Thierry Gallay (cours) & Julien Vovelle (TD)
Transcrit par Idriss Mazari.
Cours de M1-ENS de Lyon
Année scolaire 2014-2015
Ces notes ont été rédigées par Idriss Mazari. Les erreurs qui s’y trouvent ne sont donc aucunement du fait de M. Gallay (http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~gallay/). Les Td ont été rédigés par Julien Vovelle (http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/vovelle/).
On adoptera dans tout ce polycopié les notations suivantes :
• On travaillera toujours implicitement avec la mesure de Lebesgue (que l’on noteraµ(n) et que l’on abrérra pardxen dimension 1) sur la tribu borélienne deRn.
• On désignera par Ff ou par fˆla transformée de Fourier d’une fonction f ∈ L1. On prendra la convention
Ff(ξ) :=
∫
Rn
f(x)e−ix·ξdµ(n)(x)
• On désignera parS(Rn)la classe de Schwarz dansRn.
• On désignera parD(Ω)ou parCc∞(Ω)l’ensemble des fonctionsC∞ à support compact inclus dans un ouvertΩ.
• On désignera parD′(Ω) les distributions surΩet parS′(Rn)les distributions tempérées sur Rn.
• Le crochet de dualité sera noté⟨,⟩.
• Rn sera toujours implicitement supposé muni de sa structure euclidienne canonique, et l’on notera le produit scalairex·y,⟨x|y⟩,(x, y)ou(x|y),xet y désignant deux vecteurs deRn.
I Introduction générale . . . 4
1 Mise en jambes . . . 4
2 Quelques EDP emblématiques . . . 4
3 Bibliographie . . . 6
4 Exercices . . . 8
4.1 Stabilité de la solution d’une EDP . . . 8
4.2 Equation de transport . . . 9
4.3 Étude d’un problème elliptique en dimension 1 . . . 9
4.4 Equation des ondes et cordes de guitare . . . 11
4.5 Minimisation et EDP . . . 13
4.6 Probas et EDP . . . 14
4.7 Transport Optimal et équation de Monge-Ampère . . . 15
II EDP linéaires du second ordre à coefficients constants . . . 16
1 Solutions fondamentales de l’équation de Laplace . . . 16
2 Mesure de surface et formule de Gauss . . . 17
3 Propriétés des fonctions harmoniques . . . 19
4 Problème de Dirichlet et fonctions de Green . . . 21
5 L’équation de la chaleur . . . 24
6 L’équation des ondes . . . 30
7 Exercices . . . 34
7.1 L’équation de Poisson dansR3 . . . 34
7.2 Fonction de Green sur le demi-espace - I . . . 34
7.3 Principe du maximum . . . 35
7.4 La formule de la moyenne et applications . . . 35
7.5 Fonction de Green sur le demi-espace - II . . . 36
7.6 L’équation de la chaleur sur le Tore . . . 37
7.7 L’équation de la chaleur avec terme source - Résolution . . . 37
7.8 L’équation de la chaleur avec terme source - Effet régularisant . . . . 38
7.9 Inégalité de Varopoulos-Carne . . . 39
7.10 Propagation . . . 40
7.11 Limite Hydrodynamique . . . 40
III Opérateurs différentiels-Régularité elliptique-Propagation des singularités . . . 42
1 Définitions générales . . . 42
2 EDP elliptiques d’ordre 2-Existence de solutions faibles . . . 43
3 Équations elliptiques d’ordre 2-Résultats de régularité . . . 46
3.1 Rappels sur les quotients différentiels . . . 46
3.2 Régularité intérieure . . . 47
3.3 Principes du maximum . . . 49
4 Opérateurs linéaires hyperboliques et propagation . . . 50
4.1 Définitions et exemples . . . 50
4.2 Exemples de solution : propagation . . . 52
5 Exercices . . . 56
5.1 Un exemple de régularité intérieure . . . 56
5.2 Un contre-exemple de régularité intérieure . . . 59
5.3 Principe du maximum faible pour les solutions faibles . . . 63
5.4 Une équation elliptique semi-linéaire . . . 64
5.5 Variété caractéristique de l’équation des ondes . . . 65
5.6 Variété caractéristique - Ensemble caractéristique . . . 66
5.7 Direction hyperbolique . . . 67
5.8 Système strictement hyperbolique en dimension1 . . . 67
5.9 Système hyperbolique symétrisable en dimensiond≥1 . . . 67
5.10 Équation de Hamilton-Jacobi et propagation . . . 68
5.11 Propagation et équation de Hamilton-Jacobi . . . 69
IV Semi-groupes d’opérateurs linéaires bornés . . . 70
1 Premières notions . . . 70
2 Deux exemples . . . 73
2.1 Semi-groupe des translations . . . 73
2.2 Semi-groupe de la chaleur dansL2(Rn) . . . 74
3 Le théorème de Hille-Yosida . . . 75
3.1 Ensemble résolvant et spectre . . . 75
3.2 Théorèmes de représentation . . . 77
4 Exercices . . . 85
4.1 Fermeture d’un opérateur non borné . . . 85
4.2 Adjoint d’un opérateur non-borné sur un Hilbert . . . 85
4.3 Adjoint d’un opérateur non-borné sur un Hilbert (suite) . . . 86
4.4 Semi-groupe et inégalité d’interpolation . . . 86
4.5 Ensembles spectraux d’opérateurs non bornés . . . 86
V Introduction aux équations d’évolution semi-linéaires . . . 87
1 Solutions classiques et intégrales d’équations d’évolution . . . 87
2 Recollement, explosion et dépendance en la condition initiale . . . 90
3 L’équation de la chaleur non linéaire . . . 91
4 L’équation des ondes non-linéaire . . . 94
5 Exercices . . . 97
5.1 Equations de la chaleur non-linéaires . . . 97
5.2 Equation de la chaleur non-linéaire - Exposant critique de Fujita . . . 98
VI Examens et partiels . . . 99
1 Examen partiel du 13 mars 2015 . . . 99
2 Corrigé de l’examen partiel du 13 mars 2015 . . . 100
3 Examen final du 19 mai 2015 . . . 104
I. Introduction générale
I-1. Mise en jambes
On abrègera dans toute la suite "équation aux dérivées partielles" en "EDP".
