Limite Hydrodynamique

F×G

f(x)g(y) 1

(2πt)^3/2e^−|x−y|

2 2t dxdy ?

Remarque :l’inégalité de Varopoulos-Carne est vraie en toute dimension (mème preuve que ci-dessus, excepté qu’on emploie la formule de représentation ad hoc pourcos(t√

−∆)f).

II-7- 10. Propagation

1. Donner la solution fondamentale ψ(t, x)de l’équation

∂_tu−∆u=udans]0,+∞[×R. 2. Montrer que l’ensemble de niveau 1

{(t, x)∈]0,+∞[×R;ψ(t, x) = 1} est proche (un en sens qu’on précisera) des droites de propagation

D_±={(t, x)∈]0,+∞[×R;x=±2t} pourtgrand.

II-7- 11. Limite Hydrodynamique

SoitN ≥1. SoitR^N muni du produit scalairex·y. On note|x|la norme euclidienne associée. Pour t >0,x, y, v, w∈Rⁿ, On pose

D(t) = 1 2 (

1−e^−2t )

t−(1−e^−t)², A(t, x, v) = 1

D(t)

∫ t 0

|(1−e^−s)v−e^−sx|²ds et

G_t(x, v;y, w) = 1

(4π)^ND(t)^N/2exp [−1

4A(t, x−y−(1−e^−t)w, v−e^−tw) ]

. (II.40)

Onadmet⁸ queGt fournit la solution fondamentale de l’équation

∂_tf+v· ∇xf =Q(f), Q(f) := div_v(∇vf+vf), (II.41) au sens où, pour toutf_in∈L¹(R^N ×R^N)(“in" pour “initiale"), la fonction

f(t, x, v) :=

∫∫

R^N×Rⁿ

Gt(x, v;y, w)fin(y, w)dydw est l’unique fonction

f ∈C(R+;L¹(R^N ×R^N))∩C^∞(]0,+∞[×R^N×R^N), (II.42) satisfaisant (II.41) dans ]0,+∞[×R^N ×R^N et satisfaisant la condition initiale

limt→0∥f(t)−fin∥L¹(R^N×R^N)= 0. (II.43)

8. ce qui se montre par le calcul direct, mais c’est long, ou bien, plus directement, par l’interprétation probabiliste de l’équation (II.41)

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1. Pour ε >0, on pose

f^ε(t, x, v) =f(ε⁻²t, ε⁻¹x, v). (II.44) De quelle équationf^εest-elle solution ?

2. On note M(lettreMpour “Maxwellienne", mais c’est aussi la gaussienne) la fonction M(v) = 1

(2π)^N/2e^−|v|

2 2 . Montrer que

εlim→0

1 ε^N

∫

R^N

G_ε−2t(ε⁻¹x, v;ε⁻¹y, w)M(w)dw= Φt(x−y)M(v), (II.45) oùΦ_t est le noyau de la chaleur surR^N.

3. Soitρ_in∈L¹(R^N)∩C_b(R^N). Soit

f_in(x, v) =ρ_in(εx)M(v).

Montrer que, pour toutt >0, pour toutx, v∈R^N,

εlim→0f^ε(t, x, v) =ρ(t, x)M(v), (II.46) oùρest la solution d’un problème que l’on précisera.

Remarque : l’équation (II.41) est une équation dite cinétique. Elle résulte d’une description statis-tique de la matière, à une échelle intermédiaire, dite mésoscopique, entre l’échelle moléculaire (descrip-tion microscopique) et l’échelle dite fluide (descrip(descrip-tion macroscopique). L’équa(descrip-tion de Boltzmann est probablement la plus célèbre des équations cinétiques. Ici, (II.41) est l’équation dite de Fokker-Planck.

La limite (II.46), qui établit un lien (après remise à l’échelle) entre la description mésoscopique et la description macroscopique est un exemple de limite hydrodynamique.

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III. Opérateurs différentiels-Régularité elliptique-Propagation des singularités

III-1. Définitions générales

Dans toute la suite, Ωdésignera un ouvert deRⁿ. Soit m∈N^∗. On appelleopérateur différentiel d’orde mun opérateur de la forme

L= ∑

|α|≤m

a_α(·)D^α où :

• D = ¹_i∇ (le facteur renormalisant permet d’avoir des expressions plus esthétiques une fois les équations fourierisées), et donc pour tout multi-indiceα∈Nⁿ tel que|α| ≤m D^α= _i|α|¹ ∂_x^α1

1 . . . ∂^α_xⁿ

n.

