1( 2F o) + ⁿ⁺¹_imax(1 + 2F o 2BiF o) = ⁿ_imax (76) 8.3.3 Représentation matricielle

Le schéma général d’Euler avec des conditions du type Fourier, se présente lui comme suit :

n+1

i+1 ( F o) + ⁿ⁺¹_i (1 + 2F o) + ⁿ⁺¹_{i 1} ( F o) = ⁿ_i (77) PosonsC1= 1 + 2F o 2BiF o,C= 1 + 2F o,G=D= F oetG2=D2= 2F o: Le système d’équations décrit peut se mettre sous forme matricielle :

0 BB BB BB BB BB B@

C1 D2 0 0 0 0 0 0

G C D

0 G C D 0

G C

0 0 0 ::: ::: :::

... D

D C D

G₂ C₁ 1 CC CC CC CC CC CA

0 BB BB BB BB BB

@

n+1 1n+1 2

:

n+1 i

: :

n+1 imax 1

n+1 imax

1 CC CC CC CC CC A

= 0 BB BB BB BB BB

@

n 1n 2

:

n i

: :

n imax 1

n imax

1 CC CC CC CC CC A

La …gure 4 montre les solutions de l’équation de la di¤usion pour un nombre de Fourier F o= 0:5, aucune oscillation n’apparaît quelque soit la valeur du temps.

4.00 8.00 12.00 16.00 20.00

x 0.00

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00

Ttx,t)

1 10 30 40 50 60 70 80 100 130 200

Fig.4 –Solutions de l’équation de la di¤usion avec conditions du premier type constantes à 100 et une condition initiale constante à10

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

x 92

94 96 98 100

T(x,t)

Fig.5 –Solution de l’équation de la chaleur avec des conditions aux limites du3^eme type.

Programme mettant en application le schéma implicite d’Euler C CE PROGRAMME EST BASE SUR LA METHODE DES DIFFERENCES C FINIES UTILISANT UN SCHEMA IMPLICITE POUR RESOUDRE

C L’EQUATION DE LA CHALEUR DANS LE CAS DU MUR AVEC C DES CONDITIONS DE DIRICHLET

REAL L

DIMENSION VD(100),T(100),TI(100),X(100),C(100),

*G(100),D(100)

OPEN(20,FILE=’IMD.DAT’)

NITER=200 ! NOMBRE DE PAS DE TEMPS L=0.1

N=100 ! NOMBRE DE POINTS DE CALCUL

DX=L/N ! PAS D’ESPACE

DT=1. ! PAS DE TEMPS

A=1.E-6 ! DIFFUSIVITE THERMIQUE

FO=A*DT/(DX**2.) ! NOMBRE DE FOURIER TINIT=10.

DO I=1,N

TI(I)=TINIT ! CONDITION INITIALE ENDDO

J=0

100 T1=100. ! CONDITION A GAUCHE DU MUR TN=100. ! CONDITION A DROITE DU MUR

DO I=1,N

C(I)=1+2*FO ! TERMES DE LA DIAGONALE CENTRE ENDDO

DO i=1,n-1

D(I)=-FO ! TERMES DE LA DIAGONALE DE DROITE ENDDO

DO I=2,N

G(I)=-FO ! TERMES DE LA DIAGONALE DE GAUCHE ENDDO

VD(1)=TI(1)+T1*FO ! 1ER TERME DU VECTEUR DE DROITE VD(N)=TI(N)+TN*FO ! DERNIER TERME DU VECTEUR DE DROITE DO I=2,N-1

VD(I)=TI(I) ! TERMES DU VECTEUR DE DROITE ENDDO

CALL TRIDAG(G,C,D,VD,X,N) ! RESOLUTION DU SYSTEME TRIDIAGONAL DO I=1,N

T(I)=X(I) ! RESULTATS AU TEMPS J ENDDO

J=J+1 ! PASSAGE AU TEMPS SUIVANT

DO I=1,N TI(I)=T(I)

