Conditions aux limites

(90) ce qui donne après arrangements avec F= ^D _r2^t

C_i+1ⁿ⁺¹ F 1 1

2i +C_iⁿ⁺¹(1 + 2F) +C_iⁿ⁺¹₁ F 1 + 1

2i =C_iⁿ (91)

9.2 Conditions aux limites

La condition au centre du cercle lorsqu’on a un problème unidimensionnel ou axisymétrique est invariable-ment : ^@C_@r = 0. Cette condition introduit une modi…cation de 89. En e¤et : lim

r!0 1 r

@C

@r = ^@_@r^2C2, ce qui conduit à résoudre pourr= 0l’équation

@C

@t = 2D @²C

@r² (92)

La dicrétisation de cette équation donne eni= 1 : C₁ⁿ⁺¹ C₁ⁿ

t =D C₂ⁿ⁺¹ 2C₁ⁿ⁺¹+C₀ⁿ⁺¹

r² + 1

r

C₂ⁿ⁺¹ C₀ⁿ⁺¹

2 r (93)

ce qui donne après arrangements avec F= ^D _r2^t

n+1

2 F 1 1

2 + ⁿ⁺¹₁ (1 + 2F) + ⁿ⁺¹₀ F 1 + 1

2 =C₁ⁿ (94)

De même, la discrétisation de ^@C_@r = 0 donne : C₂ⁿ⁺¹ = C₀ⁿ⁺¹, ce qui nous donne pour le noeud central, l’équation :

C₂ⁿ⁺¹ F ( 2) +C₁ⁿ⁺¹(1 + 2F) =C₁ⁿ (95) Sur la surface, on peut avoir tous les types de condition qu’on a évoqué précédemment.

Pour le premier type, c’est la fonction C qui est connue, elle s’écrit enr =R,C(R; t) =C_R, dans ce cas l’équation 91 devient pour le noeud(N 1)

C_Nⁿ⁺¹ F 1 1

2 (N 1) +C_Nⁿ⁺¹₁(1 + 2F) +C_Nⁿ⁺¹ F 1 + 1

2 (N 1) =C_Nⁿ ₁ (96)

C_Nⁿ⁺¹ F 1 1

2 (N 1) +C_Nⁿ⁺¹₁(1 + 2F) =C_Nⁿ ₁ C_R F 1 + 1

2 (N 1) (97) Pour une condition du 3ème type on a :

@C

@r _r=0 = hC (98)

C_N+1ⁿ⁺¹ C_Nⁿ⁺¹₁

2 r = hC₁ⁿ⁺¹ (99)

Il apparaît alors ⁿ⁺¹₀ qui est une température …ctive et qui s’exprime comme suit : C_N+1ⁿ⁺¹ = 2h r

C_Nⁿ⁺¹+C_Nⁿ⁺¹₁ (100)

La seconde étape consiste à élimner cette quantité …ctive entre 73 et 63. En thermique, on écritB= ^{h r} qui est un nombre sans dimensions appelé nombre de Biot, ce qui nous permet d’écrire :

C_Nⁿ⁺¹₊₁= B C_Nⁿ⁺¹+C_Nⁿ⁺¹₁ (101)

L’application de a donne :

B C_Nⁿ⁺¹+C_Nⁿ⁺¹₁ F 1 1

2N +C_Nⁿ⁺¹(1 + 2F) +C_Nⁿ⁺¹₁ F 1 + 1

2N =C_Nⁿ (102) Après arrangements :

C_Nⁿ⁺¹(1 + 2F 2B) + 2 F C_Nⁿ⁺¹₁=C_Nⁿ (103)

10 Méthodes des directions alternées explicites

Cette méthode consiste à intégrer dans une direction ce qui permet d’obtenir une prédiction, un deuxième passage dans l’autre sens permet d’obtenir une solution corrigée (ou dans la seconde direction pour les problèmes en 2D). Ainsi la première méthode ADE fût proposée par Saul’yev (1957) et se présente comme suit :

uⁿ⁺¹_i uⁿ_i

t =

"

uⁿ⁺¹_{i 1} uⁿ⁺¹_i uⁿ_i +uⁿ_i+1 ( x)²

#

(104) uⁿ⁺¹_i = F uⁿ_i+1+ (1 F) uⁿ_i +F uⁿ⁺¹_{i 1}

1 +F (105)

de gauche à droite uⁿ⁺²_i uⁿ⁺¹_i

t =

"

uⁿ⁺¹_{i 1} uⁿ⁺¹_i uⁿ⁺²_i +uⁿ⁺²_i+1 ( x)²

#

(106) uⁿ⁺²_i = F uⁿ⁺¹_{i 1} +uⁿ⁺¹_i (1 F) +F uⁿ⁺²_i+1

1 +F (107)

de droite à gauche AvecF = ^t

( x)²

Le premier pas évalue la solution de gauche à droite ⁿ⁺¹_i , le deuxième de droite à gauche ⁿ⁺²_i de cette façon dans les deux systèmes, le cacul se fait explicitement. On suppose bien sûr que ⁿ_i est connue aux limites. La méthode est inconditionnellement stable et l’erreur de troncature esth

