Méthode de stationnarisation

= 2 4cos _i

max 1 + ²cos _j

max 1

1 + ²

3 5

2

14.3 Méthode de stationnarisation

La méthode des directions alternées présente des systèmes tridiagonaux qu’on résout directement par l’al-gorithme de Thomas, ce qui présente un avantage par rapport aux méthodes itératives. Le but dans cette section est d’introduire la méthode des directions alternées pour béné…cier de cet avantage en transformant les équations elliptiques en équations paraboliques en ajoutant un terme dépendant d’un temps …ctif . La solution stationnaire implique la nullité de ce terme et fournie par conséquent la solution du problème elleiptique. Pour le problème de la di¤usion de chaleur l’équation elliptique ^@_@x^2T2 +^@_@y^2T2 = 0devient ^@T_@ =^@_@x^2T2 +^@_@y^2T2 et le système devient :

@T

@ = @²T

@x² +@²T

@y² (x; y)2[0; L] [0; H]

T(0; y) = T_g et T(L; y) =T_d 0< y < H T(x;0) = Tb et T(x; H) =Th 0< x < L

La méthode des directions alternées peut être ainsi mise en oeuvre et seule la solution stationnaire est retenue.

Cette méthode est due à Douglas et Rachford.

15 Problème de convection naturelle

Nous traitons dans cette section un problème de convection naturelle dans une cavité rectangulaire complet par di¤érences …nies. Les EDP résolues sont couplées par la fonction de courant et la température et doivent être résolues simultanément.

16 Approche physique

En cours de saisie

16.1 Problème monodimensionnel 16.2 Problème bidimensionnel 16.3 Problème cylindrique

17 Equations hyperboliques

17.1 L’équation d’onde

L’équation d’onde type en monodimensionnel s’écrit :

@²u

@t² =c²@²u

@x² (148)

u: est la vitesse, la pression ou le déplacement selon l’application envisagée.

c : est la célérité de l’onde

Remarque: Les équations d’onde sont conservatrices, c’est-à-dire que la solution se ne changent pas et se propage linéairement à la vitesse constantec.

L’équation 148 peut aussi s’écrire sous forme d’une EDP du premier ordre en changeant de variable comme : v=1

c Z @u

@tdx (149)

En remplaçant dans 148, on obtient : 1

c Z @²u

@t²dx=1 c

@

@t Z @u

@tdx=@v

@t, et Z

c@²u

@x²dx=c@u

@x Ce qui donne le système hyperbolique linéaire 150, 151 :

@u

@t = c @v

@x (150)

@v

@t = c @u

@x (151)

Faisons la di¤érence entre 150 et 151 et la somme de ces deux équations, on obtient le système :

@(u v)

@t = c@(v u)

@x (152)

@(v+u)

@t = c@(u+v)

@x (153)

Posonsw= ¹₂(u v)etz= ¹₂(u+v)cela donne le système 150 et 151 :

@w

@t = c @w

@x (154)

@z

@t = c @z

@x (155)

Les équations du système 154 et 155 sont découplées. Cette propriété est vraie pour tout système hyperbolique.

On peut par conséquent prendre comme équationhyperbolique de basel’équation :

@u

@t +c @u

@x = 0 (156)

Les solutions des équations du système 154 et 155 sont les mêmes (constantes) partout sur les lignes x ct=S1et x+ct=S2, puisque l’équation 154 peut s’écrire comme

@w

@t +c @w

@x = 0 (157)

c’est-à-dire

c @w

@ct+@w

@x =c @w

@(ct+x) =c @w

@S1

= 0 soit _@S^@w

1 = 0et de même que 155 qui s’écrit : _@S^@z

2 = 0. On peut représenter cela sur la …gure 8.

t

A B

Fig.8 –APB, domaine de dépendance et AB segment de dépendance

Dans le cas particulier ouS₁= 0, ce qui correspond à la lignex=ctetS₂= 0, ce qui correspond à la ligne x= ct, représentées sur la …gure 8 par les segmentsAP etP B respectivement, les solutionsw etz sont les mêmes sur ces segements, ainsi on a :

w(A) = w(P) z(B) = z(P) Les pointsAetB sont des points à t= 0.

Pour le système aux valeurs initiales 158 et 159 : x= ct

@²u

@t² = c²@²u

@x² (158)

u(x;0) = f(x) et @u(x;0)

@x =g(x) (159)

on tire une solution directe, étant donné que

u v = u(A) v(A) u+v = u(B) +v(B)

u(A),v(A),u(B)etv(B)sont des quantités initiales connues. En posantG(x) =¹_cR

g(x)dx, on peut écrire :

u v = f(xA) G(xA) (160)

u+v = f(x_B) +G(x_B) (161)

On peut tirer par conséquent l’expression deu(x; t)par élimination devtel entre 160 et 161 : u(x; t) =¹₂(f(x_A) +f(x_B)) +¹₂G(x_B) ¹₂G(x_A) = ¹₂(f(x_A) +f(x_B)) +¹₂RxB

xA g(x)dx u(x; t) =1

2(f(xA) +f(xB)) +1 2

Z xB

xA

g(x)dx (162)

v(x; t) =¹₂(G(x_A) +G(x_B) +f(x_B) f(x_A))

L’expression deu(x; t)dans 162 ne dépend que des conditions initiales entre les pointsAet B. Le triangle isocèleAP B est appelé domaine de dépendance du pointP et le segmentAB segment de dépendance. On en déduit que les conditions initiales du système 158 et 159 données sura et bdéterminent les solutions dans le triangleapbet l’in‡uencent dans la régionR1etR2. Cette technique est appelée méthode des caractéristiques.