• Pour tout multi-indice α ∈ Nⁿ, aα : Ω → C est une fonction régulière. On appelle les aα les coefficients de Let on suppose qu’il existeαtel que|α|=metaα̸≡0.

DéfinitionIII.1. Avec les notations ci-dessus, on appellesymboledeLla fonctionσ: Ω×Rⁿ →C définie par

∀x∈Ω, ∀ξ∈Rⁿ, σ(x, ξ) := ∑

|α|≤m

aα(x)ξ^α On apellesymbole principal de L la fonctionσm: Ω×Rⁿ →Cdéfinie par

∀x∈Ω, ∀ξ∈Rⁿ, σm(x, ξ) := ∑

|α|=m

aα(x)ξ^α

Si f ∈ Cc^∞(Ω), on a donc

∀x∈Ω, (Lf)(x) = ∑

|α|≤m

aα(x)(D^αf)(x)

= ∑

|α|≤m

aα(x) (2π)ⁿ

∫

Rⁿ

D[^αf(ξ)e^iξ·xdµ⁽ⁿ⁾(ξ)

= 1

(2π)ⁿ

∫

Rⁿ

σ(x, ξ) ˆf(ξ)e^iξ·xdµ⁽ⁿ⁾(ξ)

Remarquons que cette formule permet d’associer un opérateurLà tout symboleσnon nécessairement polynômial. Il s’agit de ce que l’on appelle les opérateurs pseudo-différentiels. Par ailleurs, siLest à coefficients constants, alorsσ(x, ξ) =σ(ξ)avec un abus de notations et alors

(Lf[)(ξ) =σ(ξ) ˆf(ξ)

DéfinitionIII.2.Un opérateur différentiel Lest dit :

• Elliptique enx∈Ωsi pour toutξ̸= 0 σm(x, ξ)̸= 0.

• Elliptique s’il est elliptique en tout x∈Ω.

• Uniformément elliptique surΩsi inf

x∈Ω inf

ξ∈S(0,1)σm(x, ξ)>0.

Exemple 1.• L=−∆, de symbole principal σ2(ξ) =|ξ|², est uniformément elliptique.

• L=∂t−∆x de symboleσ(ξ0, ξ1, . . . , ξn) =iξ0+∑

i=1,...,n|ξi|²et de symbole principal σ2(ξ0,ξ) =˜

|ξ˜|² n’est pas elliptique.

• L=∂_tt² −∆xde symbole principaleσ2(ξ) =−ξ0+|ξ˜|²n’est pas elliptique.

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III-2. EDP elliptiques d’ordre 2-Existence de solutions faibles

Cette expression est dite sous forme divergence. On peut le mettre sous une autre forme : Lu=−

Attention, lesbⁱsont différents dans cette seconde expression ! On suppose que les matrices(a^i,j(x))i,j∈Nn

sont symétriques en toutx∈Ω. Le symbole principal d’un tel opérateur est alors σ2(x, ξ) =

∑n i,j=1

a^i,j(x)ξiξj

En notant A(x) := (a^i,j(x))_i,j∈Nn on voit donc que L est elliptique si et seulement si A est définie positive ou définie négative. On suppose dans toute la suite queLest uniformément elliptique, i.e

∃θ >0, ∀ξ∈Rⁿ, ∀x∈Ω,

∑n i,j=1

a^i,j(x)ξiξj ≥θ|ξ|²

On fixe un tel θ. Supposons à présent que Ω est borné et régulier. Soit par exemple f ∈ C⁰(Ω) et supposons queu∈ C²(Ω)est solution du problème de Dirichlet pourL:

{ Lu = f dansΩ

On voit apparaître une forme bilinéaire, qui va nous mener sur la piste des solutions faibles : DéfinitionIII.3.La forme bilinéaire associée à Lest B définie surH¹(Ω)×H¹(Ω) par

Supposons les a^i,j, les bⁱ et c continus borné sur Ω. La forme bilinéaire B vérifie alors plusieurs propriétés :

Proposition III.1.Il existe α, β >0 etγ≥0tels que :

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1. B est continue sur H¹(Ω)×H¹(Ω) :∀u, v∈H¹(Ω),|B(u, v)| ≤α||u||H¹· ||v||H¹. 2. B+γ est coercive surH₀¹(Ω) :∀u∈H₀¹(Ω), β||u||²_H1

0 ≤B(u, u) +γ||u||²L².