Une EDP est une équation dont l’inconnue est une fonction et qui relie la fonction à ses dérivées partielles. Typiquement, la fonction u cherchée est définie sur un ouvert Ω de Rn et est à valeurs dans Rm, Ω étant supposé non vide et n ≥2; le cas n = 1 est traité par la théorie des équations différentielles ordinaires. Une EDP est donc de la forme
∀x∈Ω, F(x, u(x),∇u(x), . . . ,∇ku(x)) = 0 (I.1) F étant à valeurs dansRm(on demande généralement autant d’équations que d’inconnues). Sim= 1, on parle d’équation scalaire. Sim≥2, on parle desystème d’EDP. L’entierkqui intervient dans (1) est appeléordre de l’EDP (k est l’ordre maximal intervenant dans l’équation de manière non triviale). La forme (I.1) est beaucoup trop générale : on ne sait strictement rien en dire.
On dit que (I.1) estlinéairesiF dépend linéairement de chacun des∇iu(x), i∈ {0, . . . , k}. L’équation
s’écrit alors ∑
|α|≤k
vαDαu=f (I.2)
où les vα : Ω → M(m,R) sont les coefficients de l’équation. La fonction f est appelé second membre de l’équation.
I-2. Quelques EDP emblématiques
Faisons d’abord quelques rappels historiques : les équations différentielles ordinaires sont apparues au dix-septième siècle, et accompagnent la naissance du calcul différentiel dans les travaux de Newton et Leibniz (dans la lignée des oeuvres de Fermat sur la recherche d’extrema), auquel elles se couplent pour modéliser la mécanique céleste. Ces équations ont également pu servir à modéliser la mécanique des solides indéformables.
Figure 1 – Newton Les problèmes commencent à apparaître lorsqu’on l’on cherche à modé-
liser des solides déformables (souvent supposés idéaux, au moins le temps de la modélisation, la notion d’idéalité d’un objet dépendant évidemment de la situation). Historiquement, les équations sont apparues avec l’équation des cordes vibrantes, introduite par d’Alembert en 1749 dans un texte inti- tulé Recherches sur la courbe que forme une courbe tendue mise en vibration.
Cette équation a une histoire riche en rebondissements qui mériterait une étude ap- profondie sur le plan historique, et nous nous contenterons ici de donner quelques éléments sur la controverse qui opposa Euler, d’Alembert et Daniel Bernoulli ; en effet, d’Alembert ayant trouvé la forme générale des solutions classiques de l’équation, Ber- noulli s’empare de ses travaux et introduit, à sa manière, un développement en série de Fourier des solutions (ce qui imposerait une certaine régularité ), tandis
Figure 2 – d’Alembert
qu’Euler réussit à déterminer la solution générale en fonction du profil intial, qui peut présenter des défauts de régularité ; sa solution a pourtant toujours un sens.
développer. Les travaux de Bernoulli se retrouveront plus tard dans le célèbreThéorie analytique de la chaleurde Joseph Fourier. On réalisera au vingtième siècle qu’Euler, au cours de cette controverse, aura en fait été le premier a introduire la notion desolution faible, réapparue dans les années 30 avec les travaux de Leray (1906-1998). Étudions cette équation : nous aurons simplement besoin, pour cela, du principe fondamental de la mécanique de Newton.. On considère une corde astreinte à ne se déplacer que verticalement :
.
. x
.
x+δ .
T
. x
. y
Soitµ la masse linéique de la corde,T la tension de la corde (supposée constante). On considère une portion de la corde entrexetx+δ. La masse de ce bout de corde est
m=µ
∫ x+δ x
√1 + (∂xu)2(y)dy
Par hypothèse, l’accélération est uniquement verticale et vaut donc a=∂tt2u(x, t)·
(0 1 )
En négligeant la gravitation, la somme des forces se réduit à la tension exercée de part et d’autre du fil. La souplesse supposée de la corde signifie que la tension est toujours dirigée par la tangente au fil.
Ainsi, en notantF la résultante des forces, on a : F =T
( 1
∂xu(x+δ)
) 1
√1 + (∂xu)2(x+δ)−T ( 1
∂xu(x)
) 1
√1 + (∂xu)2(x)
Sous l’hypothèse de petits déplacements, ces deux quantités deviennent m=µδ, F =T δ
( 0
∂2xxu(x) )
et on obtient finalement l’équation des cordes vibrantes, en posantc:=
√T
µ la vitesse de propagation :
∂tt2u(x, t) =c2∂xx2 u(x, t) (I.3) On peut généraliser cette formule à n’importe quelle dimension, et on l’appelle toujours équation des ondes: SiΩest un ouvert deRn, sif est une fonction deΩ×R, on peut considérer l’équation suivante, d’inconnueu: Ω×R→R:
∂tt2u=c2∆xu+f (I.4)
On peut également utiliser l’équation d’élasticité, qui fait intervenir plusieurs vitesses de propaga- tion.
La deuxième équation aux dérivées partielles fondamentale est l’équation de la chaleur, introduite par Fourier aux alentours de 1810 :
∂tu=D∆xu+f (I.5)
où u modélise la température dans le domaine Ω, f est une terme source et D est la diffusivité thermique du matériau. Cette équation s’établit via un bilan d’énergie et via la loi de Fourier, qui est une loi phénoménologique : de nombreux débats ont lieu aujourd’hui encore pour savoir si cette loi peut se déduire des principes de la mécanique classique ou si elle est condamnée à rester une loi phénoménologique. Notons que cette équation n’est pas réversible, contrairement aux équations de Newton. Mais où arrive cette irréversibilité ?
La troisième EDP emblématique est l’équation de la mécanique des fluides(introduite par Euler, en 1755, et affinée par Navier en 1823 pour l’étude des fluides visqueux).