C’est une méthode très e¢ cace pour résoudre des problèmes hyperboliques en une dimension(1D).

18 Erreurs de dissipation et de dispersion

Ce sont des erreurs surtout rencontrées dans lors de la résolution des problmes hyperboliques.

18.1 Dissipation

Les erreurs de dissipation et de dispersion apparaîssent dans les problèmes hyperboliques surtout. On va donc les

introduire à partir de l’équation de Burger qui est hyperbolique.

@u

@t +a@u

@x = 0 u(x;0) = f(x)

Toute fonction u = f(x at) est solution de cette équation quelle que soit la forme de f. Cependant tous les schémas numériques ne sont pas capables de propager toutes les fonctions f sans les altérer que ce soit dans leur amplitude (dissipation) ou dans leur répartition fréquentielle (dispersion). On ne peut pas par exemple propager une fonctionf(x)périodique et qui aurait une longueur d’onde inférieure à x. On peut se poser comme question de connaître le nombre de points possibles par longueur d’onde permettant de propager correctement une fonction sinusoidale donnée.

18.2 Dispersion

Le système décrit ci dessus :

@u

@t +a@u

@x = 0 u(x;0) = f(x) est d’abord discrétisé par utilisation d’un schéma centré.

@u_i

@t = au_i+1 u_{i 1} 2 x et u(x; t) = v(t) exp (2j !x)

par substitution on obtient :

@v

@t = iav(t) exp (2 !x) x

et v(t) = v(0) exp a:i:sin (2 ! x)

x t

donc :

u(x; t) =v(0) exp 2 !i x asin (2 ! x) 2 ! x t

On voit donc que le schéma propage une sinusoïde de pulsation !à une vitesse :c(!)asin (2 ! x)=2 ! x L’équation di¤érentielle propage toute perturbation à une vitesse c0(!) =a. La dispersion introduite par le schéma numérique peut être mesurée par le rapport :

c(!) c0(!)

Le tableau suivant permet d’apprécier cette dispersion ent fonction de1=! xou = x :

= x 6 8 16

c(!)

c0(!) 0:827 0:910 0:974

On remarque donc qu’en dessous de 8 points de discrétisation par période, l’erreur commise est importante.

Il convient donc pour étudier la propagation d’une perturbation de choisir au moins dix points de discrétisation par longueur d’onde.

Exemple : Si la condition initiale de l’équation précédente f(x) est un par exemple un créneau voir ??

(contenant des fréquences élevées), on obtiendra les résultats suivants :

18.3 Dissipation

Même si les di¤érentes fréquences sont propagées à la bonne vitesse, on n’est pas sûr de conserver l’amplitude de chacune de ces fréquences. C’est cette perte en en amplitude que l’on appelle la dissipation. Reprenons le système précédent discrétisé aussi en temps :

uⁿ⁺¹_i uⁿ_i

t = auⁿ⁺¹_i uⁿ_{i 1} x

et u(x; t) = uⁿ_i = ⁿexp (2i !x) En posant : =a t= x, on obtient le facteur d’ampli…cationA:

Fig.9 –Dispersion d’une perturbation en créneau au t >0

A =

n+1

n = 1

1 + (1 cos (2 ! x) +i sin (2 ! x))

jAj = 1

1 + 2 (1 cos (2 ! x) (1 + )) jAjdoit être inférieure à1, sinon le schéma serait instable.

Un schéma légèrement dissipatif a pour avantage d’amortir les perturbations parasites introduites dans les conditions initiales ou aux limites ”brutales”. Il arrive que l’on introduise volontairement des termes dissipatifs du type ar²u dans les problèmes hyperboliques, avec un facteur correctif a très faible mais su¢ sant pour introduire la dissipation ”arti…cielle”. Ceci est généralement utilisé dans les schémas aux di¤érences spatiales centrées, précises, non dissipatives et par conséquent fortement sujette à des instabilités numériques.

19 Shémas explicites

Nous souhaitons résoudre par di¤érences …nies l’équation hyperbolique de base 156 grâce au schéma le plus simple qui est explicite pur ou d’Euler, cela nous donne 163

uⁿ⁺¹_i uⁿ_i

t +c uⁿ_i+1 uⁿ_i

x = 0 (163)

Le schéma 163 permet en principe de calculer les 164 uⁿ⁺¹_i = c t

x uⁿ_i+1 uⁿ_i +uⁿ_i (164)

cependant ce schéma est toujours instable. En e¤et l’utilisation du critère de Von Neumann permet de montrer cela.