Démonstration de la proposition.Pour le premier point, les hpothèses de continuité et de bor-nitude desa^i,j, bⁱ et decnous permettent d’assurer l’existence deA, B, C >0telles que la première inégalité ci-dessous soit satisfaite. Alors, en utilisant la convention d’Einstein, on peut écrire la suite d’inégalités suivante : pour tout u, v∈H¹(Ω), on a, en notantα:= sup(A, B, C)

où le passage de la première à la deuxième ligne se fait en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Le deuxième point est plus délicat à démontrer ; on va également faire usage de l’inégalité de Young :

∀a, b≥0, ∀ε >0, ab≤ ε 2a²+ 1

2εb²

Nous aurons également à utiliser l’inégalité de Poincaré, qui stipule que dans le cas d’un ouvert Ω borné dans une direction, il existe une constanteC(Ω)>0 telle que

∀u∈H₀¹(Ω), ||u||L²(Ω)≤C(Ω)||∇u||L²(Ω)

Déjà, par uniforme ellipticité de l’opérateurL, on a l’inégalité

∫

Par ailleurs, par l’inégalité de Poincaré, pour tout u∈H₀¹(Ω)

||u||²H¹ ≤D||∇u||²L²

oùD est une constante positive. On obtient bien la coercivité voulue.

□ Pour obtenir l’existence de solutions faibles, il nous suffit ensuite de mettre en branle la machine

"analyse fonctionnelle" :

Théorème III.1.Soit Ω un ouvert borné régulier de Rⁿ et L un opérateur elliptique d’ordre 2.

Alors pour tout µ≥γ et toutf ∈L²(Ω), le problème de Dirichlet { (L+µ)u = f dans Ω

u = 0 sur ∂Ω (III.2)

(on note le problème D_µ) admet une unique solution faible u∈H₀¹(Ω).

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Démonstration du théorème. La formulation faible deDµ est

∀v∈H₀¹(Ω), Bµ(u, v) = (f|v)_L2

où Bµ est la forme bilinéaire associée à(L+µId). Bµ est une forme bilinéaire, continue et coercive surH₀¹(Ω). Par le théorème de Lax-Milgram, il existe un uniqueu∈H₀¹(Ω)qui soit solution faible de (Dµ).

□ Remarque.Dès queµ > γ,B_µ est coercive sur toutH¹(Ω) et l’on peut donc appliquer le théorème de Lax-Milgram surH¹(Ω), mais leu∈H¹(Ω)solution de

∀v∈H¹(Ω), B_µ(u, v) = (f|v)_L2

est une solution faible d’un problème de type Neumann :

{ Lu = f dansΩ a^i,j(∂iu)nj = 0 sur∂Ω

Que dire du µ qui intervient dans le théorème ? Est-il vraiment nécessaire ? La raison derrière l’in-troduction d’un tel µ≥0est que La des valeurs propres, et qu’il se peut que(L−λ)u= 0 ait des solutions non triviales. Le µpermet d’éviter ces valeurs propres. Développons cela dans le cas oùL est un opérateur symétrique, au sens suivant : l’adjoint formel L^∗ deLest défini comme suit :

L^∗v=−∑

i,j

∂i(a^i,j∂jv)−∑

i

bⁱ∂iv+ (

c−∑

i

∂ibⁱ )

v

La forme bilinéaire associée est alorsB^∗, qui vérifie

∀u, v∈H¹(Ω), B^∗(v, u) =B(u, v)

Définition III.5.L’opérateur L est dit symétrique si L^∗ =L (ce qui implique B^∗ =B), ce qui revient à demander :

i) ∀i, j∈Nn,a^i,j=a^j,i ii) ∀i∈Nⁿ, bⁱ= 0

Proposition III.2.Supposons queL soit symétrique. Alors

• Il existe Σ ⊆ R au plus dénombrable tel que pour tout λ ∈ R\Σ le problème de Dirichlet (Dλ) admette une unique solution faible.

• En choisit une numérotation de Σde la forme suivante :Σ ={λ_k}k∈N,−γ < λ₁≤ · · · ≤λ_n→ ∞. En outre, lesλk sont des valeurs propres deL, et on peut choisir les fonctions propres associéesφk

de sorte que (φk)k∈N forme une base orthonormée deL²(Ω).

Pour montrer ce résultat, qui rappelle fortement les résultats de théorie spectrale, on va passer par l’inverse deLqui sera lui borné, auto-adjoint et compact.