On déifnitu(t, x)la vitesse dans le fluide au pointxà l’instanttetp(t, x)la pression dans le fluide au pointxà l’instantt. On introduitη≥0la viscosité du fluide. Alorsuest solution de l’EDP suivante :
{ ρ(∂tu+ (u· ∇)u) = η∆xu− ∇p
divx(u) = 0 (I.6)
Si η = 0, on parle d’équation d’Euler, et si η > 0, on parle d’équation de Navier-Stokes. Il est intéressant de noter qu’il s’agit de la première EDP non-linéaire apparue historiquement. Elle l’est de manière intrinsèque, pas à cause d’un développement limité malencontreux de la part d’un mathéma- ticien, mais bien à cause du(u· ∇)uqui apparaît dans le terme d’accélération, qui correspond en fait à une dérivée de Lie. C’est une équation sur laquelle beaucoup de questions sont encore ouvertes : on sait pas si les solutions sont régulières, ni même si elles existent en tout temps...
Un des succès incontestables de la physique du XIXesiècle est l’établissement, aux alentours de 1875, deséquations de Maxwell. Soit ρla densité de charge, j la densité de courant, ε0 la permittivité du vide etµ0 sa perméabilité.Les équations de Maxwell sont le système d’EDP suivant :
div(E) = ερ
0
div(B) = 0 rot(E) = −∂tB
rot(B) = µ0j+ε0µ0∂tE
(I.7)
Figure 3 – Maxwell
On peut par exemple en déduire une EDP fermée qui s’assimile à une équation des ondes à la vitesse de la lumièrec,c= √ε10µ0 :
ε0µ0∂tt2B= ∆xB+µ0rot(j) (I.8) Enfin, mentionnons l’équation de Schrodinger : u(t, x) désignant l’amplitude de probabilité de présence de la particule endxà l’instantt, on a :
iℏ∂tu=−ℏ2
2m∆xu+V u (I.9)
oùℏest la constante de Planck réduite,mla masse d’une particule etV(x, t)le potentiel associé à la force subie. Cette équation décrit l’évolution de la densité de probabilité|u|2. Elle pré’esente certaines analogies avec l’équation de la chaleur, mais également des différences majeures : par exemple, elle est réversible (via la symétrie u(x, t)7→u(x,−t), qui est un analogue quantique de la réversibilité), tandis que l’équation de la chaleur ne l’est pas.
Mentionnons pour finir l’équation de Poisson, qui apparaît naturellement lorsque l’on cherche des solutions stationnaires de l’équation des ondes ou de la chaleur :
−∆xu=f (I.10)
f ne dépendant pas du temps.
I-3. Bibliographie
• S. Alinhac et P. Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser. Savoirs Ac- tuels, InterEditions, Paris, 1991.
• H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext, Sprin- ger, New York, 2011.
• Th. Cazenave et A. Haraux, Introduction aux problèmes d’évolution semi-linéaires. Mathématiques
& Applications 1, Ellipses, Paris, 1990.
• K.-J. Engel et R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations. Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag, New York, 2000.
• L. C. Evans, Partial differential equations, second edition. Graduate Studies in Mathematics 19, American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
• A. Friedman, Partial differential equations. Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, N.Y., 1976.
• D. Gilbarg et N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
• L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators. I. Distribution theory and Fou- rier analysis. II. Differential operators with constant coefficients. III. Pseudo-differential operators.
IV. Fourier integral operators. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003–2009.
• F. John, Partial differential equations, reprint of the fourth edition. Applied Mathematical Sciences 1, Springer-Verlag, New York, 1991.
• J. Jost, Partial differential equations, second edition. Graduate Texts in Mathematics 214, Springer, New York, 2007.
• O. Kavian, Introduction à la théorie des points critiques et applications aux problèmes elliptiques.
Mathématiques & Applications 13, Springer, Paris, 1993.
• J.-L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. Dunod, Gauthier-Villars, Paris, 1969.
• A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, New York, 1983.
• M. Protter et H. F. Weinberger, Maximum principles in differential equations, corrected reprint of the 1967 edition. Springer-Verlag, New York, 1984.
• J. Rauch, Partial differential equations. Graduate Texts in Mathematics 128, Springer-Verlag, New York, 1991.
• W. Strauss, Partial differential equations. An introduction, second edition. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, 2008.
• M. E. Taylor, Partial differential equations. I. Basic theory. II. Qualitative studies of linear equa- tions. III. Nonlinear equations.Second edition, Applied Mathematical Sciences 115–117, Springer, New York, 2011.
I-4. Exercices I-4- 1. Stabilité de la solution d’une EDP
On note Tn le tore de dimensionn(classes d’équivalencex¯ pour la relationx∼ysi x−y∈Zn).
Pourp≥1,k∈N, on dit qu’une fonctionφ:Tn→Rp est de classeCk surTn(notéφ∈Ck(Tn;Rp)) si la fonction
x∋Rn7→φ(¯x) est de classeCk surRn. Pourf ∈C0(Tn;R), on notera aussi
∫
Tn
f(x)dx=
∫
[0,1]n
f(¯x)dx.
On rappelle la formule de Green dans ce cadre périodique :
∫
Tn
a(x)· ∇φ(x)dx=−
∫
Tn
div(a)(x)φ(x)dx, (I.11)
pour toutes fonctionsa∈C1(Tn;Rn),φ∈C1(Tn;R).
Pourp≥1, on noteLp(Tn)l’ensemble des fonctions mesurablesu:Rn→Rqui sontZnpériodique
et satisfont ∫
[0,1]n
|u(x)|pdx <+∞. Siu∈L1(Tn)etk∈Zn, on note
ˆ u(k) =
∫
Tn
u(x)e−2πik·xdx=⟨u, ek⟩L2(Tn)
lek-ième coefficient de Fourier deu. Iciek(x) :=e2πik·x. 1. Soitu0∈L2(Tn). Soitu∈C([0,+∞[;L2(Tn))satisfaisant
u∈C∞(]0,+∞[×Tn), (I.12)
∂tu(t, x)−∆u(t, x) = 0, pour tout(t, x)∈]0,+∞[×Tn, (I.13)
u(0) =u0. (I.14)
Remarque : Dans (II.28),u(0)est la valeur ent= 0de la courbe t7→u(t)tracée dansL2(Tn).
Considérer la valeur en0 a un sens puisque la courbe est continue par hypothèse.
En passant en Fourier, montrer que, pour toutt≥0, u(t) = ∑
k∈Zn
e−4π2|k|2tuˆ0(k)ek, (I.15) l’égalité ayant lieu dans L2(Tn).