PosonsD= ^c _x^t et uⁿ_i =Uⁿexp (ijk x), le facteur d’ampli…cationAs’écrit :

A = uⁿ⁺¹_i

uⁿ_i = D uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1} +uⁿ_i+1 uⁿ_i

= D(Uⁿexp ((i+ 1)jy) Uⁿexp ((i 1)jy)) Uⁿexp (ijy) Uⁿexp (ijyx)

A = D(cosy+jsiny cosy+jsiny) + 1 = 2jDsiny+ 1

La condition de stabilité est quejAj² 1,jAj²=j2jDsiny+ 1j²= 4D²sin²y+ 1 1 Le cas le plus défavorable correspond à :sin²y= 1le critère devient :4D² 0 D² 0le schéma ne peut être stable puisqueD²est toujours positif.

– On peut aussi obtenir un schéma explicite en choisissant une di¤érence avant par rapport au temps et en prenant une di¤érence centrée pour l’espace, ce qui donne 165 :

uⁿ⁺¹_i uⁿ_i

t +c uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1}

2 x = 0 (165)

En réécrivant , on a 166 :

uⁿ⁺¹_i =uⁿ_i D

2 uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1} (166)

Ce schéma est consistant, l’erreur de troncature est d’ordre 1 en temps et 2 en espace O t; x² . Le critère de Von Neumann permet d’évaluer la stabilité du schéma 166. En choisissant une perturbation harmonique du typeuⁿ_i =uⁿexp (ijk x), j²= 1 , on a :

A=^u

n

i D

2 (^uni+1 uⁿ_i+1)

uⁿ_i = ^{unexp(ijk x) D2 (un}exp((i+1)jk x) uⁿexp((i 1)jk x)) uⁿexp(ijk x)

A= 1 ^D₂ (exp (jk x) exp ( jk x)) = 1 ^D₂ 2jsin (k x) A = 1 D j sin (k x) jAj² = 1 +D² sin²(k x)

jAj = 1 +D² sin²(k x) ¹⁼² (167)

Le résultat 167 prouve queA >1, par conséquent le schéma 166 est toujoursinstable.

19.1 Schéma de Lax ordre 1

Lax (1954) a proposé de résoudre l’équation 156 en utilisant le schéma du premier ordre suivant, dans lequel uⁿ_i est remplacé par sa moyenne sur les points avant et arrière ^u

n i+1+uⁿ_{i 1}

2 et une di¤érence centrée pour ^@u_@x : uⁿ⁺¹_i ^u

n i+1+uⁿ_{i 1}

2

t c uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1}

2 x = 0 (168)

ce qui donne le schéma :

uⁿ⁺¹_i = uⁿ_i+1+uⁿ_{i 1} 2

c t x

uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1}

2 (169)

Le schéma 169 est d’ordreO( t+ x). La …gure 10 montre l’évolution de l’onde sinusoidale dans le domaine sans dissipation sensible, avec unCF L= 1. Lorsqu’on réduit la valeur duCF Let pour des durées relativement importantes, des instabilités apparaissent et détruisent la qualité des résultats.

C PROGRAMME BASE SUR LE SCHEMA EXPLICITE DE LAX-WENDROFF C DE L’EQUATION D’ONDE DU 1ER ORDRE

DIMENSION U(400,1000),V(400) OPEN (2,FILE=’ALW5C2.DAT’) OPEN (3,FILE=’ALW5C11.DAT’) DX=0.1 ! PAS D’ESPACE DT=0.05 ! PAS DE TEMPS C=.8

CF=C*(DT/DX) ! NOMBRE DE COURANT

NT=500 ! NOMBRE DE PAS DE TEMPS

N=100 ! NOMBRE DE PAS D’ESPACE

DO I=1,N

V(I)=0. ! CONDITION INITIALE ENDDO

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

x

-1.0 0.0 1.0

u(x)

CFL=1 t=0.5 t=2.5 t=5

Fig.10 –Solutions par la méthode de Lax-Wendrof.CF L= 1

DO J=1,NT

V(1)=sin(2.*J*DT) ! CONDITION A GAUCHE U(1,J)=sin(2.*J*DT) ! CONDITION A GAUCHE V(N)=sin(2.*J*DT) ! CONDITION A DROITE U(N,J)=sin(2.*J*DT) ! CONDITION A DROITE DO I=2,N-1

U(I,J)=0.5*CF*(CF-1.)*V(I+1)+(1-CF**2.)*V(I)+0.5*CF*(CF+1.)*V(I-1) ENDDO

DO I=2,N-1 V(I)=U(I,J) ENDDO ENDDO DO J=1,NT DO I=1,N

WRITE(2,*)I*DX,J*DT,U(I,J) ENDDO

ENDDO DO I=1,N

WRITE(3,*)I*DX,U(I,NT) ENDDO

CLOSE(2) CLOSE(3) END

19.1.1 Stabilité

Montrons le critère de stabilité du schéma 169 à l’aide du critère de Von Neumann en posant y =k x, D=^c _x^t etuⁿ_i =Uⁿexp (ijk x), le facteur d’ampli…cationAs’écrit :