O( t)²;( x)²;( t= x)²i , le schéma est par conséquent formellement du premier ordre du fait de la présence du terme( t= x)². Cette méthode suppose aussi une condition du premier type aux limites, ce qui est le cas pour les problèmes de MDF.

La …gure??montre l’évolution de la di¤usion de la chaleur avec une résolution par la méthode ADE de Saul.

c Programme de mise en oeuvre de la méthode des directions alternées c méthode de Saul’yev

c Les conditions aux limites sont du premier type DIMENSION T(100),TET(100)

OPEN(20,FILE=’saul5.DAT’)

N=100 ! Nombre de points

F=0.5 ! Condition à gauche

T1=100. ! Condition à droite

T2=100. ! Température initiale

TI=0.

M=80 ! Nombre de pas de temps

DO I=1,N TET(I)=TI ENDDO TET(1)=T1 TET(N)=T2 T(1)=T1 T(N)=T2

C CALCULS DE GAUCHE A DROITE 50 DO I=2,N-1

T(I)=(F*TET(I+1)+(1-F)*TET(I)+F*TET(I-1))/(1.+F) ! Intégration de gauche à droite ENDDO

C CALCULS DE DROITE A GAUCHE DO I=N-1,2,-1

TET(I)=(F*T(I-1)+(1-F)*T(I)-F*TET(I+1))/(1.+F) ! Intégration de droite à gauche ENDDO

DO I=1,N TET(I)=T(I) ENDDO K=K+1

IF(K.LT.M)GOTO 50 DO I=1,N

WRITE(20,*)I,TET(I) ENDDO

CLOSE(20) END

Un second schéma ADE pour des problèmes paraboliques à une direction a été proposé par Barakat et

Clark (1966) et se décline selon le schéma suivant uⁿ⁺¹_i uⁿ_i

t = a

"

uⁿ⁺¹_{i 1} uⁿ⁺¹_i uⁿ_i +uⁿ_i+1 ( x)²

#

(108) uⁿ⁺¹_i = F uⁿ_i+1+ (1 F) uⁿ_i +F uⁿ⁺¹_{i 1}

1 +F (109)

v_iⁿ⁺¹ vⁿ_i

t = a

"

vⁿ_{i 1} v_iⁿ vⁿ⁺¹_i +v_i+1ⁿ⁺¹ ( x)²

#

(110) v_iⁿ⁺¹ = F v_iⁿ ₁+ (1 F)vⁿ_i +F v_i+1ⁿ⁺¹

1 +F (111)

Le calcul des deux expressions se fait dans la même direction, la solution …nale est obtenue en faisant la moyenne arithmétiques des deux solutions, soit

wⁿ⁺¹_i =uⁿ⁺¹_i +vⁿ⁺¹_i

2 (112)

Cette méthode est aussi inconditionnellement stable et l’erreur de troncature esth

O( t)²;( x)²i

. La …gure 7 reproduit l’application précédente dans le schéma de Barakat et Clark.

0 20 40 60 80 100

x 0

20 40 60 80 100

T(x,t)

Fig.7 –Mise en application du schéma de Barakat et Clark

c Programme de mise en oeuvre de la méthode des directions alternées c méthode de Barakat et Clark

c Les conditions aux limites sont du premier type DIMENSION T(100),TET(100),TO(100),TT(100) OPEN(20,FILE=’barkt.DAT’)

N=100 ! Nombre de points

F=1. ! Condition à gauche

T1=0. ! Condition à droite

T2=0. ! Température initiale TI=100.