Démonstration de la proposition. On a déjà démontré que pour toutf ∈L²(Ω), le problème de Dirichlet (Dγ)admet une unique solution faible uf ∈H₀¹(Ω). Notons K l’opérateur défini deL²(Ω) dans L²(Ω)parK(f) =uf. Alors K est un opérateur borné deL²(Ω) dansH₀¹(Ω), de borne ¹_β : en effet, on a déjà vu que

β||u||²H¹(Ω)≤B_γ(u, u) = (f|u)_L2(Ω)≤ ||f||L²||u||H¹

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K est un opérateur symétrique : pour toutf, g∈L²(Ω), siu=Kf et si v=Kg, on a B_γ(Kf, Kg) = (f|Kg)_L2 =B_γ(v, u) = (Kf|g)_L2

Enfin, K est un opérateur compact : ceci est une conséquence du théorème de Rellich-Kondrachov (comme K est continue de L²(Ω) dans H₀¹(Ω) et que l’injection H₀¹(Ω) ,→ L²(Ω) est compacte, la composée deK par cette injection est compacte). Remarquons enfin queker(K) ={0}.

La théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints assure l’existence d’une suite (µ_k)_k∈N de réels non nuls qui tend vers 0 de valeurs propres, de fonctions propres associées φ_k ∈L²(Ω), et ces fonctions propres forment une base orthonormée de L²(Ω). En fait, commeIm(K)⊆H₀¹(Ω), lesφk sont des éléments deH₀¹(Ω).

Remarquons à présent queuest une solution faible deLu=λu+f si et seulement siuest une solution faible de

{ (L+γ)u = (γ+λ)u+f dansΩ

u = 0 sur∂Ω Ensuite, en posantλk :=−γ+µ⁻_k¹, on obtient le résultat voulu.

□ On vient de voir un exemple d’opérateur à résolvante compacte ; Dans un domaine borné, la résolvante d’un opérateur différentiel est facilement compacte (c’est un peu le même phénomène qu’avec les opé-rateurs intégraux). Si l’opérateurL n’est pas symétrique, ses valeurs propres peuvent être complexes (etℜ(λk)→+∞, le raisonnement tient toujours), mais il faut avoir d’autres arguments pour montrer que les φk forment une base hilbertienne deL²(Ω).

On peut montrer que λ1, la plus petite valeur propre deL, en est toujours une valeur propre simple et que la fonction propre associée garde un signe constant sur ΩsiΩest connexe. Par exemple, dans le cas Ω =]0;π[ et L =−_∂^∂2²x, φ_k(x) = sin(kx)et on peut étudier les zéros des φ_k. Ce domaine est appelé étude des ensembles nodaux.

L’existence d’une base hilbertienne de fonctions propres deLest à la base de la méthode de séparation des variables, utilisée pour résoudre des problèmes d’évolution. Par exemple, la solution générale de

−∂tu=LusurΩ,u= 0sur∂Ωest, formellement : u(x, t) =∑

k≥1

c_ke^−λktφ_k(x)

III-3. Équations elliptiques d’ordre 2-Résultats de régularité III-3- 1. Rappels sur les quotients différentiels

SoitΩun ouvert régulier deRⁿ,V ⊂⊂Ω(i.eV est compact inclus dansΩ). Soitδ:=dist(V, ∂Ω)>0.

Si u: Ω→C, sik∈Nn et sih∈R vérifie0<|h|< δ, on définit lek-ième quotient différentiel de u surV par

D_k^hu(x) :=u(x+he_k)−u(x) h

Alors, au sens des distributions,D_k^hu−→

h→0∂ku. On a également la proposition suivante : Proposition III.3.Siu∈H¹(Ω), alors il existeC >0 tel que

∀h,0<|h|< δ

2, ||D^hu||L²(V)≤C||∇u||L²(Ω)

Réciproquement, siu∈L²(Ω) et qu’il existe une constanteC >0telle que

∀h,0<|h|< δ

2, ||D^hu||L²(V)≤C alorsu∈H¹(V)et ||∇u||L²(Ω)≤C.

La démonstration est laissée à titre d’exercice.