A = uⁿ⁺¹_i

Uⁿexp((i+1)jy)+Uⁿexp((i 1)jy)

2 D ^Unexp((i+1)jy) Uⁿexp((i 1)jy)

La condition de stabilité est jAj 1, élevons au carré et calculons, étant donné que le carré de la valeur absolue d’un nombre complexe est la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire, la méthode est stable si

jcosy jDsinyj²= cos²y+D²sin²y 1 Ce qui signi…e que D 1, poury= ₂

La condition de stabilité est alors

D= c t

x 1 (170)

Condition qu’on appelle condition de Courant-Friedrich-Levy (CFL).

19.2 Schéma de Lax à l’ordre 2

Cette façon de faire n’est pas valable si la PDE est non linéaire, c’est dire si c = u, cas de l’équation de la convection par exemple. Sachant que :

uⁿ⁺¹_i =uⁿ_i + @u

Substituons 171 dans 172 on obtient : uⁿ⁺¹_i =uⁿ_i c @u

Discrétisons à l’ordre 2 173 on a : uⁿ⁺¹_i uⁿ_i c t

2 x uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1} +1 2

c² t²

x² uⁿ_i+1 2uⁿ_i +uⁿ_{i 1} (174) Introduisons le nombre de convectionD=^c _x^t on a :

uⁿ⁺¹_i uⁿ_i D

2 uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1} +D²

2 uⁿ_i+1 2uⁿ_i +uⁿ_{i 1} (175)

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 x

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

u(x)

CFL=1 t=30 t=60 t=100 t=200 t=400

Fig. 11 – Pour une CFL=1, le schéma de Lax explicite à l’ordre 2 en temps et espace ne montre pas de dissipation.

Programme de Lax d’ordre 2 en temps et espace explicite C PROGRAMME BASE SUR UN SCHEMA EXPLICITE DE LAX C DE L’EQUATION D’ONDE DU 1ER ORDRE, A L’ORDRE 2 C EN TEMPS ET EN ESPACE

DIMENSION U(400,1000),V(400) OPEN (2,FILE=’LAX2Rm.DAT’) OPEN (3,FILE=’LAX2Dm.DAT’) DX=0.1 ! PAS D’ESPACE DT=0.05 ! PAS DE TEMPS C=1.

CF=C*(DT/DX) ! NOMBRE DE COURANT

NT=1000 ! NOMBRE DE PAS DE TEMPS N=100 ! NOMBRE DE PAS D’ESPACE DO I=1,N

V(I)=0. ! CONDITION INITIALE ENDDO

DO J=1,NT

V(1)=sin(2.*J*DT) ! CONDITION A GAUCHE U(1,J)=sin(2.*J*DT) ! CONDITION A GAUCHE V(N)=sin(2.*J*DT) ! CONDITION A DROITE U(N,J)=sin(2.*J*DT) ! CONDITION A DROITE DO I=2,N-1

U(I,J)=V(I)+0.5*CF*(V(I+1)-V(I-1))+0.5*(CF**2.)*

*(V(I+1)-2.*V(I)+V(I-1)) ENDDO

DO I=2,N-1 V(I)=U(I,J) ENDDO

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 t

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

u(x)

CFL=0.5 t=40 t=100 t=200 t=400 t=600

Fig.12 –CF L= 0:5, pour di¤érents temps de calcul, l’onde est propoagé sans dissipation visible grâce à ce schéma du second ordre en temps et en espace.

ENDDO DO J=1,NT DO I=1,N

WRITE(2,*)I*DX,J*DT,U(I,J) ENDDO

ENDDO DO I=1,N

WRITE(3,*)I*DX,U(I,NT) ENDDO

CLOSE(2) CLOSE(3) END

19.3 Stabilité du schéma de Lax d’ordre 2

Nous utilisons ici aussi le critère de Von Neumann pour établir le critère de stabilité de ce schéma. Le coe¢ -cient d’ampli…cationA= ^u

n

i D

2 (uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1})+^D₂² (uⁿ_i+1 2uⁿ_i+uⁿ_{i 1})

uⁿ_i , introduisons la perturbationuⁿ_i =Uⁿe^{ijk x} et simpli…ons, on obtient :

A= 1 ^D₂ e^{ijk x} e ^{ijk x} +^D₂² e^{ijk x}+e ^{ijk x} 2

= 1 +D²(cosk x 1) +jD sink x

Calculons le carré de la valeur absolue de A,jAj²= 1 +D²(cosk x 1) ²+D² sin²k x 1 +D⁴(cosk x 1)² D² 2 cosk x+ 1 + cos²k x

1 +D⁴(cosk x 1)² D² 2 cosk x+ 1 + cos²k x jAj²= 1 +D⁴(cosk x 1)² D²(cosk x 1)² jAj²= 1 D² 1 D² (cosk x 1)²

