Distributions, analyse de Fourier, ´equations aux d´eriv´ees partielles

´

equations aux d´ eriv´ ees partielles

F. Golse

Table des mati` eres

I Distributions 1

1 FonctionsC^∞ `a support compact 3

1.1 Calcul diff´erentiel : rappels et notations . . . 3

1.2 Fonctions de classeC^∞ `a support compact . . . 6

1.3 R´egularisation des fonctions . . . 11

1.3.1 Convolution des fonctions . . . 11

1.3.2 R´egularisation par convolution . . . 21

1.4 Partitions de l’unit´e . . . 24

1.5 Appendice : In´egalit´es de H¨older et de Minkowski . . . 28

1.6 Exercices . . . 33

2 E.D.P. d’ordre un 35 2.1 L’´equation de transport . . . 35

2.2 Equations de transport `a coefficients variables . . . 38

2.3 E.D.P. non lin´eaires d’ordre un . . . 45

2.4 Exercices . . . 50

3 Calcul des distributions 53 3.1 Introduction . . . 53

3.2 Les distributions : d´efinition, convergence . . . 55

3.2.1 D´efinition des distributions . . . 55

3.2.2 Convergence des distributions . . . 61

3.2.3 Remarques sur la d´efinition des distributions . . . 67

3.3 Op´erations sur les distributions . . . 70

3.3.1 D´erivation des distributions . . . 70

3.3.2 Multiplication par une fonction de classeC^∞ . . . 77

3.3.3 Localisation et recollement des distributions . . . 78

3.3.4 Changement de variables dans les distributions . . . 81

3.3.5 D´erivation/Int´egration sous le crochet de dualit´e . . . 83

3.3.6 Produit de distributions . . . 86

3.4 La formule des sauts et ses variantes . . . 87

3.4.1 Formule des sauts en dimensionN= 1 . . . 87

3.4.2 Formule des sauts en dimension quelconque . . . 89

3.5 Distributions homog`enes . . . 98 iii

3.6 Distributions positives . . . 109

3.7 Appendice : Quelques propri´et´es de la fonction Γ . . . 110

3.8 Exercices . . . 113

4 Support et convolution des distributions 117 4.1 Les distributions `a support compact . . . 118

4.1.1 Support d’une distribution . . . 118

4.1.2 Distributions `a support compact . . . 121

4.1.3 Structure des distributions `a support dans un singleton . 123 4.2 ConvolutionC_c^∞?D⁰ . . . 129

4.3 Op´erations sur les distributions (suite) . . . 135

4.3.1 Produit tensoriel de deux distributions . . . 135

4.3.2 Composition d’une distribution et d’une applicationC^∞ . 138 4.4 Produit de convolution des distributions . . . 141

