Equations aux d´ ´ eriv´ ees partielles Chapitre 3 : Classification des EDP
Lucie Le Briquer
Cours du 13 mars
Une ´equation aux d´eriv´ees partielles est de la forme : F
x, p(x), ∂p
∂x1
, ..., ∂p
∂xd
, ...,∂mp
∂xmd
= 0
Si d= 1 alors ce que l’on ´etudie est une EDO. On parle d’EDP pourd≥2.
D´efinition 1(EDP)
On consid`ere : φ:
( R2 −→ R
X 7−→ a(x0)X+< A(x0), X⊗X >+α(x0) o`u :
– A(x0) est une matrice non nulle
– a, αsont des fonctions suffisamment r´eguli`eres D´efinition 2
Remarque.
Les surfaces de niveau deφsont des coniques en dimensiond.
– siA est d´efinie positive/n´egative : elliptique – siA est d´efinie positive de rangd−1 : parabolique
– siA est de signature (−1, d−1) ou (d−1,1) : hyperbolique
Rappel. SoitA une matrice, posonsAS = A+A2 t. AS est sym´etrique donc diagonalisable par le th´eor`eme spectral. On note alors :
– r= Card{λ∈Sp(AS)|λ≥0}
– s= Card {λ∈Sp(AS)|λ≤0}
Le couple (r, s) est alors appel´esignature deA.
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Cours du 20 mars
Fin de la classification.
m= 2, ´equation lin´eaire,nd= 2 m= 2 doncA=AT ⇔A6= 0
Axx
∂2u
∂x2 + 2Axy
∂2u
∂x∂y +Ayy
∂2u
∂y2 +ax
∂u
∂x+ay
∂u
∂y +αu=f AxxX2+ 2AxyXY +AyyY2
La matrice de cette forme quadratique est :
Axx Axy
Axy Ayy
Le d´eterminant de la matrice ∆ =AxxAyy−A2xyest appel´ediscriminant de la forme quadratique.
On a 3 cas :
1. ∆>0 : elliptique λ1 0
0 λ2
avecλ1, λ2>0
On effectue un changement de rep`ere orthonorm´e (ξ, ν) λ1=εω1 etλ2=εω2avecε=±1
λ1∂2u˜
∂ξ21 +λ2∂2˜u ξ2
= ˜f
∂2u
∂X2 + ∂2u
∂Y2 =εf On se ram`ene `a la forme :
−∆u=f
La partie d’ordre 2 dans le cas elliptique peut toujours (modulo un changement de coor- donn´ees) se ramener `a un laplacien.
2. ∆<0 : hyperbolique 3. ∆ = 0 : parabolique
Exemples.
– ´equation de la chaleur : ∂u∂t −∆u=f – ´equation des ondes : ∂∂t2u2 −∆t=f – ´equation de Laplace : −∆u=f
Remarque.
On pr´ef`ere mettre un − Laplacien car c’est un op´erateur positif. Sa positivit´e d´ecoule de la Formule de Green :
− Z
Rn
∆uudx= Z
Rn
|∇u|2dx≥0
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Remarque.
L’exemple suivant est le contre-exemple d’une propri´et´e du cours. Trouver laquelle.
Soitu(x, y) = Arctg xy, on a :
– ∂u∂x =−x2+yy 2 donc ∂x∂y∂2u =−(xx22+y−y22)2
– ∂y∂x∂2u = (xx22+y−y22)2
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