Le cas le plus défavorable pour que jAj² 1 est cosk x= 1, ce qui donne pour(cosk x 1)²= 4, la

condition pour quejAj² 1est par conséquent que1 D² 0ce qui correspond à la condition dite CFL : D= c t

x 1 (176)

19.4 Schéma décentré (upwind)

En utilisant pour la dérivée spatiale un schéma décentré, on a uⁿ⁺¹_i uⁿ_i

t +cuⁿ_i uⁿ_{i 1}

x = 0 (177)

Sous une forme plus simple, le schéma décentré s’écrit D=^c _x^t

uⁿ⁺¹_i =uⁿ_i (1 D) +uⁿ_{i 1}(D) (178)

La connaissance des conditions initiale et aux limites permettent de démarrer le processus de calcul de la solution uⁿ⁺¹_i . Le schéma apparaît comme une simple interpolation linéaire entre uⁿ_i et uⁿ_{i 1}. Pour que l’interpolation soit e¢ cace il faut que c t << x soit la CFL D << 1 (CFL : courant-Friedrichs-Levy).

En d’autres termes, il faut que le pas de temps t soit beaucoup plus court que le temps de transmission de l’information sur la longueur x. t << _c^t

Algorithme

1. Initialiseru⁰_i, et fournir t; x; c 2. Calculeruⁿ⁺¹_i à l’aide de 178

3. Fournir la condition à limite à gaucheuⁿ⁺¹₁ (x= 0)

4. Itérer jusqu’au temps désirée en allant à 2 en remplaçantuⁿ_i pauⁿ⁺¹_i

Le schéma 178 est stable et convergent sous la condition CFL, le facteur d’ampli…cationAs’écrit :

A = uⁿ⁺¹_i

uⁿ_i =uⁿ_i (1 D) +uⁿ_{i 1}(D) uⁿ_i

= Uⁿexp (ijyx) (1 D) +Uⁿexp ((i 1)jyx) (D) Uⁿexp (ijyx)

A = uⁿ⁺¹_i

uⁿ_i = 1 D+Dcosy Djsiny

j1 D+Dcosy Djsinyj²= (1 D+Dcosy)²+D²sin²y= 2 cosy D D² + 2D² 2D+ 1 Cas 1 :cosy= 1:2D 2D²+ 2D² 2D+ 1 1

Cas 2 :cosy= 0:2D² 2D+ 1 1 D² D 0 ce qui est vrai pourD 1soit la condition de CFL :

c t

x 1 (179)

Exemple :Soit à résoudre par le schéma décentré 178 avec la condition initiale u⁰_i = 0 (1 i N)et la condition limite gaucheuⁿ₁ = sin (3 t)(on n’a pas besoin de condition à droite, l’information se propage de gauche à droite selon ce schéma)

Le programme simple suivant réalise cette résolution.

PROGRAM DECENTR

C PROGRAMME BASE SUR UN SCHEMA EXPLICITE DECENTREE C DE L’EQUATION D’ONDE DU 1ER ORDRE

DIMENSION U(400,10000),V(400) OPEN (2,FILE=’DECENTR1.DAT’) OPEN (3,FILE=’DCENTRE2.DAT’)

DX=0.1 ! PAS D’ESPACE

DT=0.01 ! PAS DE TEMPS C=2.

CF=(C*DT)/DX ! NOMBRE DE COURANT

NT=351 ! NOMBRE DE PAS DE TEMPS

N=100 ! NOMBRE DE PAS D’ESPACE

DO I=1,N

V(I)=0. ! CONDITION INITIALE

ENDDO DO J=1,NT

V(1)=sin(3.*J*DT) ! CONDITION A GAUCHE U(1,J)=sin(3.*J*DT) ! CONDITION A GAUCHE DO I=2,N

U(I,J)=(1.-CF)*V(I)+CF*V(I-1) ! SCHEMA DECENTRE ENDDO

DO I=2,N V(I)=U(I,J) ENDDO ENDDO DO J=1,NT DO I=1,N

WRITE(2,*)I*DX,J*DT,U(I,J) ENDDO

ENDDO DO I=1,N

WRITE(3,*)I*DX,U(I,NT) ENDDO

CLOSE(2) CLOSE(3) END

0 2 4 6 8 10

x 0.0

0.4 0.8 1.2

u(x)

CFL=1, t=10 CFL=0.2, t=10

Fig.13 –Evolution de l’onde dans le domaine avec deux CFL di¤érents (1 et 0.2), et une condition en créneaux sur le bord gauche.

0 2 4 6 8 10

x

-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

u (x ,t = 2 .5 )

t=2.5 t=7.5 t=10

Fig.14 –Progression de l’onde dans le domaine à la vitessecaux instantst= 2:5,7:5et10. L’amplitude reste inchangée. Le schéma est conservateur.

La …gure montre l’évolution de u(x; t)sur une durée de3:5s.

La …gure montre l’évolution de u(x; t)sur une durée de 10s.