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III-3- 2. Régularité intérieure

Théorème III.2.Les coefficients de L étant supposés continus bornés et les a^i,j étant de plus supposés appartenir à C_b¹, si f ∈L²(Ω)et siu∈H¹(Ω) est solution deLu=f alorsu∈H_loc² (Ω) et pour tout ouvert V ⊂⊂Ω, il existe C >0, C =C(Ω, V, L)tel que

||u||H²(V)≤C(||f||L²(Ω)+||u||L²(Ω))

Avant de se lancer dans la démonstration, rappelons la formule de Leibniz pour les quotients différen-tiels : en notant f^h(x) :=f(x+he_k)on a

Pourquoi ? Parce que l’on aurait envie d’appliquer notre identité àv=−∂_kk² u. Si on le fait directement, l’hypothèse d’ellipticité uniforme aurait pu nous permettre de conclure. Cependant, rien ne garantit que ces dérivées soient bienL². Lançons nous dans les calculs :

− Ceci termine l’étude du membre de gauche de III.3.Remarquons que

∫

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Le membre de droite devient donc :

∫

Ω

f v˜ ≤C4

∫

Ω

(|f|+|∇u|+|u|)|v|

≤ θ 4

∫

Ω

ξ²|D^h_ku|²+C5

∫

Ω

(|f|²+|∇u|²+|u|²) Finalement, en identifiant les deux membres :

θ 4

∫

V

|D_k^h(∇u)|²≤ θ 4

∫

Ω

ξ²|D_k^hu|²≤C6

∫

Ω

(|f|²+|∇u|²+|u|²)

Par conséquent, ∇u∈H¹(V), doncu∈H²(V)et||u||H²(V)≤C7(||f||L²+||u||H¹): ceci découle de la proposition III.3.

□ Remarquons que le théorème implique en particulier que

Lu(x) =f(x)

pour presque tout x ∈Ω, et donc Lu∈ L²(Ω). Par ailleurs, on peut obtenir une régularité d’ordre plus élevé : en dérivant l’équation et en procédant par induction, on peut montrer le résultat suivant :

Si les coefficients a^i,j, bⁱ et c sont dansC^m+1(Ω), si f ∈H^m(Ω), oùm est un entier naturel, si u∈H₀¹(Ω)est solution faible du problème de Dirichlet associé àL, alorsu∈H_loc^m+2(Ω)et il existe C >0 ne dépendant que deL,Ωet demtel que pour toutV ⊂⊂Ω, on a

||u||H^m+2(V)≤C(||f||H^m(V)+||u||L²(Ω))

En particulier, si les coefficients de Let f sont de classeC^∞, alors toute solution faible du problème de Dirichlet associé àL est de classeC^∞ et vérifieLu=f au sens classique. On voit donc que pour tout V ⊂⊂Ω, sif ∈ C^∞(V), alorsu∈ C^∞(V): Lest donc un opérateur hypoelliptique.

Mais que se passe-t-il au niveau du bord deΩ? Nous allons énoncer un théorème dont la démonstration ne sera qu’esquissée dans ces notes de cours :

Théorème III.3.Supposons que Ω soit un ouvert borné de classe C² deRⁿ et soit f ∈ L²(Ω).

Supposons que les coefficients de L vérifient a^i,j ∈ C¹(Ω), bⁱ ∈ C⁰(Ω), c ∈ C⁰(Ω). Il existe C > 0 tel que si u∈H₀¹(Ω) est solution faible de

Lu=f dansΩ, u= 0sur ∂Ω alors

||u||H²(Ω)≤C(||f||L²(Ω)+||u||L²(Ω))

Remarquons que si uest l’unique solution faible du probème, c’est-à -dire si 0 n’est pas valeur propre deL, alors

||u||H²(Ω)≤C||f||L²(Ω)

Démonstration du théorème. (Esquisse) Qu’est-ce qui coince dans la démonstration précédente ? Ce sont les quotients différentiels : pour pouvoir les utiliser, il faut avoir un minimum d’espace.

Dans cette preuve, afin de simplifier, on ne considérera que le cas où Ωest une demi-boule, i.e Ω =

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B(0,1)∩Rⁿ+ (et on oublie les histoires de régularité de la frontière). Travaillons au voisinage d’un point du bord en lequel le bord est plat, disons par exemple au voisinage de l’origine. En répétant la démonstration du théorème précédent avec les quotients différentiels D^h_k, pourk∈Nn−1, on montre que surV =B(0,¹₂)∩Rⁿ+ on a les estimées suivantes :

||∂k∇u||L²(V)≤C(||f||L²(Ω)+||u||L²(Ω)), k = 0, . . . , n−1

Il nous reste donc à contrôler∂²_nu, ce qui se fait en utilisant directement l’équation : presque partout, Lu(x) =f(x), i.e