2. Réciproquement, montrer que la formule (I.15) définit une fonction u∈C([0,+∞[;L2(Tn))
satisfaisant (I.12), (II.27), (II.28).
3. Montrer que
t→lim+∞u(t) =
∫
Tn
u0(x)dx dansL2(Tn).
4. Qu’en déduit-on au sujet de la stabilité dansL2(Tn)de la solution nulle ?
I-4- 2. Equation de transport
Soitb∈C1(Rn;Rn)un champ de vecteur borné.
1. Justifier que le flot Φt(x) est défini globalement en temps. On rappelle que Φt définit un C1- difféomorphismeRn→Rn.
2. On noteΦtla fonction inverse dex7→Φt(x). Soitu0∈C1(Rn). Montrer que u: (t, x)7→u0(Φt(x))
est solution de l’équation de transport
∂tu(t, x) +b(t, x)· ∇xu(t, x) = 0 pour toust >0, x∈Rn, (I.16) et satisfait la condition initiale :u(0, x) =u0(x)pour toutx∈Rn.
3. Comment opére l’équation de transport (I.16) sur le graphe de u0? Qu’en est-il dans les cas particuliersn= 1,b≡ ±1?
I-4- 3. Étude d’un problème elliptique en dimension 1 On considère le problème aux limites suivant :
trouveru∈C2[0,1] tel que
−u′′(x) +a(x)u(x) =f(x), ∀x∈]0,1[, (I.17)
u(0) =α u(1) =β. (I.18)
Les fonctions,a, f∈C0[0,1], sont données, ainsi que les réelsα,β. On supposea(x)≥0,∀x ∈[0,1].
1. En utilisant les théorèmes de base sur les équations différentielles, montrer que les solutions de (1) forment un espace affine de dimension 2.
. . . . Solution :
Il s’agit d’une EDO dont l’ensemble des solutions est défini par la considération du problème de Cauchy
trouveru∈C2[0,1] tel que
−u′′(x) +a(x)u(x) =f(x), ∀x∈]0,1[, u(0) =λ u′(0) =µ,
avecλetµdansR. Pourλetµfixés, le problème de Cauchy admet une unique solution par le théorème de Cauchy-Lipschitz. En effet, il est équivalent au système différentiel
V′=AV et V(0) = (0
1 )
avec V =
(v v′
)
et A=
(0 1 a 1 )
où(x, y)7→A(x)y est lipschitzienne de[0,1]×R2 dansR2 par rapport ày.
. . . . 2. Pour v∈C2(]0,1[)∩C0[0,1], on pose(Lv)(x) =−v′′(x)+a(x)v(x). Montrer que
(Lv)(x)≤0, ∀x∈]0,1[, entraîne v(x)≤max(0, v(0), v(1)), ∀x∈[0,1].
Indication : quel est le signe de v′′ sur les intervalles oùv >0? Solution :
• Supposons (Lv)(x) ≤ 0, ∀x ∈]0,1[. Dans un premier temps, supposons v(0), v(1) ≤ 0. Il s’agit alors de montrer quev reste négative.
Par l’absurde, considérons alors qu’il existex0tel quem= max{v(x), x∈]0,1[}=v(x0)>0.
SoitV(x0)le voisinage dex0maximal tel quev(x)>0pour toutxdansV(x0). Par positivité dev et a sur V(x0), il vient alors quev′′ est positive sur V(x0) et donc v est convexe sur V(x0). Alors, surV(x0), vatteint son max sur une borne deV(x0).
La convexité de v et sa continuité induise que v est constante sur V(x0)∪[x0,1] et ceci contredit la définition même deV(x0). Contradiction.
• Concernant le casv(0)>0etv(1)≤0. On posew(x) =v(x)−v(0)(1−x)et on se retrouve dans le cas précédent enw, ce qui induit le résultat attendu par l’intermédiaire de(Lw)qui est aussi négative lorsque(Lv)l’est.
• Concernant le casv(0)≤0 etv(1)>0. Idem en posantw(x) =v(x)−v(1)x.
• Concernant le casv(0)>0 etv(1)>0. Idem en posantw(x) =v(x)−v(0)(1−x)−v(1)x.
. . . . 3. Vérifier que, siuest solution de (1), (2), la fonction
w(x) =u(x)− |α|(1−x)− |β|x−1
2x(1−x)∥f∥L∞(0,1)
vérifie(Lw)(x)≤0, pour toutx∈[0,1].
. . . . Solution :
Il suffit d’écrire pour aboutir à
(Lw)(x) =f(x)− ∥f∥L∞(0,1)−a(x)(|α|(1−x) +|β|x+1
2x(1−x)∥f∥L∞(0,1)) ce qui est effectivement négatif.
On peut remarquer de plus que w(0), w(1)≤0, d’où l’on déduit de la question précédente que w≤0 sur]0,1[.
. . . . 4. Montrer que les solutions de (1), (2) vérifient
∀x∈[0,1], |u(x)| ≤ |α|(1−x) +|β|x+1
2x(1−x)∥f∥L∞(0,1)
en déduire l’unicité des solutions de (1), (2).
. . . . Solution :
De la question précédente, on au(x)≤ |α|(1−x) +|β|x+12x(1−x)∥f∥L∞(0,1).
Il suffit d’appliquer la question précédente à −uavec −f, −α, et −β à la place def, α, et β pour avoir −u(x)≤ |α|(1−x) +|β|x+12x(1−x)∥f∥L∞(0,1).
cqfd. L’unicité de la solution de (1-2) en découle trivialement.
Ici, on remarque que l’unicité repose sur la linéarité du problème et le contrôle de la solution par les données du problème : α,β etf.
. . . . 5. Montrer que la solution du problème
−v′′(x) +a(x)v(x) = 0, ∀x∈]0,1[, v(0) = 0 v′(0) = 1,
vérifiev(1)̸= 0. En déduire que le problème (1), (2) admet une solution et une seule, et que de plus, sia∈Ck[0,1]et f ∈Ck[0,1], alorsu∈Ck+2[0,1].