4.5 Exercices . . . 148

5 Transformation de Fourier 151 5.1 La classe de SchwartzS(R^N) . . . 152

5.2 La transformation de Fourier surS . . . 156

5.3 Les distributions temp´er´ees . . . 163

5.4 La transformation de Fourier surS⁰ . . . 168

5.5 Transformation de Fourier partielle . . . 178

5.6 Transformation de Fourier et s´eries de Fourier . . . 180

5.7 Espaces de Sobolev . . . 185

5.8 Exercices . . . 192

II Applications aux EDP 195

6.2 Solutions ´el´ementaires . . . 206

6.2.1 Solution ´el´ementaire du laplacien . . . 206

6.2.2 Solution ´el´ementaire du d’Alembertien . . . 211

6.2.3 Solution ´el´ementaire de l’op´erateur de la chaleur . . . 215

6.2.4 Solution ´el´ementaire de l’op´erateur de Schr¨odinger . . . . 218

6.3 Le probl`eme de Cauchy au sens des distributions . . . 221

6.3.1 Le cas des ´equations diff´erentielles ordinaires . . . 222

6.3.2 Le cas des EDP . . . 225

6.4 Exercices . . . 230

7 Equations de Laplace et de Poisson 233 7.1 Origines du mod`ele . . . 233

7.2 Fonctions harmoniques . . . 236

7.3 L’´equation de Poisson dans l’espace euclidien . . . 245

7.4 Probl`emes aux limites pour le laplacien . . . 249

7.5 Exercices . . . 251

8 Equation de la chaleur 255 8.1 Origines du mod`ele . . . 255

8.2 Probl`eme de Cauchy et ´equation de la chaleur . . . 257

8.3 Propri´et´es qualitatives . . . 265

8.3.1 Bornes sur la solution du probl`eme de Cauchy . . . 266

8.3.2 Effet r´egularisant . . . 269

8.3.3 Irr´eversibilit´e . . . 271

8.3.4 Vitesse infinie de propagation . . . 273

8.4 Equation des milieux poreux . . . 275

8.4.1 Origine de l’´equation des milieux poreux . . . 275

8.4.2 Solutions auto-similaires. . . 277

8.5 Solution de l’´equation de Hopf apr`es les chocs . . . 280

8.5.1 La transformation de Cole-Hopf . . . 283

8.5.2 La formule de Lax-Oleinik . . . 288

8.5.3 Appendice . . . 295

8.6 Exercices . . . 297

9 Equation de Schr¨odinger 301 9.1 Origines du mod`ele . . . 301

9.2 Probl`eme de Cauchy et ´equation de Schr¨odinger . . . 305

9.3 Effets dispersifs . . . 311

9.4 Transformation de Wigner . . . 315

9.4.1 La transformation de Wigner . . . 315

9.4.2 Limite semi-classique . . . 318

9.4.3 Interpr´etation physique . . . 320

9.5 Exercices . . . 323

10 Equation des ondes 327 10.1 Origines du mod`ele . . . 327

10.2 Le probl`eme de Cauchy . . . 332

10.2.1 Formulation au sens des distributions . . . 332

10.2.2 Solution ´el´ementaire dans le futur . . . 334

10.2.3 Existence et unicit´e de la solution . . . 336

10.3 Solution ´el´ementaire dans le futur . . . 340

10.3.1 Le cas g´en´eral en dimensionN ≥2. . . 340

10.3.2 Le cas de la dimensionN = 1 . . . 344

10.3.3 Le cas de la dimensionN = 3 : moyennes sph´eriques . . . 346

10.3.4 Le cas de la dimensionN = 2 : m´ethode de descente . . . 349

10.4 Propri´et´es qualitatives de l’´equation des ondes . . . 352

10.4.1 Conservation de l’´energie . . . 352

10.4.2 Propagation `a vitesse finie . . . 353

10.4.3 Principe de Huygens . . . 356

10.5 Equation des ondes et transformation de Radon . . . 358

10.5.1 La transformation de Radon . . . 358

10.5.2 Transformation de Radon et ´equation des ondes . . . 362 10.5.3 Transformation de Radon et scanner . . . 364 10.6 Exercices. . . 367

Bibliographie 371

Premi` ere partie

Distributions

1

Chapitre 1

Fonctions C ^∞ ` a support compact

Ce chapitre rassemble plusieurs r´esultats pr´eliminaires indispensables pour d´evelopper la th´eorie des distributions. Apr`es quelques rappels de calcul diff´eren- tiel — principalement destin´es `a fixer les notations — on ´etudiera plus par- ticuli`erement les fonctions de classe C<sup>∞</sup> sur un ouvert de R<sup>N</sup> et `a support compact, ainsi que leurs premi`eres applications en Analyse — notamment `a la localisation et la r´egularisation des fonctions.

1.1 Calcul diff´ erentiel : rappels et notations

Soient Ω ouvert deR^N et une applicationf : Ω→Rⁿ ouCⁿ d´efinie par f(x) = (f₁(x₁, . . . , x_N), . . . , f_n(x₁, . . . , x_N)).

Rappelons que l’application f est de classe C^p sur Ω — ce que l’on note f ∈ C^p(Ω,Rⁿ) ouf ∈C^p(Ω,Cⁿ) — si toutes les d´eriv´ees partielles d’ordre inf´erieur ou ´egal `apdes fonctions f₁, . . . , f_n sont continues sur Ω. L’espaceC^p(Ω,R) — ouC^p(Ω,C) selon le contexte — est not´eC^p(Ω).

De fa¸con plus g´en´erale, pourU ⊂R^N, on noteraC^p(U,Rⁿ) (resp.C^p(U,Cⁿ)) l’ensemble des restrictions `aU d’applications de classeC<sup>p</sup> sur un ouvert deR<sup>N</sup> contenantU et `a valeurs dansRⁿ (resp.Cⁿ).

Lemme 1.1.1 (Schwarz) Soit Ω ouvert de R^N. Si φ ∈ C²(Ω), alors, pour tousk < l= 1, . . . , N, on a

∂²φ

∂xk∂xl

= ∂²φ

∂xl∂xk

sur Ω.

Nous utiliserons syst´ematiquement les notations suivantes pour les d´eriv´ees partielles d’une fonction f de classeC¹ sur Ω, ouvert deR^N :

∂_kf(x) ou∂_xkf(x) d´esigne la d´eriv´ee partielle ∂f

∂xk

(x) 3

pour toutk= 1, . . . , N, ainsi que

∇f(x) ou∇xf(x) =







∂x₁f(x) ...

∂x_Nf(x)





.

Rappelons ´egalement que, pour tout champ de vecteurs de classeC¹ V : Ω⊂R^N →R^N o`u Ω est un ouvert deR^N, on note

divV(x) ou divxV(x) =

N

X

k=1

∂x_kVk(x). Passons au cas des d´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur.

On nomme “multi-indice” tout ´el´ement α = (α1, . . . , αN) ∈ N^N. A tout multi-indiceα∈N^N on associe sa longueur

|α|=α₁+. . .+α_N.

Pour chaque multi-indiceα∈N^N, on note les d´eriv´ees partielles it´er´ees d’une fonctionf de classeC^∞ sur Ω comme suit :

∂^αf(x) ou∂_x^αf(x) d´esigne ∂^|α|f

∂x^α₁¹. . . ∂x^α_N^N(x), c’est `a dire que

∂^αf(x) ou∂^α_xf(x) =∂_x^α1

1 . . . ∂_x^αN

Nf(x). Par analogie, pour toutx∈R^N et toutα∈N^N, on note

x^α=x^α₁¹. . . x^α_N^N. Notons encore, pour toutα∈N^N et toutβ ∈N^N

β ≤αsi et seulement siβk≤αk pourk= 1, . . . , N . On posera alors

α β

= α!

(α−β)!β! o`u

α! =α1!. . . αN!. Avec ces notations, on peut ´ecrire tr`es simplement (a) la formule du binˆome :

(x+y)^α=X

β≤α

α β

x^α−βy^β;

(b) la formule du multinˆome :

(x1+. . .+xN)^k = X

|a|=k

k!

α!x^α, (c) et la formule de Leibnitz : pourf, g∈C^p(Ω) et|α| ≤p

∂^α(f g) =X

β≤α

α β

∂^α−βf ∂^βg

Rappelons une derni`ere notation que nous utiliserons fr´equemment par la suite : le laplacien d’une fonction de classeC² sur un ouvert deR^N est

∆f ou ∆xf(x) = div(∇f(x)) =

N

X

k=1

∂_x²

kf(x).