µ⁽ⁿ⁾−pp, a^i,j(x)∂_i∂_ju(x) =g(x) oùg=−f+cu+∑

i

( bⁱ−∑

j∂_j(a^i,j) )

∂_iu∈L²(Ω). Remarquons à présent que par uniforme ellipticité a^n,n est uniformément minorée parθ >0. Ainsi

∂_n²u(x) = −1 a^n,n(x)



 ∑

i+j<2n

a^i,j(x)∂i∂ju(x)−g(x)





Donc∂_n²u∈L²(Ω)et, qui plus est,

||u||H²(V)≤C(

||f||L²(Ω)+||u||L²(Ω)

)

Pour passer au cas général, on redresse le bord en un bord plat, localement, et on utilise le lemme de Borel-Lebesgue. Les détails se trouvent dans le livre de Gilberg et Trudinger.

□ Remarquons que l’on peut également faire cela en régularité supérieure : si∂Ωest de classeC^m+2, si les coefficients de Lsont de classeC^m+1(Ω) et sif ∈H^m(Ω), alors toute solution faible du problème Lu=f vérifieu∈H^m+2(Ω)et, par ailleurs, on a l’inégalité suivante :

||u||H^m+2(Ω)≤C(

||f||H^m(Ω)+||u||L²(Ω)

)

III-3- 3. Principes du maximum

On va voir ici que le comportement diffère de celui du laplacien ; il nous sera ici utile d’écrire l’opérateur L sous une forme non divergence :

L=−( a^i,j∂i∂j

)+( bⁱ∂i

)+c

On suppose ici encore notre opérateur uniformément elliptique, toujours avec une constante d’uniforme ellipticité θ >0. De même, Ωdésigne toujours ici un ouvert borné régulier deRⁿ. On va distinguer trois cas :

Le cas c≡0 On a alors la proposition suivante :

Proposition III.4.On suppose queu∈ C²(Ω)∩ C⁰(Ω) vérifieLu≤0 dansΩ. Alors : i) Principe du maximum faible :max

Ω

u= max

∂Ω u.

ii) Principe du maximum fort : Si uatteint son maximum en x0 ∈ Ω et siΩ est connexe, alors u est constante.

iii) Lemme de Hopf : S’il existex0∈∂Ωtel que pour toutx∈Ωu(x0)> u(x), alors ^∂u_∂ν(x0)>0.

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Démonstration de la proposition.On ne fait ici qu’esquisser la preuve du principe du maximum faible (rajouter les autres ?) : ici, il n’y a plus la formule de la moyenne, qui nous avait tant aidé pour le principe du maximum dans le cas du laplacien. Si uatteint son maximum sur Ωenx0 ∈Ω, alors H(x0) :=Hess(u)x₀ est semi-définie négative et∇u(x0) = 0. En notant A:=(

a^i,j)

i,j∈Nn, qui est une matrice définie positive, on a

Lu(x₀) =−tr(AH) =−tr (

A¹²HA¹² )≥0

Donc si Lu <0 dansΩ,uatteint son maximum sur∂Ω, où ε >0 est arbitraire etλdoit être choisi assez grand. Dans le cas général, on applique le résultat précédent à u^ε:=u+εa^λx1 où λet εsont choisis de sorte queLu^ε vérifie l’inégalité stricte. On conclut de la même manière que dans le cas du laplacien.

Le principe du maximum fort demande des modifications plus subtiles.

□ Le cas c≥0 On a la proposition suivante :

Proposition III.5.On suppose queu∈ C²(Ω)∩ C⁰(Ω) vérifieLu≤0 dansΩ. Alors : i) Principe du maximum faible :max

Ω

u= max

∂Ω u⁺, oùu⁺:= max(u,0).

ii) Principe du maximum fort : Si uatteint son maximum enx0∈Ω, si ce maximum est positif ou nul et si Ωest connexe, alorsuest constante.

iii) Lemme de Hopf : S’il existex0∈∂Ωtel que queu(x0)≥0et que u(x0)> u(x)pour toutx∈Ω, alors ^∂u_∂ν(x₀)>0.

Les conditions de positivité du maximum sont essentielles : par exemple, dans le cadre unidimensionnel, disons avecL:=−∂²_xx+ 1surR, avecu=−(

1 + ^x₃² )

,Lu(x) =−(

1 3+^x₃²

)

<0, mais le principe du maximum faible est archi-faux pourΩ :=]−1; 1[et le lemme de Hopf est faux surΩ :=]0; 1[.