L’observation des …gures 13, 14 et 15 montre que lorsque la conditionCF L= 1, le schéma rend la solution de façon correcte. Lorsque la conditionCF L <1, un phénomène de dissipation de la solution apparaît et semble être important. En e¤et l’amplitude après chaque période diminue ce qui est contraire à la nature conservatrice du problème hyperbolique. Ceci est causé par le type de schéma aux di¤érences utilisé.

La première dérivée est discrétisée de manière décentrée ^@u_@x = ^u

n i uⁿ_{i 1}

x , on peut écrire le développement en série de Taylor deuⁿ_i :

uⁿ_i =uⁿ_{i 1}+dx 1!

@u

@x

n

i 1

+dx² 2!

@²u

@x²

n

i 1

+O dx² (180)

Tenant compte du schéma 178 et de 180, l’équation de base 156 s’écrit avec un terme dissipatif ^cdx₂ ^@_@x^2u2.

@u

@t +c@u

@x +cdx 2

@²u

@x² +O dx² = 0 (181)

Pour améliorer la résolution, il y a lieu d’améliorer le schéma.

19.5 Schéma Leap-Frog

Au lieu de discrétiser les deux dérivées à l’ordre 1, utilisons les dérivées centrées, ce qui nous donne un schéma à trois niveaux de temps à l’ordre 2 en temps et en espace O x² ; O t² :D=c _x^t

uⁿ⁺¹_i uⁿ_i ¹

2 t = cuⁿ_i+1 uⁿ_{i 1}

2 x (182)

uⁿ⁺¹_i = uⁿ_i ¹ D uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1} (183)

Ce schéma indique qu’il faut avoir deux solutions successives aux tempsn= 0et au tempsn= 1pour pouvoir le démarrer. Il est possible d’utiliser le schéma décentré 178 pour lancer 183.

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 x

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

-1.0 0.0 1.0

u(x,t=10s)

u(x,t=3.5s) u(x,t=10s)

Fig.15 –Déplacement de l’onde dans l’espace et la diminution de son amplitude pour un deCF L= 0:2. Il y a dissipation.

Fig.16 –Evolution deu(x; t)sur une durée de 3.5s

Le schéma Leap-Frog a été appliqué à l’équation d’advection 156 en utilisant une condition initiale nulle et une condition à gauche sinusoidale, nous avons dessiné la …gure 18. Comme pour le cas décentré, il semble que le phénomène de dissipation n’ait pas eu lieu, cependant il apparaît plutôt que pour le cas 178, une instabilité importante (pour un temps de0:05 200) qui est représenté par la courbe rose. On a abservé une dissipation importante de l’amplitude dans le cas 178 lorsqueCF L= 1, il semble que cette dissipation n’apparaît pas pour le cas leap-frog puisqu’on a réduit l’erreur de troncature qui est devenue O x² ; O t² . Des instabilités naissent dès qu’on aumente le nombre de calculs, on peut constater cela sur les deux …gures 18 et 19.

Programme LEAP-FROG PROGRAM LIPFRG

C PROGRAMME BASE SUR UN SCHEMA LEAP-FROG C DE L’EQUATION D’ONDE DU 1ER ORDRE

DIMENSION U(400,5000),V(400),W(400) OPEN (2,FILE=’ALEP19.DAT’)

OPEN (3,FILE=’ALEP29.DAT’)

DX=0.1 ! PAS D’ESPACE

Fig.17 –Evolution deu(x; t)sur une durée de10.CF L= 0:2, t= 0:01, x= 0:1

DT=0.02 ! PAS DE TEMPS

C=2.

CF=(C*DT)/DX ! NOMBRE DE COURANT-FRIEDRICH-LEWY

NT=250 ! NOMBRE DE PAS DE TEMPS

N=100 ! NOMBRE DE PAS D’ESPACE

DO I=1,N

V(I)=0. ! CONDITION INITIALE

ENDDO

W(1)=sin(3.*DT) ! CONDITION A GAUCHE V(1)=sin(3.*DT) ! CONDITION A GAUCHE DO I=2,N

W(I)=(1.-CF)*V(I)+CF*V(I-1) ! ENDDO

DO J=2,NT

V(1)=sin(3.*J*DT) ! CONDITION A DROITE U(1,J)=sin(3.*J*DT) ! CONDITION A DROITE C V(N)=sin(2.*J*DT)