Nous allons maintenant passer en revue (sans d´emonstration) plusieurs ´enonc´es classiques du calcul diff´erentiel.

Commen¸cons par la formule de d´erivation des applications compos´ees. On rappelle que, pour tout Ω⊂R^N ouvert et toutf ∈C¹(Ω,Rⁿ), on a

(f⁰(x)·ξ)k=

N

X

l=1

∂x_lfk(x)ξl, x∈Ω, ξ∈R^N, 1≤k≤n .

Ainsi,f⁰ est une application continue de Ω dans l’espaceL(R^N,Rⁿ) des appli- cations lin´eaires deR^N dans Rⁿ. De plus, la matrice de f⁰(x) dans les bases canoniques deR^N et Rⁿ est, pour toutx∈Ω,

(∂x_lfk(x))1≤k≤n 1≤j≤N

c’est `a dire la matrice `anlignes etN colonnes, dont l’´el´ement situ´e `a lak-i`eme ligne et lal-i`eme colonne est∂x_lfk(x).

Th´eor`eme 1.1.2 (D´erivation des applications compos´ees) Soient U ou- vert de R^l et V ouvert de R^m. Soientf ∈C¹(U;R^m)etg ∈C¹(V;Rⁿ) telles quef(U)⊂V. Alorsg◦f ∈C¹(U;Rⁿ) et on a

(g◦f)⁰(x) =g⁰(f(x))·f⁰(x)pour toutx∈U .

(La notation ·d´esigne la composition d’application lin´eaires deR^l dansR^m et deR^m dansRⁿ.)

Les matrices de (g◦f)⁰(x), deg⁰(f(x)) et def⁰(x) dans les bases canoniques deR^l,R^metRⁿ sont donc reli´ees, pour toutx∈U, par la formule

(∂_xk(g◦f)_i(x))1≤i≤n 1≤k≤l

= (∂_xjg_i(f(x)))1≤i≤n

1≤j≤m ·(∂_xkf_j(x))1≤j≤m 1≤k≤l

o`u · d´esigne le produit de matrices `an lignes etm colonnes par les matrices `a mlignes etl colonnes.

Rappelons enfin la formule de Taylor avec reste int´egral : (a) pourφfonction de classe C^p+1sur un intervalle ouvertI⊂R:

φ(b) =

p

X

k=0

(b−a)^k

k! φ^(k)(a) + Z b

a

(b−t)^p

p! φ^(p+1)(t)dt pour tousa, b∈I;

(b) pour une fonctionf de classeC^p+1sur un ouvert Ω⊂R^N : f(b) = X

|α|≤p

(b−a)^α α! ∂^αf(a) + (p+ 1) X

|α|=p+1

(b−a)^α α!

Z 1 0

(1−t)^p∂^αf(a+t(b−a))dt ,

pour tousa, b∈Ω tels que le segment [a, b]⊂Ω.

Pour d´emontrer cette derni`ere formule, on se ram`ene au cas `a une variable en posant

φ(t) =f(a+t(b−a)), et on v´erifie que

φ^(k)(t) = X

|α|=k

k!

α!∂^αf(a+t(b−a))(b−a)^α.

1.2 Fonctions de classe C

` a support compact

Rappelons la d´efinition du support d’une fonction :

D´efinition 1.2.1 Soit une fonction φd´efinie sur un espace topologique X et `a valeurs dansRouC. Le support de la fonction φest

supp(φ) ={x∈X|φ(x)6= 0}.

Les fonctions de classeC^∞`a support compact jouent, en Analyse, plusieurs rˆoles distincts, ´egalement importants :

a) elles servent `a localiser les fonctions sans en d´egrader les hypoth`eses de r´egularit´e¹;

b) elles servent `a approcher les fonctions localement int´egrables par des fonc- tions de classeC^∞;

1Sauf l’analyticit´e, car, d’apr`es le principe des z´eros isol´es, il n’existe pas de fonction analytique `a support compact dans un ouvert deCqui ne soit pas identiquement nulle — cf.

cours de P. Colmez, Th´eor`eme V.1.15.

−3 −2 −1 0 1 2 3 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040

Fig.1.1 – A gauche : graphe de la fonctionE. A droite : zoom sur la r´egion du graphe correspondant `ax= 0.

c) enfin, c’est `a partir des fonctions de classeC<sup>∞</sup> `a support compact et par un proc´ed´e de dualit´e que l’on va ´etendre le calcul diff´erentiel des fonctions aux distributions, qui sont des objets plus g´en´eraux que les fonctions.

Commen¸cons par construire des exemples de fonctions de classeC^∞ `a sup- port compact sur la droite r´eelle.

Consid´erons la fonction

E: R→Rd´efinie parE(x) =e^1/x six <0 etE(x) = 0 six≥0. Il est clair queE est de classeC^∞surR^∗; d’autre part, on montre que

E⁽ⁿ⁾(x) =Pn 1 x

e^1/x pour toutx <0,

o`uPn est la suite de polynˆomes d´efinis par la relation de r´ecurrence P0(X) = 1,

Pn+1(X) =−X²(P_n⁰(X) +Pn(X)), n≥0. On en d´eduit que

E⁽ⁿ⁾(x)→0 lorsquex→0⁻ pour toutn≥0 et donc queE∈C^∞(R). D’autre part, le support deE estR−.

A partir de la fonctionE, on construit tr`es simplement une fonction F de classeC<sup>∞</sup> surR et `a support dans un segment [a, b], o`u a < b sont deux r´eels quelconques : il suffit de poser

F(x) =E(a−x)E(x−b) pour toutx∈R c’est `a dire

F(x) =e^{−(b−x)(x−a)b−a} six∈]a, b[,

F(x) = 0 six∈]− ∞, a]∪[b,+∞[.

