A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.
F. D
IDONSur une équation aux dérivées partielles
Annales scientifiques de l’É.N.S. 1resérie, tome 6 (1869), p. 377-380
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SUR UNE ÉQUATION
AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
PAR M. DIDON,
D O C T E U R E S S C I E N C E S .
On connaît le rôle important que joue dans là théorie des fonctions de Laplace l'équation aux dérivées partielles de Legendre
. ' d F . d z " } d i ,dz\
1 —— ' — ^ T- + —— ^ —— = 0,
ax[_ u x} .da\ dccj
qui admet pour solution l'expression (i — 2ixsc+ a2)"^; mais je ne sa- che pasqu^on ait donné d'autres solutions de cette équation. On peut, cependant, en trouver facilement de très-générales de la manière sui- vante. Si l'on cherche à satisfaire à l'équation ( i ) par l'expression
( 2 ) 2 = : K o ( ^ ) -+-aB, ( ^ ) 4 ~ . ..-4- a"R«(.r)^-.. ..,
on voit de suite que B^(<x?) doit vérifier l'équation différentielle
( 3 ) ^^^^)(^lj+^(^+ï)B,(^)=o,
dont l'intégrale complète est
E,(^)==C.X;(^)+C^Q«(^),
C^ et ( f ê t a n t des constantes quelconques, X^(.r) la fonction X^ de
AnnaUs scientifiques de V École 'Normale supérieure. Tome VI. 4^
3 7 8 SUR ÏJJNE ÉQUATION
r
4"
Ix^ ( / ) ^
Lcgendre, et Q^ (.r) représentant l'expression y i.,ii~A— parconse-
,7—1 -;r £
quent, la quantité
( 4 ) s--=2C«^X«+IC;,ûc"Q«(^},
dans laquelle les sommations peuvent s'étendre de n == o à n = -+- x; , est une solution de l'équation ( i ) . Cette quantité se réduit, dans le cas /ni les C sont tous égaux a i , et où les C sont nuls, à
( Ï — 1 C^SC -h C^ Y 'î == »,
et, dans le cas, au contraire, où les C sont égeux et où les C sont n u l s , elle se réduit, à un facteur constant près, à
' (x — a)r/) 4- r , 5 , M 1 og ——————— ?
°(.r — a)&) — i
expression qui est la fonction génératrice des fonctions Q,/ f.-r). En ef- fet, dans la dernière hypothèse, on a
lc„."Q4.)=c'r-
J _ î 3C — t </^i X '— t12a " x ^</^c' r 1 ^^-^^ '
et il suffit de calculer l'inlégrale précédente pour retrouver l'expres- sion (5) donnée plus haut. Mais on peut effectuer les deux sommations qui entrent dans l'expression ( 4 ) de -s, même dans le cas où les C et les (7 sont quelconques. Pour cela, on n'a qu'à employer la formule de Laplace
y /*•;" , ,___
• X«(^)=~- / ( ^ — c o s ^ V ^ — i f r f y ,
^Jo
qui donne
.SC,a"Xn(^)= - j ÏCn{!XX — acosy(/r2-— î'fd^
'ÎT e7 0
{
rr . 1 ^ • ^ ____ ' != 9 ( a . r — a C O S ç V ^2— r } r f ©
A U X DERIVEES PARTIELLES. ' 379
/T»-+-I /^ ^TT ______
IX^a" Q,i(.r)=-= ,( — — — ( ^ [ai — aCOSîp v - ^ — ï ) ^ 9 » 7—i <y — Vo
où les fonctions y et ^ ne sont assujetties qu'à la conduion que y ( ^ ) et
^ ( s ) puissent se mettre sous la forme A -+- A < ^ -h A_>^2 -r-....
On p e u t aussi chercher à satisfaire à l'équation ( î ) par l'expression
(6) ^^S^)+...^^S.(.r)+...;
on trouve alors que S^(^) doit vérifier l'équation différentielle (3), ce qui donne les nouvelles solutions
^ , ——.——————s
/ x — cosco^r-' ~ î \ ,
~ \ Z —-———————— / d^
1 r (•
.1 ^v-
^Jo \ a / *
et
i F^ dt r ^-eos9^/F^~i\ , . - f — — — - / CT ——..-.- ——ï-l.——- ^9,
^J^.i ^—Uo \ a / T
o u % ctsî' sont des fondions arbitraires constituées comme les fonctions y et vs de tout à l'heure.
Les formes ('2) et (6) ne comprennent pas toutes les solutions de l'équa- uon ( ï ) , par exemple, la solution suivante :
z == loga y'^'2— î .
En terminant, je fais remarquer que l'on ramène facilement l'équa- îion ( î ) à la forme type d'Ampère, en faisant le changement de variables suivant :
s == oc ( x — y^2 — î ), / == oc (^ -+- v^ — î ) ; l'équation ( i ) devient alors
c/2 z dz dz
• 2 ( t -- J1) -,——,- — „ . - - } - — — ^: o
' / dt ds dt ds Ou
d F. ,^~| d F .^"1
^[(^-.)^J-^[(^^^J-
48.
38o . SUR U3N'E É Q U A T I O N A U X D É R I V É E S P A R T I E L L E S .
Enfin, on peut observer encore que l'équation ( i ) se déduit de l'é- quation
d^ a d'1 u . ^î\ _^ .4- ^ -— === o
' (lx2 (7 a2
en posant
(iy ciy. : z.(FU
FIN DU T O M E SIXIÈME.