Le cas c≤0 On ne peut espérer aucun principe du maximum : les termes entrent tous en compé-tition. Par exemple, soitc∈R₋ tel que0soit valeur propre deL. Alors il existeu∈H₀¹(Ω) non nul tel que Lu= 0, ce qui contredit le principe du maximum.

III-4. Opérateurs linéaires hyperboliques et propagation III-4- 1. Définitions et exemples

SoitΩun ouvert deRⁿ. On considère l’opérateur différentiel d’ordrem L= ∑

|α|≤m

aα(·)D^α

Définition III.6.On appelle variété caractéristique de L le sous-ensemble de Ω×Rⁿ défini par

Car(L) :={(x, ξ)∈Ω×Rⁿ, σm(x, ξ) = 0} (III.4) oùσm désigne le symbole principal deL.

Par définition, Lest elliptique si et seulement si Car(L) = Ω× {0}. En fait, Car(L) est une variété projective lisse. Demander qu’un opérateur différentiel L soit hyperbolique, c’est, heuristiquement, demander queCar(L)soit aussi grand que possible, comme le précise la définition suivante :

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Définition III.7.Soitη ∈ Rⁿ et soit x∈Ω. On dit que L est hyperbolique au point x dans la direction η si les conditions suivantes sont vérifiées :

• σ_m(x, η)̸= 0(on dit queη n’est pas une direction caractéristique)

• Pour toutξ∈Rⁿ, les racines de l’équation polynômiale enλ σ_m(x, ξ+λη) = 0 sont toutes réelles.

On dit que Lest strictement hyperbolique au point x dans la direction η si les conditions suivantes sont vérifiées :

• σ_m(x, η)̸= 0

• Pour toutξ∈Rⁿ non colinéaire àη, les racines de l’équation polynômiale enλ σ_m(x, ξ+λη) = 0

sont toutes réelles et distinctes.

Remarquons que la variété caractéristique d’un opérateur hyperbolique n’est jamais triviale (c’est-à-dire qu’elle n’est jamais réduite àΩ× {0}). Afin d’illustrer cette définition remarquablement obscure, étudions quelques exemples :

Équation des ondes à coefficients variables: On considère, dansRⁿ⁺¹, l’opérateur différentiel L:=∂_tt² −a^i,j(t, x)∂i∂j

où lesa^i,j :R×Rⁿsont des fonctions fixées. On note(t, x)les coordonnées en espace-temps et(−ω, k) les coordonnés en Fourier (i. e ξ = (−ω, k)). Que signifierait la phrase "L est hyperbolique dans la direction du temps" (i.e dans la direction η = (1,0, . . . ,0)) ? Calculons le symbole principal de cet opérateure :

σ2((t, x),(−ω, k)) =−ω²+a^i,j(t, x)kikj

Déjà, la direction temporelle n’est pas caractéristique : en effet, on a σ₂((t, x), η) =−1

et ce pour tout(t, x)∈Rⁿ⁺¹. La deuxième condition d’hyperbolicité, il faut que pour tout(−ω, k)les racines du polynômeλ7→ −(ω+λ)²+a^i,j(t, x)kikjsoient réelles. En d’autres termes, après translations, il faut que les racines de λ7→ −λ²+a^i,j(t, x)k_ik_j. On en déduit donc que Lest hyperbolique (dans la direction η) si et seulement si la matrice A:= (a^i,j)_i,j∈Nn est en tout point semi-définie positive, et queLest strictement hyperbolique (dans la directionη) si et seulement si la matriceAest en tout point définie positive.

Système d’équations hyperboliques: Il arrive régulièrement de tomber sur des sytèmes hyperbo-liques d’ordre 1, c’est-à-dire que l’on ait à considèrer un système d’EDP de la forme suivante :

Lu:=∂tu(t, x) +

∑n j=1

Aj(t, x)∂ju(t, x) = 0 (III.5) oùu:R×Rⁿ→R^N et où lesAj sont des matrices deMN(R). Le symbole principal de cet opérateur est alors à valeurs matricielles :

σ1((t, x),(−ω, k)) =i



−ωIN+

∑n j=1

Aj(t, x)kj



∈MN(C)

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et la variété caractéristique est alors définie par

Car(L) :={((t, x),(−ω, k))∈(R×Rⁿ)×(R×Rⁿ), det(σ1((t, x)(−ω, k)) = 0}

On en déduit donc queLest hyperbolique (dans la directionη) si et seulement si la matriceA(t, x, k) :=

∑

jAj(t, x)kj a toutes ses valeurs propres réelles et que L est strictement hyperbolique (dans la direction η) si et seulement si la matrice A a toutes ses valeurs propres réelles distinctes si k ̸= 0.