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.00

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

Fig.1.2 – Graphe de la fonctionF pour a=−1 etb= +1.

Il est clair queF ∈C^∞(R) et que supp(F) = [a, b].

On construit de mˆeme un exemple de fonction de classe C^∞ sur R^N et `a support compact, en posant

G(x) =

N

Y

k=1

E(a_k−x_k)E(x_k−b_k) pour toutx= (x₁, . . . , x_N)∈R^N. (1.1) A nouveau, on v´erifie sans peine queG∈C^∞(R^N) (par exemple en constatant queGadmet des d´eriv´ees partielles continues `a tout ordre et en tout point de R^N) et que supp(G) = [a1, b1]×. . .×[aN, bN].

On obtient encore un autre exemple de fonction de classe C^∞ `a support compact surR^N en posant

H(x) =E(|x|²−1), c’est `a dire

H(x) = 0 si|x| ≥1, H(x) =e^|x|2−11 si|x|<1.

Dans toute la suite, nous d´esignerons syst´ematiquement par |x| la norme euclidienne dex∈R^N, c’est `a dire

|x|= v u u t

N

X

k=1

x²_k.

La fonctionH est de classe C^∞ surR^N comme compos´ee de la fonction E et de la fonctionR^N 3x7→ |x|²−1 ∈R, toutes deux de classeC^∞; d’autre part,

supp(H) =B(0,1) ={x∈R^N| |x| ≤1}.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Z

−2.0

−1.5

−0.5 −1.0 0.5 0.0

1.5 1.0

2.0 X

−2.0

−1.5

−1.0 −0.5 0.0 0.5

1.0 1.5 Y 2.0

Fig.1.3 – Cas N = 2, a₁ =a₂ =−1 etb₁=b₂ = +1. Graphe de la fonction (x, y)7→500G(x, y).

−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Fig.1.4 – Graphe de la fonctionIpour a=−1 etb= +1.

Un autre exemple important de fonction de classeC^∞dansRest la fonction I donn´ee par

I(x) = Z x

−∞

F(z)dz Z ∞

−∞

F(z)dz

o`u F est la fonction d´efinie ci-dessus. Remarquons que la fonction continue F v´erifie

F >0 sur ]a, b[ de sorte que Z ∞

−∞

F(z)dz >0. La fonctionI∈C^∞(R) satisfait donc les conditions suivantes :

0≤I≤1, I

_]−∞,a]= 0, I

_[b,+∞[= 1,

o`u a < bsont les deux r´eels apparaissant dans la construction deF ci-dessus.

A partir de la fonction I, en supposant que les param`etres a, b > 0, on construit tr`es simplement un exemple de fonctionJ ∈C^∞(R^N) telle que

supp(J)⊂B(0,√

b), J

_B(0,^√_a)= 1, 0≤J ≤1. Il suffit en effet de poser

J(x) = 1−I(|x|²).

Notation 1.2.2 Etant donn´eΩ⊂R^N ouvert, on noteraC_c^k(Ω)— resp.C_c^∞(Ω), C_c(Ω) — l’ensemble des fonctions de classe C^k — resp. de classe C^∞, resp.

continues — sur Ω `a valeurs dans R ou C et dont le support est un compact inclus dansΩ.

1.3 R´ egularisation des fonctions

Le proc´ed´e le plus courant de r´egularisation pour des fonctions localement int´egrables sur R^N utilise la notion de produit de convolution par une suite r´egularisante.

1.3.1 Convolution des fonctions

Le produit de convolution est une op´eration classique dans le cas des fonc- tions, que nous g´en´eraliserons ult´erieurement au cas des distributions. Rappelons quelques r´esultats de base sur cette op´eration.

D´efinition 1.3.1 (Convolution des fonctions) Deux fonctionsfetgd´efinies p.p. et mesurables sur R^N sont dites convolables si, pour presque toutx∈R^N, la fonction

y7→f(x−y)g(y) est int´egrable surR^N.

On d´efinit alors le produit de convolution def et deg par la formule f ? g(x) :=

Z

R^N

f(x−y)g(y)dy p.p. enx∈R^N. Donnons quelques exemples de fonctions convolables.

L’in´egalit´e de Hausdorff-Young (Th´eor`eme 1.3.10 ci-dessous) montrera que, pour tousp, q∈[1,∞],

f ∈L^p(R^N) etg∈L^q(R^N) avec 1 p+1

q ≥1⇒f et gsont convolables.

Un exemple essentiellement trivial est le cas o`u f ∈ L¹_loc(R^N) tandis que φ∈Cc(R^N) : dans ce cas, on v´erifie sans peine quef et φsont convolables. En effet, notonsK le support deφ, ici suppos´e compact, et

{x} −K={x−z|z∈K}.

Evidemment,{x} −K est compact pour toutx∈R^N, et on remarque que l’on a φ(x−y)f(y) = 0 poury /∈ {x} −K. Donc

Z

R^N

|φ(x−y)f(y)|dy= Z

{x}−K

|φ(x−y)f(y)|dy

≤sup

z∈K

|φ(z)|

Z

{x}−K

|f(y)|dy <∞, ce qui montre que la fonction

y7→φ(x−y)f(y) est int´egrable pour toutx∈R^N. Commen¸cons par l’observation suivante :

Proposition 1.3.2 (Commutativit´e de la convolution) Soient deux fonc- tionsf et g mesurables surR^N et convolables ; alors

f ? g(x) =g ? f(x)p.p. en x∈R^N.