C U(N,J)=sin(2.*J*DT) DO I=2,N-1

U(I,J)=V(I)-CF*(W(I+1)-W(I-1)) ENDDO

DO I=1,N V(I)=W(I) W(I)=U(I,J) ENDDO ENDDO DO J=1,NT DO I=1,N

WRITE(2,*)I*DX,J*DT,U(I,J) ENDDO

ENDDO DO I=1,N

WRITE(3,*)I*DX,U(I,NT) ENDDO

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 x

-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0

u(x)

t=3.5 t=7 t=10

Fig.18 –Evolution des solutions pour plusieurs temps, avec une CFL=1

CLOSE(2) CLOSE(3) END

19.6 Schéma de Lax-Wendro¤

Le premier schéma de Lax-Wendro¤ est obtenu à partir d’un développement en série de Taylor au deuxième ordre pour l’équation de transport

uⁿ⁺¹_i =uⁿ_i + t @u

@t

n

i

+ t² 2

@²u

@t²

n

i

Utilisant l’équation de transport

@u

@t +c@u

@x = 0 On obtient

uⁿ⁺¹_i =uⁿ_i +c t @u

@x

n

i

+c² t² 2

@²u

@x²

n

i

La discrétisation de celle-ci à l’ordre 2 donne uⁿ⁺¹_i =uⁿ_i +c t

2

uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1}

x +c² t² 2

uⁿ_i+1 2uⁿ_i +uⁿ_{i 1} x² En posant que D=^c _x^t, le schéma de Lax-Wendro¤ s’écrit :

uⁿ⁺¹_i = uⁿ_i+1 D² 2 +D

2 +uⁿ_i 1 D² +uⁿ_{i 1} D² 2

D

2 (184)

uⁿ⁺¹_i = uⁿ_i+1(D+ 1) D

2 +uⁿ_i 1 D² +uⁿ_{i 1}(D 1) D

2 (185)

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 x

-1.0 0.0 1.0 2.0

u(x)

CFL=0.2 t=1 t=2.

t=5 t=5.4

Fig.19 –Evolution des solutions pour plusieurs temps, avec une CFL=0.2

Le schéma 185 est un schéma explicite à l’ordre O( t) +O x² , à un niveau de temps, stable sous condition. Le critère de Von Neumann appliqué à 185 donne :

A = uⁿ_i+1(D+ 1) ^D₂ +uⁿ_i 1 D² +uⁿ_{i 1}(D 1) ^D₂ uⁿ_i

A = (exp (jk x)) (D+ 1) D

2 + 1 D² + (exp ( jk x)) (D 1) D 2 A = D²cos + 1 D² +iDsin

jAj²= D²cos + 1 D² +iDsin ²= D²cos + 1 D^{2 2}+D²sin² D²cos + 1 D^{2 2}+D²sin²

19.7 Schéma de Lax-Wendro¤ à 3 niveaux de temps

La méthode à un pas de Lax-Wendro¤ (1960) a donné de bon résultats pour des équations linéaires, cependant les choses se sont vite compliquées pour des équations non linéaires. Richtmyer (1963) a proposé une méthode à 3 niveaux de temps équvalente à la méthode de Lax-Wendro¤ à deux pas de temps pour l’équation de la convection. Le premier pas fait une prévision de la solution en utilisant le schéma de Lax-Wendro¤, le second pas utilise la méthode Leap-Frog. Cette méthode s’avère plus simple que celle de Lax-wendro¤ pour les équations non linéaires et les systèmes d’équation. On peut la résumer par 186 et 187.

uⁿ⁺¹_i = 1

2 uⁿ_i+1+uⁿ_{i 1} D

2 uⁿ_i+1 uⁿ_{i 1} (186)

uⁿ⁺²_i = uⁿ_i D uⁿ⁺¹_i+1 uⁿ⁺¹_{i 1} (187)

La méthode est consistante pour l’équation d’advection, les calculs sont à l’ordre O( t) +O x² comme pour Lax-Wendro¤, elle stable sous la conditionCF L=c _x^t 1 et convergente.

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 x

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

u(x)

t=50 t=100 t=200 t=400 t=600 t=1000

Fig.20 –Résultats obtenus par la méthode à 3 niveaux de temps type Lax-Wendroof de Richtmeyer.

19.8 Schéma de Mac-Cormak

Cette méthode proposée par MacCormack (1969) est une méthode de prédiction-correction du type Lax-Wendro¤. La méthode. La méthode de MacCormack peut être utilisée pour résoudre les équations aux dérivées partielles linéaires, les EDP non linéaires et les systèmes d’EDP sans di¢ cultés supplémentaires, alors que la méthode à un pas de Lax-Wendro¤ devient assez compliquée pour les EDP non linéaires et les systèmes d’EDP.

Par conséquent, la méthode de MacCormack est largement utilisée.

MacCormack proposa une procédure de prédiction correction dont la première étape consiste à faire une prédiction en utilisant une approximation du premier ordre du type di¤érence avant des dérivées temporelle et spatiale

uⁿ⁺¹_i =uⁿ_i D uⁿ_i+1 uⁿ_i (188)

L’étape de correction consiste à évaluer la dérivée spatiale au tempsnpar une di¤érence avant et la dérivée sapatiale enn+ 1 par une di¤érence arrière à l’aide des résultats donnés par la prédiction.

uⁿ⁺¹_i =1 2

h uⁿ_i +uⁿ⁺¹_i D uⁿ⁺¹_i uⁿ⁺¹_{i 1} i

(189)

19.9 Schéma Crank-Nicholson

C’est une méthode implicite

Ordre 2 en espace et ordre 2 en temps

20 Equation d’onde du second degré

20.1 Schéma explicite

L’équation d’une onde est un cas typique des équations hyperboliques 148.

