Equation d’onde acoustique

On considère la propagation d’une onde sonore plane dans tube de longueur2L, contenant un milieu au repos de densité ₀ et de pression p0. L’équation 206 représente cette propagation, la démonstration est disponible en annexe.

@²p

@t² + p₀

0

@²p

@x² = 0 (206)

Si les deux extrémités du tube sont ouvertes, on peut considérer que la pression y est constante et égale àp0. La ‡uctuation de pression véri…e alors une condition de Dirichlet homogènep= 0enx= Let enx= +L.

Dans le cas d’extrémités fermés (parois solides), la ‡uctuation de vitesse y est nulle et la ‡uctuation de pression véri…e une condition de Neumann ^@p_@x = 0x= Let en x=Lpuisque _@x^@p = ₀^@u_@t = 0siu= 0

Pour un tube ouvert, la ‡uctuation de pressionp(x; t)est solution de l’équation des ondes, avec les conditions aux limites et initiales suivantes :

@²p

@t² p0

0

@²p

@x² = 0 (207)

p( L; t) = 0,p(+L; t) = 0 (208)

p(x;0) = w(x), @²p

@t² (x;0) = 0 (209)

L’équation 207 décrit la propagation d’ondes de pression avec une célérité c0 = q _p

0

0 . Le problème modèle associé s’écrit :

@²u

@t² +c²₀@²u

@x² = 0 x2] L;+L[ (210)

u( L; t) = u(+L; t) cd limites (211)

u(x;0) = w(x), @u(x;0)

@t = 0 cd initiales (212)

Discrétisons par di¤érences …nies centrées le système uⁿ⁺¹_i 2uⁿ_i +uⁿ_i ¹

t² = c²₀ uⁿ_i+1 2uⁿ_i +uⁿ_{i 1} x²

uⁿ⁺¹_i 2uⁿ_i +uⁿ_i ¹ = G² uⁿ_i+1 2uⁿ_i +uⁿ_{i 1}

uⁿ⁺¹_i = 2uⁿ_i +G² uⁿ_i+1 2uⁿ_i +uⁿ_{i 1} uⁿ_i ¹ L’étude de la stabilité se fait avec la méthode des perturbations de Von Neumann.

Introduisons dans le schéma des noeuds intérieurs??la perturbation harmoniqueuⁿ_i =Uⁿexp (jik x), en posant d’abordG²= ^c20_x^t2², le coe¢ cient d’ampli…cation est dé…ni parA= ^u

n+1 i

uⁿ_i

Uⁿ⁺¹ 2Uⁿ+U^{n 1}

Uⁿ = 2 G² (cosk x 1) (213)

Introduisons l’expression du facteur d’ampli…cation dans l’expression 213, on obtient en posantX =^k₂^x

A² 2A 1 2 G² sin²X + 1 = 0 (214)

L’expression 214 est une équation du second degré enA, les deux racines de cette équation nous renseignent sur la stabilité.

D’après l’équation 214, le produit des racinesA1 A2= 1. Donc si les racines sont réelles, l’une des racines est en module supérieure à1 et le schéma est instable. Par contre si les racines sont complexes conjuguées, leur module est égale à1 et le schéma est stable. Pour que l’équation 213 ait des racines complexes, il faut

que son discriminant soit négatif, c’est-à-dire : 1 2 G² sin²X ² 1 = 4G⁴sin⁴X 4G²sin²X = 4G²sin²X G² 1

1 2 G² sin²X ² 1 < 0

1 + 42 G⁴ sin⁴X 4 G² sin²X 1 < 0 (215)

G² 1 < 0 (216)

La condition ??conduit à la condition CFL

CF L=c₀ t

x <1 (dc- )

Références

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Faculté des Sciences et des Sciences de l’Ingénieur Bouira Enseignant : M. Boussaid

TD Di¤érences …nies

Exercice 1: Montrer que l’expression discrète suivante est possible:

@f

Faisons la di¤érence entre ces deux développements 4fi+1 fi+2= 3fi+ _1!^{x @f}_@x

i+¹²₆^{x3 @}_@x^3f3 , ^@f_@x

i= ^fi+2+4f_{2 x}^{i+1 3fi} ₂^{x2 @}_@x^3f3

Exercice 2: Formules centrées d’ordre 2: ^@_@x^3f3

i= ^{fi 2+2fi}₂¹_x3^2fi+1+fi+2, ^@_@x^4f4

i= ^{fi 2 4fi 1+6f}_xⁱ4 ^4fi+1+fi+2. Etablir et donner l’ordre de troncature.