ENDDO

IF(J.LT.NITER) GOTO 100 DO I=1,N

WRITE(20,*)I*DX,T(I) ENDDO

CLOSE(20) END

8.4 Schéma de Crank-Nicholson

Le schéma de Crank-Nicolson est une combinaison des schémas implicite et explicite, le résultat de moi- tié pour le premier et de moitié pour le second est un schéma implicite intéressant pour certaines applica- tions. En sommant 63 et 52 puis en divisant les deux membres de l’expression obtenue par 2, on obtient : Pour les noeuds intérieurs :

n+1 i+1

F o

2 + ⁿ⁺¹_i (1 + 2F o) + ⁿ⁺¹_{i 1} F o

2 = ⁿ_i+1 F o

2 + ⁿ_i (1 2F o) + ⁿ_{i 1} F o

2 (78)

Pour les noeuds limites :

n+1

1 (1 +F o BiF o) + ⁿ⁺¹₂ ( F o) = ⁿ₁(1 F o+BiF o) + ⁿ₂(F o) (79)

n+1

1 C1+ ⁿ⁺¹₂ D1 = ⁿ₁ c1+ ⁿ₂ d1 (80)

n

imax 1( F o) + ⁿ_imax(1 +F o BiF o) = ⁿ⁺¹_{imax 1}(F o) + ⁿ⁺¹_imax(1 + 2F o 2BiF o) (81)

n

imax 1 G_m+ ⁿ_imax C_n = ⁿ⁺¹_{imax 1} g_m+ ⁿ⁺¹_imax c_n (82) L’écriture sous forme matricielle, montre un système implicite où la solution est obtenue après inversion d’une matrice :0

BB BB BB BB BB

@

C₁ D₁ 0 0 0 0 0 0

G C D 0

0 G C D 0

0 0

0 0

0 0

0 G C D

0 0 0 0 0 0 Gm Cn

1 CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB

@

n+1 1n+1 2

n+1 i n+1 imax 1

n+1 imax

1 CC CC CC CC CC A

= 0 BB BB BB BB BB

@

c₁ d₁ 0 0 0 0 0 0 g c d 0

0 g c c 0

0 0

0 0

0 0

0 0 g c d

0 0 0 0 0 0 gm cn

1 CC CC CC CC CC A

0 BB BB BB BB BB

@

n 1n 2

n i n imax 1

n imax

1 CC CC CC CC CC A La résolution directe de ce système est simple en raison de la con…guration tridiagonale de la matrice à inverser, on peut utiliser l’algorithme de Thomas. Voir annexe.

8.4.1 Stabilité du schéma de Crank-nicholson

Le critère de Von Neumann est utilisé pour évaluer la stabilité du schéma de Crank-Nicolson.

n+1

i = ( ⁿi+1+ ⁿ_{i 1})(^{F o}2)+ ⁿ_i(1 2F o) ( ⁿ⁺¹i+1+ ⁿ⁺¹_{i 1})( ^{F o}2 )

1+2F o

Introduisons la perturbation harmonique dans le schéma ⁿ⁺¹_i = ⁿ⁺¹exp (jik x) A=( ⁿi+1+ ⁿ_{i 1})(^{F o}2 )^{+ n}i(1 2F o)(^{F o}2) ( ⁿ⁺¹i+1+ ⁿ⁺¹_{i 1})( ^{F o}2 )

n i

= ⁽

nexp(j(i+1)k x)+ ⁿexp(j(i 1)k x))(^{F o}2 )^{+ nexp(jik x)(1+2F o)} ( ⁿ⁺¹exp(j(i+1)k x)+ ⁿ⁺¹exp(j(i 1)k x))( ^{F o}2 )

nexp(jik x) (1+2F o)

A(1 + 2F o) = cos (k x) (F o) +1 2F o+A F o cos (k x) A(1 + 2F o F o cos (k x)) = cos (k x) (F o) +1 2F o A=^{1 2F o+F o}_{1+2F o F o} ^cos(k_cos(k ^x)_x),

Pour que le schéma soit stable, il faut que : 1 ^{1 2F o+F o}_{1+2F o F o} ^cos(k_cos(k ^x)_x) 1

4F o+ 2F o cos (k x) 0 ou encore

2F o F o cos (k x)ce qui est vrai puisquecos (k x) = 1 au maximum pour la deuxième partie de l’inéquation on a :

1 ^{1 2F o+F o}_{1+2F o F o} ^cos(k_cos(k ^x)_x) ou encore 1 2F o+F o cos (k x) 1 2F o+F o cos (k x)

c’est-à-dire 2 0 ce qui est vrai aussi. Le schéma de Crank-Nicolson est donc inconditionnellement stable.