D´emonstration. Par hypoth`ese, les fonctions f et g sont convolables, c’est

`

a dire qu’il existe un ensemble N ⊂ R^N de mesure nulle tel que, pour tout x∈R^N\ N, la fonction

Hx: y7→f(x−y)g(y) est int´egrable surR^N.

Pour x ∈R^N \ N quelconque, le changement de variables y 7→ z = x−y de jacobien (−1)^N, qui pr´eserve donc la mesure de Lebesgue surR^N (cf. cours de P. Colmez, chapitre III.3.2), transforme la fonctionH_xint´egrable surR^N en la fonction

K_x: z7→K_x(z) :=H_x(x−z) =g(x−z)f(z) qui est donc int´egrable surR^N, et v´erifie, pour tout x∈R^N\ N,

f ? g(x) = Z

R^N

H_x(y)dy= Z

R^N

K_x(z)dz=g ? f(x).

Remarque.La d´efinition du produit de convolution peut paraˆıtre myst´erieuse a priori. Elle est pourtant tr`es naturelle `a bien des ´egards : par exemple, le produit de convolution intervient dans la th´eorie des probabilit´es pour calculer la loi d’une somme de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes — voir le cours de S. M´el´eard,Al´eatoire, Proposition 4.10.5.

Voici une autre fa¸con intuitive de se repr´esenter le produit de convolution.

Supposons queφ∈Cc(R^N) v´erifie φ≥0 surR^N, et

Z

R^N

φ(z)dz= 1.

Autrement dit,φ est une densit´e de probabilit´e sur R^N — voir le cours de S.

M´el´eard, Al´eatoire, D´efinition 4.2.7. La formule φ ? f(x) =

Z

R^N

f(x−z)φ(z)dz

s’interpr`ete alors comme la moyenne ou l’esp´erance — cf. S. M´el´eard, ibid., D´efinition 3.3.1, p. 48 — des translat´ees de la fonction f — c’est `a dire des fonctions de la forme

x7→f(x−z) pour la probabilit´e de densit´eφ.

Ce proc´ed´e, consistant `a effectuer des translations sur le graphe d’une fonc- tion, puis `a prendre le “graphe moyen” va ´evidemment r´egulariser, ou ce qui revient au mˆeme, flouter les “asp´erit´es” du graphe. Pensons par exemple au

cas o`u f est la fonction caract´eristique d’un segment de R : on s’attend `a ce qu’apr`es convolution par une fonction φcomme ci-dessus, les discontinuit´es de f aux bornes du segment soient ´elimin´ees

Le produit de convolution de deux fonctions est une op´eration non locale : il est important de savoir comment cette op´eration agit sur les supports des deux fonctions dont on calcule le produit de convolution. Avant cela, il faut d´efinir la notion de support d’un ´el´ement deL¹_loc surR^N.

D´efinition 1.3.3 Soitf ∈L¹_loc(R^N)`a valeurs dans RouC. Le support de la fonction f est

supp(f) = \

Ω∈O(f)

(R^N \Ω), o`u

O(f) ={Ω ouvert deR^N|f = 0 p.p. surΩ}.

En effet, la d´efinition usuelle du support d’une fonction — que nous avons rappel´ee dans la D´efinition 1.2.1 — ne convient plus dans le cas de fonctions d´efinies presque partout. Consid´erons par exemplef =1Qla fonction indicatrice des rationnels ; commeQest dense dansR, on a

{x∈R|1Q(x)6= 0}=Q=R.

Mais comme 1_Q(x) = 0 p.p. en x ∈ R, on a R ∈ O(1_Q), de sorte que supp(1_Q) =∅, en consid´erant1_Q comme ´el´ement deL¹_loc(R) — rappelons que 1_Q est (un repr´esentant de la classe d’´equivalence de) l’´el´ement 0 de l’espace vectorielL¹_loc(R).

Proposition 1.3.4 (Majoration du support de f ? g) Soient f et g deux fonctions mesurables d´efinies p.p. surR^N et convolables. Alors

supp(f ? g)⊂supp(f) + supp(g), avec la notation

A+B={a+b|a∈A etb∈B}.

D´emonstration. SoitN sous-ensemble de R^N de mesure nulle tel que, pour tout x∈R^N \ N, la fonction d´efinie p.p. surR^N

Hx: y7→f(x−y)g(y) soit int´egrable surR^N.

Nous allons montrer que

x∈R^N \(N ∪supp(f) + supp(g))⇒H_x(y)6= 0 p.p. eny∈R^N. Notons

Nf ={z∈R^N\supp(f)|f(z)6= 0}, Ng={z∈R^N\supp(g)|g(z)6= 0},

qui sont de mesure nulle dansR^N.

Soitx∈R^N\(N ∪supp(f) + supp(g)) ; alors, pour touty∈R^N, on a (a) ou bien x−y /∈supp(f),

(b) ou bieny /∈supp(g).

Donc, siHx(y)6= 0, alors

•ou bien on est dans le cas (a) et alors x−y∈ Nf,

•ou bien on est dans le cas (b) et alors y∈ Ng. Autrement dit

{y∈R^N|Hx(y)6= 0} ⊂({x} − Nf)∪ Ng

qui est de mesure nulle dansR^N comme r´eunion de deux ensembles de mesure nulle. On vient donc de montrer que

pour toutx∈R^N\(N ∪supp(f) + supp(g)), Hx(y) = 0 p.p. eny∈R^N. Donc pour toutx∈R^N \(N ∪supp(f) + supp(g)) on a

f ? g(x) = Z

R^N

Hx(y)dy= 0.