M=3000 ! Nombre de pas de temps DO I=1,N

TET(I)=TI ENDDO 50 TET(1)=T1

TET(N)=T2 TT(1)=T1 TT(N)=T2 T(1)=T1 T(N)=T2 C CALCULS

DO I=2,N-1

T(I)=(F*TET(I+1)+(1-F)*TET(I)+F*T(I-1))/(1.+F) ENDDO

DO I=N-1,2,-1

TT(I)=(F*TET(I-1)+(1-F)*TET(I)+F*TT(I+1))/(1.+F) ENDDO

DO I=1,N

TO(I)=(T(I)+TT(I))/2.

ENDDO DO I=2,N-1 TET(I)=TO(I) ENDDO

K=K+1

IF(K.LT.M)GOTO 50 DO I=1,N

WRITE(20,*)I,TO(I),T(I),TT(I) ENDDO

CLOSE(20) END

11 Equations paraboliques en deux dimensions

L’équation de la chaleur est de ce type :

@T

@t = a @²T

@x² +@²T

@y² (113)

@T

@y _y=0 = h1(T Tf1) pour x= 0

@T

@y _y=H = h2(T Tf2) pour x=L

@T

@x _x=0 = h(T T_f) pour y= 0 (114)

@T

@x _x=L = h(T Tf) pour y=H (115)

T(x;0) = g(x) pour t= 0 La discrétisation de 113 en un schéma implicite s’écrit :

n+1 i;j

n i;j

t =a

n+1

i+1;j 2 ⁿ⁺¹_i;j + ⁿ⁺¹_{i 1;j}

x² +

n+1

i;j+1 2 ⁿ⁺¹_i;j + ⁿ⁺¹_{i;j 1} y²

!

(116)

Posonsa=F x= ^a_x2^t,b=F y= ^a_y2^t etc= 1 + 2F x+ 1 + 2F y Le système 116 s’arrange sous la forme :

n+1

i+1;j( F x) + ⁿ⁺¹_{i 1;j}( F x) + ⁿ⁺¹_i;j+1( F y) + ⁿ⁺¹_{i;j 1}( F y) + ⁿ⁺¹_i;j (1 + 2F x+ 1 + 2F y) = ⁿ_i;j (117)

n+1

i+1;j Dx+ ⁿ⁺¹_{i 1;j}Gx+ ⁿ⁺¹_i;j+1Dy+ ⁿ⁺¹_{i;j 1}Gy+ ⁿ⁺¹_i;j Cxy = ⁿ_i;j (118) Le système ??obtenu est un système pentadiagonal, il nécessite beaucoup de temps de calcul dès lors que le nombre de points augmente si on souhaite le résoudre directement. On préfère dans ces cas utiliser des méthodes indirectes ou itératives pour réduire les temps de calculs.

12 Méthodes des directions alternées implicites

Cette méthode introduite par Peaceman, Racheford et Douglas en 1955 permet d’éviter l’inconvénient cité dans la section précédente et concernant l’augmentation du temps de calcul de systèmes du type??. En e¤et, la méthode A.D.I est une méthode à deux pas de temps qui produit des sytèmes à résoudre du type tridiagonal.

Elle consiste à discrétiser l’EDP 2D une première fois dans une direction pour un temps disonsn+¹₂ ( )dans une direction(xouy)ensuite pour le second pas de tempsn+ 1, la discrétisation se fera dans l’autre direction.

Pour l’équation de la chaleur 113, les schémas sont représentées par 119 pour le premier demi pas de temps et par 120 le second pas de temps :

i;j Les deux systèmes s’écrivent sous la forme exploitable suivante :

F x

12.1 Schéma des noeuds limites

Prenons comme conditions aux limites des conditions du type Fourier,h1,h2,h3eth4sur chaque côté d’un rectangle initialement porté à une température i(x; y), qu’on écrit comme suit :

@

La discrétisation de ces conditions se fait comme dans les cas monodimensionnels.

0;j = _2;j+ 2Bi_{1 1;j} 2Bi1Tf1 et _N+1;j = _{N 1;j} 2Bi2 N;j+ 2Bi2Tf2 (123)

n+1

i;0 = ⁿ⁺¹_i;2 + 2Bi₃ ⁿ⁺¹_i;1 2Bi₃T_f3 et ⁿ⁺¹_i;N+1= ⁿ⁺¹_{i;N 1} 2Bi₄ ⁿ⁺¹_i;N + 2Bi₄T_f4 (124)

n

i;j = g(i x; j y)

Les systèmes 121, 122 aux noeuds limites s’écrivent pour la direction x: F x

Après arrangements, on obtient pour la directionxles équations des noeuds1 etN : Pour la direction yon procède de la même manière :

F y Après arrangements, on obtient pour la directiony les équations des noeuds1et N :