@²u

@t² c²@²u

@x² = 0 (190)

u(x; t)est la quantité qui se propage à la céléritéc=cste. Cette équation peut être soumise à des conditions aux limites du type

u(0; t) =u(L; t) = 0 pour t >0 (191) et à des conditions initiales du type

u(x;0) = f(x) pour0 x L (192)

@u

@t (x;0) = g(x) pour0 x L (193)

On peut discrétiser l’équation 190 en utilisant des schémas centrés pour le temps et l’espace, ce qui nous donne un schéma à 3 niveau de temps, en discrétisant les deux dérivées secondes :

@²u On obtient le schéma

uⁿ⁺¹_i 2uⁿ_i +uⁿ_i ¹

t² c²uⁿ_i+1 2uⁿ_i +uⁿ_{i 1}

x² 0 (194)

Avec une erreur de troncature

"= t² Les conditions aux limites donnent pour le noeud1 etm

uⁿ₁ =uⁿ_m= 0 (197)

la première condition initiale donne

u⁰_i =f(xi) (198)

La seconde condition initiale nous permet de connaître l’information deuau temps t1, puisque le schéma 196 démarre avec deux informations successives u⁰_i etu¹_i , la condition 193 discrétisée cconcrétise cela. On peut discrétiser 193 avec une di¤érence avant

@u

cependant le schéma 199 est d’ordre O( t) seulement, on peut aussi approximer 193 avec une meilleure erreur de troncature en utilisant le développement en série de Taylor deu¹_i

u¹_i =u⁰_i + t @u

i, le développement 200 devient

u¹_i =f(x_i) + t g(x_i) +c² t²

2 f⁰⁰(x_i) (201)

L’expression 201 est tronquée à l’ordreO t³ . Sif⁰⁰(x_i)n’est pas disponible aisément, on peut l’approximer par un schéma du type

f⁰⁰(x_i) fi+1 2fi+fi 1

x²

qui présente une troncature l’ordreO x² . On obtient par conséquent pour 201 une expression 202 u¹_i =fi 1 D² +D²

2 (fi+1+fi 1) + t gi (202)

L’algorithme de cette méthode se décline par les points suivants : 1. DonnerL,T,m,N etc et calculer x= _m^L, t= _N^T et D=^c _x^t 2. Faire pour tous lesj= 1; :::; N uⁿ₁ =uⁿ_m= 0

3. Faire u⁰₁=f(0)et u⁰_m=f(L)

4. Pour tous lesi= 1; :::; M 1 initialiseru⁰₁=f(i x)

et u¹_i =f(xi) + t g(xi) +^c2₂^t2f⁰⁰(xi)ou le cas échéant u¹_i =fi 1 D² +^D₂²(fi+1+fi 1) + t gi

5. Calculer pour lesj= 1; :::; N 1

uⁿ⁺¹_i = 2 1 D² uⁿ_i +D² uⁿ_i+1+uⁿ_{i 1} +uⁿ_i ¹ 6. Imprimer les résultats

Application : On propose de mettre en oeuvre cette procédure pour résoudre le problème suivant :

@²u

@t² 4 @²u

@x² = 0 pour 0< x <1 u(0; t) = u(1; t) = 0 pourt >0 u(x;0) = sin ( x) et @u

@t (x;0) = 0:

dont la solution analytique est simple pour pouvoir comparer avec le modèle numérique basé sur le schéma 196. La solution exacte peut être obtenue par la méthode de séparation des varaibles.

Supposons que :u(x; t) =X(x) (t), l’équation d’onde devient : 1

4

00

= X⁰⁰

X = ²

Ce qui permet de séparer en deux EDO du second ordre sans seconds membres : X⁰⁰+ ²X = 0

00+ 4 ² = 0

dont les solutions sont

X(x) = Asin ( x) +Bcos ( x) (t) = Csin (2 t) +Dcos (2 t)

Les conditions initiales et aux limites permettent de calculer les constantes d’intégration. Pourx= 0, c’est B= 0et pourt= 0, on a ^@u_@t(x;0) = 0 = (2 Ccos 2 0 2 Dsin 2 0), c’est doncC= 0, il reste

X(x) = Asin ( x) (t) = Dcos (2 t) u(x; t) = Esin x cos 2 t

La seconde condition limite donne, u(1; t) = Esin cos 2 t = 0 cette équation montre que = n avec n= 0;1; :::1et la première condition initialeu(x;0) =Esin x= sin xmontre que seul = etE= 1sont valables. On peut par conséquent écrire la solution analytique comme

u(x; t) = sin x cos 2 t

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

u(x)

Exacte Numérique

Fig.21 –Résultats numériques pour x= 0:1, t= 0:05, D= 1, temps= 20 0:05etL= 0:1 10, en noir et solution exacte en rouge.

Une comparaison graphique …gure 21 est réalisée entre solution exacte (en rouge) et solution numérique

Une comparaison graphique …gure 21 est réalisée entre solution exacte (en rouge) et solution numérique

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