Par cons´equent, la fonctionf ? g d´efinie p.p. surR^N est nulle p.p. sur l’ouvert R^N\supp(f) + supp(g)

ce qui implique l’inclusion

supp(f ? g)⊂supp(f) + supp(g).

Remarque 1.3.5 Soient f et g, deux fonctions mesurables d´efinies p.p. sur R^N et convolables. Si l’une de ces deux fonctions est `a support compact, alors

supp(f ? g)⊂supp(f) + supp(g). En effet, dans ce cas,

supp(f) + supp(g) = supp(f) + supp(g), comme le montre le lemme suivant

Lemme 1.3.6 Soient A ⊂R^N compact et B ⊂ R^N ferm´e. Alors A+B est ferm´e dansR^N.

D´emonstration.En effet, soit une suite (zn)n≥1de points deA+Bconvergeant verszdansR^N. Il s’agit de montrer quez∈A+B.

Commez_n∈A+B, il existe, pour toutn≥1, des pointsx_n∈Aety_n∈B tels quez_n=x_n+y_n. CommeAest compact dansR^N, il existe une sous-suite (x_nk)_k≥1de la suite (x_n)_n≥1qui converge vers une limite que l’on noterax∈A.

Alors

y_nk =z_nk−x_nk →z−x=:y lorsquen_k → ∞. CommeB est ferm´e,y∈B. Par cons´equent

z=x+y avecx∈Aety∈B d’o`u z∈A+B.

On sait que le produit usuel de fonctions `a valeurs r´eelles ou complexes h´erite des propri´et´es de r´egularit´e de l’ensemble de ses facteurs. Ainsi, pour f, g ∈ C^k(Ω), le produit f g: x7→f(x)g(x) est de classe C^k sur Ω. Par comparaison, le produit de convolution a ceci de remarquable qu’il h´erite de la r´egularit´e d’un seul de ses facteurs.

En voici une premi`ere manifestation.

Proposition 1.3.7 (Continuit´e de la convolutionCc? L¹_loc) Pour toute fonc- tionφ∈Cc(R^N)et f ∈L¹_loc(R^N), la fonctionφ ? f est continue surR^N.

D´emonstration.En effet, soientx₀∈R^N et η >0 ; on va montrer que, pour toute suite (x_n)_n≥1 telle que

x_n∈B(0, η) pour toutn≥1 etx_n→x₀ pourn→ ∞, on a

φ ? f(xn)→φ ? f(x0) pourn→ ∞, ce qui ´etablira la continuit´e deφ ? f enx₀.

NotonsK= supp(φ) et posons

K˜η ={a−b| |a| ≤η et b∈K};

´

evidemment ˜Kη est compact par construction comme image deB(0, η)×K qui est compact par l’application continue (a, b)7→a−b.

On d´efinit alors

Fn(y) =φ(xn−y)f(y) et on remarque que

Fn(y) = 0 poury /∈K˜η, carφest `a support dansK etxn∈B(0, η).

Commef est mesurable etφcontinue,Fn est mesurable pour toutn≥0 et Fn(y)→φ(x0−y)f(y) p.p. eny∈R^N lorsquen→ ∞.

Enfin

|Fn(y)| ≤C|f(y)| p.p. eny∈K˜η

en notant

C= sup

z∈R^N

|φ(z)|= max

z∈K|φ(z)|<∞. Par convergence domin´ee, on conclut que

φ ? f(x_n) = Z

R^N

F_n(y)dy→ Z

R^N

φ(x₀−y)f(y)dy=φ ? f(x₀)

lorsquen→ ∞.

Le r´esultat ci-dessous va encore plus loin et permet de deviner l’int´erˆet de la notion de produit de convolution pour la r´egularisation des fonctions.

Proposition 1.3.8 (R´egularit´e de la convolution C_c^∞? L¹_loc) Pour toute fonc- tionφ∈C_c^∞(R^N)et toutf ∈L¹_loc(R^N), le produit de convolutionφ ? f appar- tient `aC^∞(R^N), et on a

∂^α(φ ? f) = (∂^αφ)? f , pour toutα∈N^N. De mˆeme

φ∈C_c^m(R^N) etf ∈L¹_loc(R^N)⇒φ ? f ∈C^m(R^N).

D´emonstration.Pourx0∈R^N etη >0, on consid`ere la fonction mesurable F : B(x0, η)×K˜η3(x, y)7→φ(x−y)f(y)∈R,

o`u on rappelle que

K˜η ={a−b| |a| ≤η et b∈K}, avecK= supp(φ) comme ci-dessus.

Pour presque tout y ∈ K˜_η, la fonction x 7→ F(x, y) est de classe C^∞ sur B(x₀, η), et, pour tout multi-indiceα∈N^N, on a

|∂_x^αF(x, y)|=|∂^αφ(x−y)f(y)| ≤C_α|f(y)|

pour tout (x, y)∈B(x0, η)×( ˜Kη\N), o`uN est un ensemble n´egligeable ´eventuel sur lequel la fonction localement int´egrablef n’est pas d´efinie, et o`u

Cα= sup

z∈R^N

|∂^αφ(z)|= max

z∈K|∂^αφ(z)|<∞.

Comme la fonction f est localement int´egrable, sa restriction au compact ˜Kη

est int´egrable et on d´eduit du th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme² que la fonction

x7→

Z

K˜_η

F(x, y)dy=φ ? f(x)

2Th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme.Soit U ouvert deRⁿ et soit une fonctionf:U×R^N→Cv´erifiant

(a) pour toutx∈U, la fonctiony7→f(x, y) est sommable surR^N;

(b) il existeN ⊂R^Nn´egligeable dansR^N et une fonctionF :R^N →R+ sommable tels que, pour touty∈R^N\ N, la fonctionx7→f(x, y) soit de classeC¹surUet que l’on ait

|∂x_kf(x, y)| ≤F(y) pour tout (x, y)∈U×(R^N\ N) et toutk= 1, . . . , n.