(1 +F y Bi3F y) ⁿ⁺¹_i;1 F y ⁿ⁺¹_i;2 = F x Les deux systèmes avec les équations des conditions aux limites peuvent se mettre sous forme matricielle, en simpli…ant l’écriture et en posant :

C₁= 1 +F x+Bi₁F x,C_i= 1 +F x,C_N = 1 +F x+Bi₂F x D₁= F x,D_i= ^{F x}₂

GN = F x,Gi= ^{F x}₂

Pour l’intégration dans la direction des x 0

Pour l’intégration dans la direction des y

C1= 1 +F y+Bi3F y,Ci= 1 +F y,CN = 1 +F y Bi4F y

Il y a lieu de constater que les deux système obtenues présentent des matrices tridiagonales et la résolution directe se fait aisément par l’algorithme de Thomas.

La procédure de résolution peut être résumée par les points suivants :

1. Saisir les donnéesF x,F y,Bix,Biyet calculer tous les termes des systèmesG_i,C_i et D_i 2. Initialiser les ⁰_i;j

3. initialiser le compteur de temps 4. Résoudre 133 pour chaque directionj 5. Résoudre 134 pour chaque directioni 6. Faire ⁿ_i;j = ⁿ⁺¹_i;j

7. Le temps …xé non atteint aller au point 4 8. imprimer les résultats

13 Méthode de Hopscotch

La méthode de Hopscotch est une méthode permettant de résoudre un problème parabolique à deux di-mensions en faisant un premier passage avec une procédure explicite sans inversion de matrice et une seconde corrective avec une inversion d’un système tridiagonale, la procédure est inconditionnellement stable pour une EDP linéaire. Cette méthode se présente comme suit :

n+1 i;j

n i;j

t = a

n

i+1;j 2 ⁿ_i;j+ ⁿ_{i 1;j}

x² +

n

i;j+1 2 ⁿ_i;j+ ⁿ_{i;j 1}

y² (135)

n+1 i;j

n i;j

t = a

n+1

i+1;j 2 ⁿ⁺¹_i;j + ⁿ⁺¹_{i 1;j}

x² +

n+1

i;j+1 2 ⁿ⁺¹_i;j + ⁿ⁺¹_{i;j 1} y²

!

(136) Le premier passage (135) se fait pouri+j+npairs et permet d’estimer ⁿ⁺¹_i;j le second passage se fait pour i+j+nimpairs (136) et le corrige.

Le système peut s’écrire de façon exploitable comme

n+1

i;j = ⁿ_i;j(1 2F ox 2F oy) +F ox n

i+1;j+ ⁿ_{i 1;j} +F oy n

i;j+1+ ⁿ_{i;j 1} i+j+npairs (137)

n+1

i;j =

n

i;j+F o_x ⁿ⁺¹_i+1;j+F o_x ⁿ⁺¹_{i 1;j} +F o_y ⁿ⁺¹_i;j+1+ ⁿ⁺¹_{i;j 1}

1 + 2F o_x+ 2F o_y i+j+nimpairs (138)

14 Problèmes elliptiques

14.1 Equations de Poisson et de Laplace

Les équations elliptiques sont très courantes en physique et dans les sciences de l’ingénieur. L’électroma-gnétisme, le transfert stationnaire de chaleur en conduction, la di¤usion de masse sont quelques disciplines ou l’on rencontrer ce type d’équations. En mécanique des ‡uides, les écoulements dits à potentiel de vitesses sont représentées par des équations elliptiques. La traduction en formulation fonction de courant-tourbillon des équations de Navier-Stockes font apparaître une équation du type Poisson. Dans un écoulement à potentiel de vitesses (c’est à dire dénué de viscosité), la dé…nition des composantes de la vitesse s’écrit comme suit (en 2 D) :

u= @

@y et v= @

@x (139)

L’équation de continuité qui s’écrit dans ces conditions comme suit :

div!V = 0

@u

@x +@v

@y = 0 (140)

En remplaçant lesuet vdans 140 on obtient une équation elliptique 141

@²

@x² +@²

@y² = 0 (141)

La dé…nition du tourbillon en deux dimensions s’écrit

!= @u

@y

@v

@x (142)

On introduit la fonction de courant en mécanique des ‡uide par 143 et 144

u = @

@y (143)

v = @

@x (144)

En remplaçant les dé…nitions 143 et 144 de u et v dans 142 on obtient une équation elliptique du type Poisson 145.

@²

@x² +@²

@y² +!= 0 (145)

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