. . . . Solution:
Désignons par (P1) le problème
−v′′(x) +a(x)v(x) = 0, ∀x∈]0,1[, v(0) = 0 v′(0) = 1,
D’après la question précédente, si v(1) = 0, on obtient v = 0 sur [0,1], ce qui contredit v′(0) = 1.
Nécessairement,v(1)̸= 0. L’unicité et l’existence de la solutionv de (P1) est assurée par le théorème
de Cauchy-Lipschitz (omme question (a)).
Désignons par (P2) le problème
−w′′(x) +a(x)w(x) = 0, ∀x∈]0,1[, w(0) =α w′(0) = 0,
L’unicité et l’existence de la solutionwde (P2) est aussi assurée par le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Notonsu=w+γv. Alorsuvérifie :
−u′′(x) +a(x)u(x) = 0, ∀x∈]0,1[, u(0) =w(0) +γv(0) =α
u(1) =w(1) +γv(1).
On obtient ainsi l’existence d’une solutionude (1-2) en prenantγ=β−v(1)w(1).
La régularité provient du fait que u′′ = au−f. Ainsi, si a ∈ Ck[0,1] et f ∈ Ck[0,1], avec u∈C2[0,1], on obtientu′′∈C2[0,1]et doncu∈C4[0,1](sik≥2). De proche en proche, on obtient u′′∈Ck[0,1]et doncu∈Ck+2[0,1]. On gagne de la régularité.
Remarque : Au travers de cette première partie, nous nous sommes intéressés à 4 propriétés :
— Contrôle de la solution par les données du problème : un forme de continuité de la fonctionnelle qui au problème initial associe sa solution.
— Unicité de la solution comme conséquence de la linéarité du problème et du contrôle ci-dessus.
— Existence de la solution : la partie la moins triviale. Ici, on se ramène à un problème dont on connait l’existence d’une solution.
— Régularité de la solution.
. . . .
I-4- 4. Equation des ondes et cordes de guitare
Soit une corde de longueur L, considérée à l’horizontale dans la position de repos. L’équation vérifée par l’amplitudeu(t, x)de déplacement de la corde (voir cours) est
∂2u
∂t2(t, x)−c2∂2u
∂x2(t, x) = 0, t >0, x∈]0, L[, (I.19) oùc=
√T
µ,T étant la tension de la corde etµsa masse linéique.
1. Dans cette question uniquement on considère la corde comme de longueur infinie, c’est-à-dire qu’on résout (I.19) pour xvariant dans toutR.
(a) Soitφ, θ∈C2(R). Montrer que
u(t, x) :=φ(x+ct) +θ(x−ct) satisfait (I.19).
(b) Soitf ∈C2(R),g∈C1(R). Déterminer la solution de (I.19) qui satisfait
u(0, x) =f(x), ∂tu(0, x) =g(x), (I.20) pourx∈R.
On revient au cas de la corde de longueur L finie.Dans le cas d’une corde de guitare, en plus de l’équation d’ondes (I.19), l’amplitude de déplacementuvérifie les conditions au bord
u(t,0) = 0, u(t, L) = 0, t >0. (I.21) At fixé, on peut alors prolongerx7→u(t, x)en une fonctionimpaire continue2L-périodique.
2. En utilisant un développement en séries de Fourier de u(t,·), montrer, sans justification de convergence des séries, que
u(t, x) =
∑∞ n=1
(Ancos(ωnt) +Bnsin(ωnt)) sin(knx), An, Bn∈R, (I.22) où
kn :=πn
L , ωn:=ckn.
3. On considère (c’est approximatif pour plusieurs raisons), qu’une corde de guitare est mise en mouvement de la manière suivante : elle est déportée d’une hauteurhen son centre, donc avec le profil
f(x) = min (2h
Lx,2h L(L−x)
)
. (I.23)
et lâchée ainsi sans vitesse initiale. Trouverusous la forme (I.22) satisfaisant la condition initiale (I.20) (pour x∈]0, L[) avecf données par (I.23) etg nulle. At fixé, que dire de la convergence de la série obtenue ?
4. La vibration de la corde se propage à l’air puis à l’oreille (onde de pression). L’oreille entend les fréquence ωn, d’autant moins nettement que le coefficient An est petit : ω1 est donc la fondamentale. Pourn≥2, on appelleωn =nω1lan-ième (fréquence)harmonique. Si nest une puissance de 2, la fréquence ωn est percue par l’oreille comme analogue à ω1 (et plus aigue).
Une note correspondant à la fréquence ω2k+1 est dite à l’octave de la note correspondant à la fréquence ω2k, cf. le tableau ci-dessus, issu de la page wikipedia http://fr.wikipedia.org/
wiki/Harmonique_(musique).
Figure4 –
(a) Où poser1 l’index gauche pour jouer la note à l’octave de la corde à vide ? (b) Dans lagamme tempérée
do, ré, mi, fa, sol, la, si, do,
l’écart entre notes est de deux tons sauf entre mi et fa et si et do : un seul ton. Connaissant la fréquenceωdu do le plus bas, la fréquence du do à l’octave est 2ω. On obtient les notes intermédiaires (y compris les notes altérées) en considérant la progression géométrique
k7→2k/12ω
pour k entier entre 0 et 12. Certaines des valeurs de k(par exemple 1, ou 8) donnent les notes altérées (do♯= re♭etsol♯= la♭en l’occurence). Sur un ukulele ou une guitare, poser le doigt sur la première frette réduit la longueur de la corde d’un facteur 2−1/12. Quelles notes obtient-on en posant son doigt sur la première frette, sachant que sur la guitare les cordes sont successivement
mi, la, ré, sol, si, mi, et sur un ukulele
sol, do, mi, la.
(c) Revenons à la question des fondamentales et des harmoniques. Soit une note donnée de fréquence ω1 (par exemple do1 dans le tableau des harmoniques de do ci-dessus). La n- ième harmonique de fréquence ωn = nω1 est-elle nécessairement une note de la gamme tempérée construite2surdo1? Commenter les deuxième et troisième lignes du tableau des harmoniques de do ci-dessus.
1. sur une guitare ou un ukulele, la douzième frette est en effet située au milieu de la corde 2. elle est plutôt construite sur le la de fréquence 440 Hz
I-4- 5. Minimisation et EDP
On renvoit au préambule de l’exercice 4.1 pour les notations dans le cadre périodique.