Alors la fonction

x7→

Z

R^N

f(x, y)dy est de classeC¹ surUet on a

∂x_k

Z

R^N

f(x, y)dy= Z

R^N

∂x_kf(x, y)dy pour toutx∈Uet toutk= 1, . . . , n.

Pour une d´emonstration, cf. cours de P. Colmez, chapitre IV.1.2.

admet des d´eriv´ees partielles de tous ordres surB(x₀, η), avec

∂^α(φ ? f) = (∂^αφ)? f surB(x₀, η).

En particulier, φ ? f est de classe C^∞ sur B(x0, η), d’o`u la proposition, puisque x₀ etη >0 sont arbitraires.

Avant de passer `a l’´etude du proc´ed´e de r´egularisation proprement dit, nous concluons cette section avec quelques r´esultats compl´ementaires sur la convolu- tion des fonctions.

D’abord, il s’agit d’un produit associatif, ce qui permet de d´efinir par r´ecur- rence le produit de convolution d’un nombre arbitrairende fonctions dontn−1 sont continues `a support compact dansR<sup>N</sup> et la derni`ere localement int´egrable.

Proposition 1.3.9 (Associativit´e de la convolution) Soient deux fonctions f, g∈C_c(R^N)eth∈L¹_loc(R^N). Alors

f ?(g ? h) = (f ? g)? h .

D´emonstration.Tout d’abord, chaque membre de cette ´egalit´e a bien un sens.

En effet, au membre de gauche,g?h∈C(R^N) d’apr`es la Proposition 1.3.7. C’est donc une fonction localement int´egrable, de sorte que f ?(g ? h) est bien d´efini puisque f ∈C<sub>c</sub>(R<sup>N</sup>). Au membre de droite,f ? g est une fonction continue `a support compact d’apr`es la Proposition 1.3.7 et la majoration du support de la Proposition 1.3.4 : alors, (f ? g)? h est bien d´efinie puisqueh∈L¹_loc(R^N).

On a

f ?(g ? h)(x) = Z

R^N

f(x−y) Z

R^N

g(y−z)h(z)dz

dy

= Z

{x}−A

f(x−y) Z

{y}−B

g(y−z)h(z)dz

! dy

= Z

R^N

f(x−y) Z

{x}−(A+B)

g(y−z)h(z)dz

! dy o`uA= supp(f) etB= supp(g) sont tous deux compacts, et o`u on note

E−F ={u−v|u∈E etv∈F}, de sorte que

{y} −B⊂ {x} −(A+B) puisquey∈ {x} −A . Posons alors

H(z) =1_{x}−(A+B)(z)h(z), z∈R^N.

Comme{x} −(A+B) est compact, la fonction H est int´egrable. Donc f ?(g ? h)(x) =

Z

R^N

f(x−y) Z

R^N

g(y−z)H(z)dz

dy

= Z

R^N

H(z) Z

R^N

f(x−y)g(y−z)dy

dz

d’apr`es le th´eor`eme de Fubini appliqu´e `a la fonction (y, z)7→f(x−y)g(y−z)H(z)

qui est sommable surR². Faisons ensuite le changement de variablesy−z=w: f ?(g ? h)(x) =

Z

R^N

H(z) Z

R^N

f(x−z−w)g(w)dw

dz

= Z

R^N

H(z)(f ? g)(x−z)dz

= Z

{x}−(A+B)

h(z)(f ? g)(x−z)dz= Z

R^N

h(z)(f ? g)(x−z)dz . (En effet la majoration du support d’un produit de convolution donn´ee dans la Proposition 1.3.4 montre quef ? g(x−z) = 0 siz /∈ {x} −(A+B), d’o`u on tire la derni`ere ´egalit´e.) Comme la derni`ere int´egrale vaut pr´ecis´ement (f ? g)? h(x), le r´esultat est d´emontr´e.

Rappelons enfin l’in´egalit´e suivante, qui est l’outil fondamental permettant d’estimer un produit de convolution dans les espacesL^p de Lebesgue.

Th´eor`eme 1.3.10 (In´egalit´e de Hausdorff-Young) Soient p, q, r ∈ [1,∞]

tels que

1 p+1

q = 1 +1

r, avec la convention1/∞= 0, et soientf ∈L^p(R^N) etg∈L^q(R^N).

Alorsf etg sont convolables surR^N etf ? g∈L^r(R^N).

De plus,f ? g v´erifie l’in´egalit´e

kf ? gk_Lr(R^N)≤ kfk_Lp(R^N)kgk_Lq(R^N). D´emonstration.Distinguons 4 cas.

1er cas : supposons que ¹_p +¹_q = 1, de sorte que 1

r =1 p+1

q−1 = 0, d’o`ur=∞. Pour toutx∈R^N, la fonction

y7→f(x−y) appartient `aL^p(R^N). Donc, pour toutx∈R^N, l’application

y7→f(x−y)g(y) appartient `aL¹(R^N)

d’apr`es l’in´egalit´e de H¨older — cf. dans l’Appendice de ce chapitre, Th´eor`eme 1.5.1 — ce qui montre quef et g sont convolables, et que, pour toutx∈R^N,

l’on a

|f ? g(x)|= Z

R^N

f(x−y)g(y)dy

≤ Z

R^N

|f(x−y)||g(y)|dy

≤ kf(x− ·)k_Lp(R^N)kgk_Lq(R^N)=kfk_Lp(R^N)kgk_Lq(R^N), d’o`u

kf ? gk_L∞(R^N)≤ kfk_Lp(R^N)kgk_Lq(R^N).