La …gure est obtenue grâce au schéma de Crank-Nicolson, aucune instabilité n’est relevée même avec une valeur deF o= 0:8.

Le schéma de Crank-Nicholson étant un schéma implicite est lui aussi stable sans conditions.

Le tableau suivant résume les di¤érentes conditions de stabilité pour l’équation de la conduction et ses di¤érentes conditions aux limites dans les cas de discrétisation explicites.

4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 X

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0

T(x,t)

10 30 50 100

80 200

Fig.6 – Résultats de la résolution de l’équation de la di¤usion à l’aide d’un schéma de Crank-Nicolson pour F o= 0:8

Géométrie Noeud Equation Stabilité

1Dimension Intérieur ⁿ⁺¹₀ =F o ⁱ₁+ ⁱ₂ + (1 2F o) ⁱ₀ F o 1=2 cd du3^eme type ⁿ⁺¹₀ = 2F o ⁱ₁+Bi Tf

+ (1 2F o 2F oBi) ⁱ₀ F o(1 +Bi) 1=2 cd du2^eme type ⁿ⁺¹₀ = (1 2F o) ⁱ₀+ 2F o ⁱ₁

+^{2 x} F o ' F o 1=2

Tab.1 –Equations des conditions aux limites

C CE PROGRAMME EST BASE SUR LA METHODE DES DIFFERENCES

C FINIES UTILISANT UN SCHEMA IMPLICITE DU TYPE CRANCK NICOLSON C L’EQUATION DE LA CHALEUR DANS LE CAS DU MUR AVEC

C DES CONDITIONS DU 3EME TYPE (FOURIER) REAL L,LAMDA

DIMENSION VD(100),T(100),TI(100),C(100),

*G(100),D(100)

OPEN(5,FILE=’CRANKM5.DAT’)

NITER=1500 ! NOMBRE DE PAS DE TEMPS L=0.1

N=100 ! NOMBRE DE POINTS DE CALCUL

DX=L/N ! PAS D’ESPACE

DT=1. ! PAS DE TEMPS

A=1.E-6 ! DIFFUSIVITE THERMIQUE

FO=A*DT/(DX**2.) ! NOMBRE DE FOURIER

LAMDA=45. ! CONDUCTIVITE THERMIQUE

H1=100. ! COEFFICIENT DE CONVECTION

H2=100. ! COEFFICIENT DE CONVECTION

BI1=H1*DX/LAMDA ! NOMBRE DE BIOT BI2=H2*DX/LAMDA ! NOMBRE DE BIOT TF1=100.

TF2=100 TINI=10.0

C INITIALISATION DES TEMPERATURES DO I=1,N

TI(I)=TINI ENDDO

DO I=1,N C(I)=1.+FO ENDDO DO I=1,N-1 D(I)=-FO/2 ENDDO DO I=2,N G(I)=-FO/2 ENDDO J=1

10 C(1)=1+FO+BI1*FO C(N)=1+FO+BI2*FO D(1)=-FO

G(N)=-FO

VD(1)=TI(2)*FO+TI(1)*(1-FO-BI1*FO)+2*BI1*FO*TF1 VD(N)=TI(N-1)*FO+TI(1)*(1-FO-BI2*FO)+2*BI2*FO*TF2 DO I=2,N-1

VD(I)=TI(I+1)*(FO/2)+TI(I)*(1-FO)+TI(I-1)*(FO/2) ENDDO

CALL TRIDAG(G,C,D,VD,T,N) DO I=1,N

TI(I)=T(I) ENDDO J=J+1

IF(J.LT.NITER)GOTO 10 DO I=1,N

WRITE(5,*)I*DX,T(I) ENDDO

CLOSE (5) END

8.5 Schéma pondéré

n+1 i

n i

t =a

n+1

i+1 2 ⁿ⁺¹_i + ⁿ⁺¹_{i 1}

( x)² +(1 ) ⁿ_i+1 2 ⁿ_i + ⁿ_{i 1}

( x)² (83)

avec =Cste, 0 1

Erreur de troncature : e=O( t) +Oh ( x)²i Remarque :

Pour 0 ¹₂ le schéma est stable si a_{( x)}^t2 1 (2 4 )

Pour ¹₂ 1 le schéma est inconditionnellement stable

Ce schéma inclut les trois cas vus ci dessus, selon la valeur de 0;¹₂;1 .