1. Equation de Poisson :Soitf ∈C0(Tn;R)de moyenne nulle :
∫
Tn
f(x)dx= 0. (I.24)
Soitu∗∈C2(Tn;R)minimisant la fonctionnelle J:u∈C1(Tn;R)7→ 1
2
∫
Tn|∇xu(x)|2dx−
∫
Tn
f(x)u(x)dx parmi les fonctions u∈C2(Tn;R)
(a) Montrer que
−∆u∗(x) =f(x), (I.25)
pour toutx∈Tn. (b) Pourk∈Zn, on note
fˆ(k) =
∫
Tn
f(x)e−2πik·xdx
le k-ième coefficient de Fourier de f. Déterminer u∗ solution de (I.25) en fonction des coefficients Fourier def.
(c) Quelle hypothèse sur f vous assurerait en effet queu∗ est de classeC2?
(d) Montrer que siu∗∈C2(Tn;R)vérifie (I.25), alorsu∗ minimise la fonctionnelleJ parmi les fonctionsu∈C1(Tn;R).
2. Courbure Moyenne prescrite : Soit f ∈ C0(Tn;R). Soit u∗ ∈ C2(Tn;R) minimisant la fonctionnelle
A:u∈C1(Tn;R)7→
∫
Tn
√1 +|∇u(x)|2dx−
∫
Tn
f(x)u(x)dx parmi les fonctions u∈C2(Tn;R). Montrer queu∗ vérifie l’équation
−div
( ∇u∗(x)
√1 +|∇u∗(x)|2 )
=f(x), (I.26)
pour toutx∈Tn.
3. Minimisation sous contrainte :Soitf ∈C0(Tn;Rn). Soitu∗∈C2(Tn;Rn)telle que|u(x)|= 1 pour toutx∈Tn (i.e.u∗ est à valeurs dansSn−1, la sphère unité deRn). On suppose queu∗ minimise la fonctionnelle
J:u∈C1(Tn;Rn)7→ 1 2
∫
Tn|∇u(x)|2dx−
∫
Tn
f(x)·u(x)dx
parmi les fonctionsu∈C2(Tn;Rn)à valeurs dansSn−1. Ici∇u(x)est la matrice de composantes
∂xiuj,i, j= 1. . . , n. On a noté|A|la norme euclidienne surMn(R)(norme euclidienne surRn2) associée au produit scalaire
(A, B)7→A:B= trace(AtB).
Montrer queu∗ vérifie l’équation
−∆u(x) =|∇u(x)|2u(x) +P⟨u∗(x)⟩⊥f(x), (I.27) pour toutx∈Tn, où, pouru∈Sn−1, on a noté
P⟨u⟩⊥:v7→v−(u·v)u la projection orthogonal sur ⟨u⟩⊥.
Indication :
(a) Pourv∈C2(Tn;Rn), on pourra introduire la fonction w(t) = u+tv
|u+tv|, pourt petit et on montrera que
w(t) =u+tP⟨u⟩⊥v+O(t2).
(b) On dérivera l’identitéu(x)·u(x) = 1 pour montrer ∂xiu(x)·u(x) = 0 pour tout x∈Tn, i∈ {1, . . . , n}, puis l’identité
∇u:∇((u·v)u) =|∇u|2u·v.
I-4- 6. Probas et EDP
Un champ très actif dans les probabilités est l’étude des limites d’échelles de processus proba- bilistes, souvent décrites à l’aide d’EDP (“limites hydrodynamiques"). En voici un exemple en dimension1(généralisable à toute dimension), où seule la question1demande des connaissances probabilistes très élémentaires.
SoitN ∈N∗,h= N1. Sur l’intersection du réseau hZavec le segment]−1,1[on considère une particule P se déplaçant de la manière suivante (marche au hasard) : soit une suite de temps t0= 0< t1< t2 < . . .Si au tempstn, la particule P est en xi :=ih(i∈Z, |i|< N), elle saute au hasard à droite ou à gauche avec probabilités respectivespet q (p+q= 1), de sorte qu’au tempstn+1 elle est enxi−1 avec probabilitép, en xi+1 avec probabilité q.
Pourx∈hZ∩[−1,1], on noteuN(x)la probabilité de rencontrer la “frontière" gauche−1avant la frontière droite+1dans la marche au hasard, sachant qu’on se trouve enx.
(a) Montrer que, pourx∈hZ∩]−1,1[, on a
uN(x) =quN(x−h) +puN(x+h). (I.28) (b) Donner les valeurs deuN(x)pourx=±1.
On interpoleuN de manière affine et on fait l’hypothèse (H) suivante : il existe une fonction ude classeC2 sur [−1,1]telle queuN →uuniformément et assez rapidement sur[−1,1]
lorsqueN →+∞, au sens où
N→lim+∞N2∥uN −u∥C([−1,1])= 0. (I.29) (c) Montrer que, ainsi interpolée,uN vérifie l’équation (I.28) pour toutx∈]−1 +h,1−h[.
(d) Montrer queuest solution d’une certaine EDP sur ]−1,1[et vérifie certaines conditions au bord. On distinguera le cas symétrique (p=q= 12) du cas non-symétriquep̸=q).
(e) Déterminer udans le cas symétrique.
(f) Que dire de l’hypothèse (H) dans le cas non symétrique ? Qu’attend-t-on pourlimuN(x)? (g) On considère le cas “faiblement non symétrique" oùpetq dépendent deN avec
pN =1 2 + 1
N, qN =1 2 − 1
N. Montrer queuvérifie l’EDP
u′′+ 4u′= 0
avec conditions au bordu(−1) = 1,u(1) = 0et détermineru.
I-4- 7. Transport Optimal et équation de Monge-Ampère
Soit n≥1, soientf et g deux applications continues, positives (strictement), intégrables sur Rn d’intégrales 1. On note µet ν les mesures de probabilité de densité respectivesf et g par rapport à la mesure de Lebesgue :
µ(A) =
∫
A
f(x)dx, ν(A) =
∫
A
g(x)dx,
pour tout borélienAdeRn. SiT:Rn→Rnest borélienne, on dit queT transporteµsurνsiT∗µ=ν, i.e.
