Feuille d’exercices 4 D´eriv´ees partielles: R´evision

S3 MIMP 2008-2009

M202.MIMP ´ El´ements de calcul diff´erentiel Responsable: S. De Bi` evre

Feuille d’exercices 4 D´ eriv´ ees partielles: R´ evision

Exercice 1 [Extrait du partiel de novembre 2004] Soit f : R

→ R la fonction d´efinie par f (x, y) = (x

+ y

)

pour (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 1.

(a) La fonction f est-elle continue en (0, 0)?

(b) Determiner les d´eriv´ees partielles de f en un point (x

, y

) 6= (0, 0).

(c) La fonction f admet-elle des d´eriv´ees partielles par rapport `a x, `a y en (0, 0)?

Exercice 2 [Extrait de l’examen de rattrapage de f´evrier 2005] Soit f : R

→ R la fonction d´efinie par

f (x, y) = x

y + 3y

x

+ y

pour (x, y) 6= (0, 0) f(0, 0) = 0.

(a) La fonction f est-elle continue en (0, 0)? On justifiera sa r´eponse.

(b) La fonction f admet-elle des d´eriv´ees partielles par rapport `a x, `a y en (0, 0)? On donnera leur valeur le cas ´ech´eant et on justifiera sa r´eponse.

(c) La fonction f est-elle diff´erentiable en (0, 0)? On justifiera sa r´eponse.

Cette question est hors programme pour le partiel du 8 novembre 2008 (d) D´eterminer les d´eriv´ees partielles de f en un point (x

, y

) 6= (0, 0).

(e) D´eterminer l’´equation du plan tangent au graphe de f au point (1, 1, 2). Cette question est hors programme pour le partiel du 8 novembre 2008

(f) Soit F : R

→ R

la fonction d´efinie par F (x, y) = (f (x, y), f (y, x)).

D´eterminer la matrice jacobienne de F au point (1, 1). La fonction F admet- elle une r´eciproque localement au voisinage du point (2, 2)? La toute derni`ere question est hors programme pour le partiel du 8 novembre 2008

Exercice 3 [Extrait du partiel de novembre 2005] Soit f : R

→ R une fonction de classe C

. Pour tout (x, y, z) ∈ R

, on pose g(x, y, z) = f (x − y, y − z, z − x). Montrer que

∂g

∂x + ∂g

∂y + ∂g

∂z = 0.

D´ eriv´ ees partielles: fonctions compos´ ees, matrices Jacobi- ennes

Exercice 4

On consid`ere les fonctions f : (x, y) ∈ R

7→ (sin(xy), y cos x, xy sin(xy) exp(y

)) ∈ R

et g : (u, v, w) ∈ R

7→ uvw ∈ R.

(a) Calculer explicitement g ◦ f .

(b) En utilisant l’expression trouv´ee en (a), calculer les d´eriv´ees partielles de g ◦ f .

(c) D´eterminer les matrices Jacobiennes J

(x, y) et J

(u, v, w) de f et de g.

(d) Retrouver le r´esultat sous (b) en utilisant un produit appropri´e de

matrices Jacobiennes.