Solution 2: La somme de ces 4 développement donne

fi 2+ 2fi 1 2fi+1+fi+2= ^@_@x^3f3

La somme donne des ces 4 développements donne

fi 2 4fi 1+ 6fi 4fi+1+fi+2= 6fi+ ⁴ ₆^x4 ₆^x4 ₆^x4+⁴₆^{x4 @}_@x^4f4

i+O x⁵

@⁴f

@x⁴

i=^{fi 2 4fi 1+6f}_xⁱ4 ^4fi+1+fi+2 +O x⁵

Exercice 3: Formules décentrées arrière d’ordre 2 ^@f_@x

i= ^{fi 2 4f}₂ⁱ_x^1+3fi, ^@_@x^2f2

Exercice 4: Formules décentrées amont d’ordre 2 ^@f_@x

i= ^3fi+4f₂ⁱ⁺¹_x ^fi+2, ^@_@x^2f2

i= ^{fi 3+4fi 2}_x2^{5fi 1+2fi},

@³f

@x³ i= ^3fi+4+14fi+3₂^24f_x3^{i+2+18fi+1 5fi}, ^@_@x^4f4

i= ^{2fi+5+11fi+4 24f}₂ⁱ⁺³_x^+26f3 ^{i+2 14fi+1+3fi}

Exercice 5: Formules décentrées arrière d’ordre 1 ^@f_@x

i= ^{fi 1}_x^+fi, ^@_@x^2f2

Exercice 6: Formules décentrées amont d’ordre 1 ^@f_@x apparaissant en mécanique des ‡uides.

Solution 7:

1. ^{i+1;j 2} _x^i;j2^{+ i 1;j} + ^{i;j+1 2} _y^i;j2^{+ i;j 1} +!i;j= 0

2. ^{i 3;j+4 i 2;j}_x2^{5 i 1;j+2 i;j} + ^{i;j 3+4 i;j 2}_y2^{5 i;j 1+2 i;j} +!i;j= 0

Exercice 8: Proposer une expression discrète en utilisant les di¤érences …nies de l’équation parabolique suivante:^@_@t = ^@_@x²2 +^@_@y²2 +a

Exercice 9: Utiliser la méthode des directions alternées pour discrétiser les équations de transport de la fonction de courant et du tourbillon dans un domaine rectangulaire.

@²

@x² +^@_@y²2 +!= 0 couplé à ^@!_@t +^@ _@y^@!_@x ^@ _@x^@!_@y = ^@_@x²2 +^@_@y²2 +f(x; y)

Exercice 10: Un problème de conduction peut être modélisé mathématiquement par le système suivant:^@T_@t = a(T) O²T+Q, ^@T_{@x x=0}= 0, ^@T_{@x x=L}= CT +D,T(x;0) =E

Le terme a(T) =F T¹⁼². On demande:

1. Utiliser les di¤érences …nies pour discrétiser l’équation ??. Proposer un schéma implicite pur.

2. Donner les équations discrètes des noeuds limites1 etn, pour des conditions de Fourier.

3. Ecrire sous forme matricielle le système obtenu.

4. Décrire l’algorithme permettant de lever la non linéarité.

Solution 10:

Exercice 11: Calculer la répartition de température dans un mur (1Dimension) d’épaisseur e= 0:1m, en stationnaire avec une source de chaleur fonction de la températureP(T) = 10³ T. En utilisant 4 noeuds intérieurs en plus des noeuds limites. On donne les conditions aux limites: Température est imposée à gauche T = 10 C et à droiteT = 0 C. On donne l’expression de l’équation de la chaleur:^d_dx^2T2 +P(T) = 0. Utiliser la méthode des di¤érences …nies en fonction du pointi. Faire 4 itérations au moins. Calculer le ‡ux à la paroi gauche et droite, sachant que la conductivité thermique est = 20W=m C.

Solution 11: x=^0:1₅ = 0:02, x²= 0:02²= 0:000 4

1ère itération estimé initialTi= 5 T₁¹= 10

3ème itération

Le système obtenu est à 2 ou 3 niveaux de temps?

Solution 12:

Schéma de Dufort et Frankel. On considère l’équation de la chaleur et le schéma suivant

Exercice 13: Schéma de Dufort et Frankel. On considère l’équation de la chaleur et le schéma suivant

T_iⁿ⁺¹ T_i^{n 1}

2 t = ^T

n

i+1 T_iⁿ⁺¹ T_i^{n 1}+T_iⁿ₁ x²

Étudier l’ordre du schéma. Le schéma est-il implicite ou explicite ? Étudier la stabilité de ce schéma.

Solution 13: Schéma rétrograde.

On considère le schéma rétrograde suivant de l’équation de la chaleur: ^32T

n+1

Déterminer l’ordre du schéma. Le schéma est-il explicite ou implicite ? Étudier la stabilité du schéma.