µ(T−1(A)) =ν(A), pour tout borélienAdeRn.
1. On suppose queT est unC1-difféomorphisme deRn. Montrer que siT transporteµsurν, alors, pour toutx∈Rn,
det(DT(x)) = f(x) g(T(x)).
2. Soitc une fonction Rn×Rn →R+ s’annulant précisément sur la diagonale. On définit le coùt d’une application transportT comme
∫
Rd
c(x, T(x))f(x)dx.
On considère maintenant l’application de transportoptimale qui minimise le coùt de transport.
Dans le cas où la distance c(x, y)est la distance euclidienne au carré entre xet y, le théorème de Brenier affirme que l’application transport optimaleT est le gradient d’une certaine fonction convexeu:Rn→R. En supposant urégulière etDuunC1-difféomorphisme, montrer que
det(D2u(x)) = f(x)
g(Du(x)), (I.30)
pour toutx∈Rn. L’équation (I.30) est une équation de type Monge-Ampère.
3. DéterminerT etudans les casg(x) =f(x+z)(z∈Rn fixé) etg(x) =λnf(λx)(λ >0fixé).
4. Ecrire l’équation (I.30) dans le cas où les fonctionsf,g,usont radiales. On supposeraDu(x)̸= 0 pour x̸= 0.
II. EDP linéaires du second ordre à coefficients constants
II-1. Solutions fondamentales de l’équation de Laplace On s’intéresse dans cette section à l’équation de Laplace :
−∆u=f (II.1)
les dérivées étant entendues au sens des distributions et f étant une fonction continue à support compact. Rappelons que si l’on dispose d’une distributionusolution fondamentale du laplacien, c’est- à -dire de
−∆u=δ0
on a accès grâce à la convolution des distributions à une solution de II.1, à savoiru∗f. Pour déterminer une telle solution fondamentale, remarquons que le laplacien est est un opérateur invariant par rotation, de même queδ0 vu comme distribution. Ceci nous incite à chercher la solution fondamentale sous la forme d’une fonction radiale, c’est-à-dire sous la forme Φ =φ(| · |). Alors en toutx̸= 0, l’hypothèse
∆Φ = 0s’écrit en coordonnées polaires
∆Φ(x) = (∂rr2φ+n−1
r ∂rφ)r=|x|= 0 On peut résoudre cette équation différentielle, et obtenir le résultat suivant :
Définition II.1.On définit surRn\{0} la fonctionΦ par Φ(x) :=− 1
2πln(||x||2)sin= 2 et
Φ(x) := 1
(n−2)Sn|x|n−2 sin >2 oùSn:= 2π
n 2
Γ(n2).Φ est lasolution fondamentale du laplacien.
LemmeII.1.La fonction Φprécédemment définie est bien solution fondamentale du laplacien au sens des distributions.
Démonstration du lemme.On ne traite que le casn= 3; le casn= 2se fait assez simplement et le casn >3se traite de manière similaire. Montrons donc que
∆ ( 1
|x| )
=−4πδ0
Déjà, pour |x| > 0, ∆ (1
|x|
)
= 0 au sens classique. Ainsi, ∆ (1
|x|
)
=∑
uαDαδ0 où les uα sont des coefficients réels et où la somme est finie3. Soit ensuitef ∈ D(R3). Alors
⟨∆ ( 1
|x| )
, f⟩=
∫
R3
∆f(x)
|x| dµ(n)(x)
= lim
ε→0
∫
|x|≥ε
∆f(x)
|x| dµ(n)(x) Définissons, pour ε > 0, Iε := ∫
|x|≥ε
∆f(x)
|x| dµ(n)(x). Calculons cette quantité grâce la formule de Green ; on supposesupp(f)⊆B(0, R). Alors la formule de Green apliquée àB(0, R)\B(0, ε)donne4
Iε=
∫
|x|=ε
{ 1
|x|·−y
|y| · ∇f(y) +f(y)· y
|y| · ∇ 1
|y| }
dS(y) →
ε→0−4πf(0)
3. On peut ici conclure grâce à la notion de degré d’homogénéité d’une distribution.
4. La formule de Green et les notions de mesure de surface sont rappelées dans la section suivante.
□
En effet :
∫
|x|=ε
y
|y|2 · ∇f(y)dS(y) ≤ 1
ε||∇f||∞
∫
|x|=ε
dS(y)
| {z }
=4πε2
ε→→00
et ∫
|x|=ε
− 1
|y|2f(x)dS(y) =−
∫
|x|=ε
1
|y|2(f(y)−f(0) +f(0))dS(y)
=−1 ε2
∫
|x|=ε
f(0)dS(y)
| {z }
=−4πf(0)
−
∫
|x|=ε
1
ε2(f(y)−f(0))dS(y)
| {z }
≤4πsup
|x|=ε||f(x)−f(0)||→0
Proposition II.1.Soitf ∈ Cc0(Rn). Soitu:Rn→Rdéfinie par u(x) :=
∫
Rn
f(y)Φ(x−y)dµ(n)(y) . Alorsuest continue et est solution de
−∆u=f au sens des distributions.
II-2. Mesure de surface et formule de Gauss SoitΩun ouvert borné deRn, n≥2 et soitk∈N∗.
Définition II.2.On dit que Ω est unouvert de classe Ck de Rn si pour tout x∈∂Ω il existe r >0etγ:Rn−1→Rde classeCktel que, après renumérotation des coordonnées et réordonnement des axes éventuels, on ait
Ω∩B(x, r) ={(x′, xn)∈Rn∩B(x, r), x′∈Rn−1, xn ∈R, xn< γ(x′)}
En d’autres termes, on demande que deux conditions soient vérifiées : que la frontière ∂Ω soit une sous-variété de classe Ck de Rn et queΩ soit localement d’un seul côté de Ω. Que veut-on dire par "après renumérotation des coordonnées" ? On veut pouvoir localement paramétrer le bord par un graphe, mais, dans le cas du cercle par exemple, au voisinage du point (1,0) le cercle ne peut pas s’écrire (x, f(x)).Et "après changement d’orientation des axes" ? Il se peut que l’intérieur soit paramétré par{xn> γ(x′)}, ce qui justifie ce choix.