En particulier, L est hyperbolique si toutes les matricesAj(t, x)sont symétriques ; on parle alors de système hyperbolique symétrique.

III-4- 2. Exemples de solution : propagation

Ondes planes : Soit L un opérateur différentiel à coefficients constants dans Rⁿ⁺¹. Par abus de notation, on notera doncσ(−ω, k)pour σ((t, x),(−ω, k)). On définit alors

V :={(−ω, k)∈R×Rⁿ, σ(−ω, k) = 0}

Notons qu’en généralV ̸=Car(L). Par railleurs, si(−ω, k)∈V, alors la fonctionu(t, x) :=e^{i(k·x−ωt)} est solution de Lu= 0. On dit queuest une onde plane de vecteur d’ondesk ∈Rⁿ et de pulsation ω. Si k ̸= 0, cette onde se propage dans la direction k à la vitesse de phase vφ := _|^ω_k|. L’équation σ(−ω, k) = 0s’appelle relation de dispersion.

Maintenant, quel est le lien avec un problème de Cauchy bien posé ? Pour simplifier, supposons que Lsoit homogène de degré 2 et strictement hyperbolique dans la direction temporelle. Alors, si k̸= 0, comme(0, k)n’est pas colinéaire àη= (1,0, . . . ,0)l’équation polynômiale enω

σ2(−ω, k) = 0

admet deux solutions distinctes ω1(k) et ω2(k). Cherchons alors une solution de l’équation Lu = 0 sous la forme

u(t, x) :=

∫

R

(

a₁(k)e^{i(k·x−ω1(k)t)}+a₂(k)e^{i(k·x−ω2(k)t)} )

dµ⁽ⁿ⁾(k)

où a1 et a2 sont dans la classe de Schwarz S(Rⁿ). Soient u0, v0 ∈ S(Rⁿ). On impose les conditions initialesu(0, x) :=u0(x)et∂tu(0, x) :=v0(x). En rassemblant toutes ces hypothèses, on aboutit donc au système suivant :

{ a₁(k) +a₂(k) = uˆ₀(k) ω₁(k)a₁(k) +ω₂(k)a₂(k) = ivˆ₀(k) Posons alors A :=

( 1 1 ω1(k) ω2(k)

)

Si det(A)̸= 0 alors le système ci-desus est inversible, ce qui est le cas dès que l’on a hyperbolicité stricte : en somme, demander de l’hyperbolicité, c’est demander suffisamment d’ondes planes pour les construire les solutions.

Optique géométrique: Commençons par énoncer un principe général pour les opérateurs hyperbo-liques à coefficients non constants : la variété caractéristique détermine la propagation des singularités de l’équationLu= 0. Si l’on a des singularités, la transformée de Fourier va contenir de très grands modes. Tentons de chercher des solutions de l’équation Lu= 0sous la forme

u(t, x) :=e^iεψ(t,x)Aε(t, x) (III.6) oùεest un petit paramètre et oùψetAεsont des fonctions régulières. Pourquoi chercher une solution sous cette forme ? Cela vient de l’optique géométrique, et de la volonté d’unifier théorie et pratique : en pratique, on voit des rayons lumineux, tandis que les équations de Maxwell font apparaître des ondes planes, mais pas des rayons lumineux. L’idée, c’est que la longueur d’onde caractéristique de la lumière est très faible ; on cherche donc une fonction fortement oscillante multipliée par une amplitude.

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Choisirψconstante n’aurait pas grand intérêt. Siψest linéaire, on cherche donc simplement une onde plane à haute fréquence, mais il peut parfois être utile de travailler avec une fonctionψ non linéaire.

Pour se fixer les idées, soit Ll’opérateur défini dansRⁿ⁺¹ par L:=∂_tt² −a^i,j(·,·)∂_i∂_j

qui sera de plus supposé symétrique. De ceci on tire le symbole principal deL: σ₂((t, x),(−ω, k)) =−ω²+a^i,j(t, x)k_ik_j

Peut-on obtenir des solutions de la forme III.6 ? Injectons III.6 dans l’équation Lu= 0. On obtient

Peut-on obtenir des solutions de la forme III.6 ? Injectons III.6 dans l’équation Lu= 0. On obtient

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