Feuille de TD 4 : ´ Equations aux d´ eriv´ ees partielles.

Institut Galil´ee 2010-2011 Fili`ere MACS2

Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale I

Feuille de TD 4 : ´ Equations aux d´ eriv´ ees partielles.

Exercice 1

SoithunC¹-diff´eomorphisme deRdansR. SoitT l’ap- plication lin´eaire deC₀^∞(R²) dansCd´efinie par :

∀ϕ∈C₀^∞(R²), < T, ϕ >=

Z

R

ϕ(x, h(x)) dx.

1. Montrer queT ∈ D⁰(R²). Quel est son ordre ? 2. D´eterminer le support de T.

3. En d´eduire qu’il n’existe pas de fonction continue sur R² telle queT soit la distribution associ´ee `a cette fonc- tion.

4. Calculer, au sens des distributions, (∂_x+h⁰(x)∂_y)T. Exercice 2 - ´Equation de Laplace

Soitd≥1. On consid`ere la distribution deD⁰(R^d) donn´ee par la fonction localement int´egrable :

∀x∈R^d, E(x) =







x+= max(x,0) si d= 1

1

2πlog|x| si d= 2

−_(d−2)σ(S¹ d−1) 1

|x|^d−2 si d≥3 ,

o`uσ(S<sup>d−1</sup>) d´esigne l’aire de la sph`ere unit´e deR^d. 1. Pourd= 1, v´erifier que E⁰⁰=δ₀.

2. On suppose dans la suite d≥2. Soit f R →R une fonction de classe C² et soit F ∈ C²(R^d\ {0}) d´efinie par :∀x∈R^d\ {0}, F(x) =f(|x|). Montrer que :

∀x∈R^d\ {0}, ∆F(x) =f⁰⁰(|x|) +d−1

|x| f⁰(|x|).

3. R´esoudre surR^∗+ l’´equation diff´erentielle : f⁰⁰(r) +d−1

r f⁰(r) = 0.

4.SoitF :R^d\{0} →Rla fonction localement int´egrable donn´ee par :

∀x∈R^d\ {0}, F(x) =

log|x| si d= 2

1

|x|^d−2 si d≥3 . Soit ε > 0 et soit Ωε l’ouvert R^d \B(0, ε). Soit enfin ϕ∈C₀^∞(R^d). En appliquant la formule de Green `a F et ϕsur l’ouvert Ωε, puis en faisant tendreεvers 0, calculer

<∆F, ϕ >.

5. En d´eduire que ∆E=δ0, pour toutd≥2.

6. On admet le th´eor`eme de Liouville (version faible) : Soit u ∈ C^∞(R^d\ {0}) telle que ∆u = 0. Si u(x) tend vers 0 lorsque|x| tend vers l’infini alors uest nulle.

a. Soit ρ∈ D⁰(R³) une distribution `a support compact.

Montrer que l’´equation −∆V =ρadmet une unique so- lution qui tend vers 0 `a l’infini.

b. Calculer l’expression de cette solution pour ρ = δ₀ (charge unique `a l’origine) et pour ρ=δ_x⁰₀ avec x0 6= 0 (cas du dipˆole).

Exercice 3 - ´Equation de la chaleur

Soit H la fonction indicatrice de R^∗+. On consid`ere la fonction surR²donn´ee par :

∀(x, t)∈R², E(x, t) = H(t)

√4πte^−x

2 4t.

1.Montrer queE d´efinit une distribution surR². 2.Montrer que, pour toutt >0 et toutx∈R,

∂_t 1

√4πte^−x

2 4t

=∂_xx² 1

√4πte^−x

2 4t

.

3.Soitε >0. Soitϕ∈C₀^∞(R²). On pose :

I_ε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x4t2

√4πt∂_tϕ(x, t) dtdx,

et

J_ε=− Z

R

Z +∞

ε

e^−x4t2

√4πt∂_xx² ϕ(x, t) dtdx.

a.CalculerI_ε+J_ε.

b. En effectuant le changement de variable y = ^√x_ε, d´eterminer la limite, lorsqueεtend vers 0, deI_ε+J_ε. Indication : on pourra utiliser que R

Re^−u42 du=

√π

2 . 4.Calculer (∂t−∂²_xx)E dansD⁰(R²).

5.En d´eduire une solutionu∈ D⁰(R²) de l’´equation aux d´eriv´ees partielles :

∂_tu−∂_xx² u=f,

o`uf ∈ D<sup>0</sup>(R<sup>2</sup>) est `a support compact.

6. Si f ∈ C₀^∞(Ω), Ω ouvert de R², que peut-on dire de u?

Exercice 4 - ´Equation de Cauchy-Riemann

On consid`ere surR²\ {0} la fonction donn´ee par :

∀(x, y)∈R²\ {0}, f(x, y) = (x+ iy)⁻¹.

1.Montrer quef ∈L¹_loc(R²).

2. Soit ¯∂ l’op´erateur de Cauchy-Riemann d´efinit par :

∂¯= ¹₂(∂_x+ i∂_y). Calculer ¯∂f dansD⁰(R²).

Indication : on pensera `a effectuer un changement de va- riables en coordonn´ees polaires.

1