. .
x
.
Ω .
graphe deγ
Cette définition nous permet de définir deux objets essentiels :
i) La normale unité sortante àΩ: C’est l’application suivante, définie en cartes locales et de classe Ck−1 :
ν :
∂Ω → Rn (x′, γ(x′)) 7→ √ 1
1+|∇γ(x′)|2
(−∇γ(x′) 1
)
Il est important de noter que sa définition ne dépend pas de la carte locale choisie.
ii) La mesure de surface sur∂Ω: C’est la mesureS sur∂Ωdéfinie localement par sonaction sur les fonctions à support compact, au sens où, pour toute fonctionφcontinue à support compact dans B(x, r)(oùrest choisi comme dans la définition), on définit
⟨S, φ⟩:=
∫
Rn−1
φ(x′, γ(x′))√
1 +|∇γ(x′)|2dx′
et cette définition est indépendante du choix de la carte locale. On obtient une mesure sur tout
∂Ωpar un argument de partition de l’unité.
On a alors la fameuseformule de Gauss:
Proposition II.2.SoitΩun ouvert borné de classeC1 deRn etF ∈ C1(Ω,Rn). Alors
∫
Ω
div(F)dµ(n)=
∫
∂Ω
F·νdS (II.2)
Démonstration de la proposition.Par partition de l’unité, on se ramène au cas de fonctions F telles que supp(F) ⊂ B(x, R), ensuite de quoi la démonstration se ramène à une application du théorème de Fubini.
□ On en tire la non moins fameuseformule de Green:
CorollaireII.1.Soientf, g∈ C2(Ω,R). Alors
∫
Ω
(f∆g−g∆f)dµ(n)=
∫
∂Ω
f ∂νg−g∂νf dS (II.3)
Démonstration du corollaire.Il suffit de remarquer que f∆g −g∆f = div(f∇g−g∇f) et d’appliquer la formule de Gauss.
□ Remarque.Ce résultat constitue également un petit miracle de la théorie toute aussi miraculeuse des distributions, puisqu’elle exprime la dérivée au sens des distributions deχΩ:
∇χΩ=−ν(·)S
Revenons à présent à la solution fondamentale du laplacien. L’hypothèse que f est à support compact n’est absolument pas minimale ; il suffit quef décroisse suffisamment rapidement à l’infini.
Par exemple, pour n≥3, l’expression a encore un sens pour f ∈C0(Rn)∩Lp(Rn)pour p∈[ 1;n2[
. L’important est que cette formule donnée par convolution ne donne pas toujours la solution si f ne décroît pas suffisamment vite.
Parlons ensuite de la régularité de u : la solution donnée par convolution donne-t-elle une fonction de classeC2? En général, non : la fonction obtenue est de classeC1, mais pasC2. En fait, les espaces Ck(Rn;R), longtemps considérés comme naturels pour l’étude des EDP y sont en fait très mal adaptés : les bons espaces de régularité sont les espaces de HölderCk,α(Rn;R)et les espaces de Sobolev.
Ensuite, a-t-on unicité de la solution ? Il est clair que non : il suffit d’ajouter à u n’importe quelle fonction harmonique, et l’on obtient une nouvelle solution. Étudions, pour aller plus loin dans cette étude, les propriétés des fonctions harmoniques, en commençant par le lemme de Liouville :
Lemme II.2.Soitv∈L∞(Rn)harmonique dans D′(Rn). Alorsv est constante.
Démonstration du lemme.Une fonction L∞ définit une distribution tempérée ; par transformée de Fourier, on a
F∆v= 0 Mais
F(−∆v)(ξ) =|ξ|2F(v)(ξ) et ainsi
supp(F(v))⊆ {0}
Ainsi,v est un polynôme, en passant parF. Commev est bornée,v est constante.
□ En conséquence de ce résultat, si n≥3 et sif ∈ Cc0(Rn;R)la solutionudonnée par convolution est l’unique solution de −∆u= f tendant vers 0 en +∞. Ce résultat reste vrai en dimension 2 si
∫f = 0.
II-3. Propriétés des fonctions harmoniques
Définition II.3.SoitΩun ouvert de Rn. Une fonctionv∈ C2(Ω) est dite harmonique dans Ω si∆v= 0dans Ω.
De même que les fonctions holomorphes (dont les parties réelles et imaginaires sont harmoniques), les fonctions harmoniques possèdent une structure extrêmement rigide, mais jouissent également de propriétés remarquables. Commençons par la formule de la moyenne :
Proposition II.3.SoitΩun ouvert de Rn etu∈ C2(Ω) harmonique dans Ω. Alors pour tout x∈Ω et toutr >0 tel queB(x, r)⊂Ω
u(x) = 1
|S(x, r)|
∫
S(x,r)
u(y)dS(y) (II.4)
= 1
|B(x, r)|
∫
B(x,r)
u(y)dµ(n)(y) (II.5)
Rappelons que|S(x, r)|=rn−1|S(0,1)|.
Démonstration de la proposition.Une fois la première formule établie, la deuxième en découle immédiatement, comme on va le voir. Définissons, pourx∈Ωetr >0 suffisamment petit
φ(r) := 1 rn−1|S(0,1)|
∫
S(x,r)
u(x)dS(x) Par le changement de variablex=ry, on obtient
φ(r) = 1
|S(0,1)|
∫
S(x,1)
φ(ry)dS(y) Dérivons cette expression :
φ′(r) = 1
|S(0,1)|
∫
S(x,1)
y· ∇u(ry)dS(y) Par la formule de Gauss, cette dernière expression se ramène à
φ′(r) = 1
|S(0,1)|
∫
B(x,1)
r∆u(rx)dµ(n)(x) = 0
caruest harmonique. Doncφest constante. Nécessairement, par continuité,φ(r) =u(x).
Pour établir la deuxième formule, on intègre sur les sphères :
∫
B(x,r)
u(y)dµ(n)(y) =
∫ r 0
(∫
S(x,s)
u(y)dS(y) )
ds
=
∫ r 0
(sn−1|S(0,1)|u(x)) ds
=u(x)rn|S(0,1)| n
=u(x)|B(x, r)|
□