2`eme cas : supposons quep=q= 1, de sorte quer= 1 puisque 1

r =1 p+1

q−1 = 1. Soient f, g∈L¹(R^N) ; alors la fonction

(X, Y)7→f(X)g(Y) appartient `aL¹(R^N×R^N). Effectuons le changement de variables

X=x−y , Y =y , de jacobien D(X, Y) D(x, y) =

1 −1

0 1

= 1.

Alors la fonction (x, y)7→f(x−y)g(y) appartient ´egalement `aL¹(R^N ×R^N).

D’apr`es le th´eor`eme de Fubini, la fonction

y7→f(x−y)g(y) appartient `a L¹(R^N) p.p. enx∈R^N de sorte que f etg sont convolables. De plus

Z

R^N

Z

R^N

f(x−y)g(y)dy

dx≤ Z

R^N

Z

R^N

|f(x−y)||g(y)|dydx

= Z

R^N

Z

R^N

|f(X)||g(Y)|dXdY

=kfk_L1(R^N)kgk_L1(R^N).

3`eme cas : supposons quep= 1 et 1< q=r <∞. D’apr`es le 2`eme cas, la fonction

y7→ |f(x−y)|^1/q|g(y)|appartient `aL^q(R^N) p.p. enx∈R^N, tandis que la fonction

y7→ |f(x−y)]^1−1/q appartient `a L<sup>q0</sup>(R<sup>N</sup>) pour toutx∈R<sup>N</sup>, en notantq<sup>0</sup> =<sub>q−1</sub><sup>q</sup> . D’apr`es l’in´egalit´e de H¨older, la fonction

y7→ |f(x−y)||g(y)|=|f(x−y)]^1−1/q|f(x−y)|^1/q|g(y)|

appartient donc `a L¹(R^N) pour presque toutx∈R^N, de sorte que f etg sont convolables, et on a

Z

R^N

|f(x−y)|^1/q|g(y)||f(x−y)]^1−1/qdy q

≤ Z

R^N

|f(x−y)||g(y)|^qdy Z

R^N

|f(x−y)]^q0(1−1/q)dy q/q⁰

=|f|?|g|^q(x)kfk^q−1_L1(R^N).

En appliquant l’in´egalit´e de Hausdorff-Young dans le cas d´ej`a ´etabli o`up=q= r= 1 au produit de convolution|f|?|g|^p, on trouve donc que

kf ? gk^q_Lq(RN)= Z

R^N

Z

R^N

f(x−y)g(y)dy

q

dx

≤ kfk^q−1_L1(R^N)

Z

R^N

|f|?|g|^q(x)dx

=kfk^q−1_L1(RN)kfk_L1(R^N)kgk^q_Lq(RN)=kfk^q_L1(RN)kgk^q_Lq(RN) . 4`eme cas : supposons enfin que 1< p, q, r <∞v´erifient

1 +1 r =1

p+1 q. D’apr`es le 2`eme cas, la fonction

y7→ |f(x−y)|^p/r|g(y)|^q/r appartient `aL^r(R^N) p.p. enx∈R^N, tandis que

y7→ |f(x−y)|^1−p/r appartient `a L<sup>rp/r−p</sup>(R<sup>N</sup>) pour toutx∈R<sup>N</sup>, y7→ |g(y)|<sup>1−q/r</sup> appartient `a L^rq/r−q(R^N).

Remarquons en effet que 1 r =1

p+ 1

q−1

<1 p, de sorte que

1< p < r , et de mˆeme 1< q < r .

Appliquons l’in´egalit´e de H¨older `a trois termes — cf. Appendice de ce chapitre, Corollaire 1.5.2 — avecn= 3,p₁=r,p₂=_r−p^rp et p₃= _r−q^rq , de sorte que

1 p1

+ 1 p2

+ 1 p3

=1 r+

1 p−1

r

+ 1

q−1 r

= 1 p+1

q −1 r = 1. On en d´eduit que la fonction

y7→ |f(x−y)||g(y)|=|f(x−y)|^1−p/r|f(x−y)|^p/r|g(y)|^q/r|g(y)|^1−q/r

appartient `a L¹(R^N) p.p. en x∈R^N, de sorte que f et g sont convolables, et que

Z

R^N

|f(x−y)|^p/r|g(y)|^q/r|f(x−y)|^1−p/r|g(y)|^1−q/rdy ^r

≤(|f|^p?|g|^q(x))kfk^r−p_Lp(RN)kgk^r−q_Lq(RN).

Appliquant l’in´egalit´e de Hausdorff-Young dans le cas d´ej`a ´etabli o`u p=q = r= 1 au produit de convolution|f|^p?|g|^q, on trouve finalement que

kf ? gk^r_Lr(R^N)= Z

R^N

Z

R^N

|f(x−y)|^p/r|g(y)|^q/r|f(x−y)|^1−p/r|g(y)|^1−q/rdy ^r

dx

≤ kfk^r−p_Lp(R^N)kgk^r−q_Lq(R^N)

Z

R^N

|f|^p?|g|^q(x)dx

≤ kfk^r−p_Lp(R^N)kgk^r−q_Lq(R^N)kfk^p_Lp(R^N)kgk^q_Lq(R^N)

=kfk^r_Lp(R^N)kgk^r_Lq(R^N)

ce qui conclut la d´emonstration.

Remarque 1.3.11 Sif ∈L^p(R^N)etg∈L^p0(R^N)avec ¹_p+_p¹0 = 1(en conve- nant que 1/∞ = 0), alors f ? g ∈ L^∞(R^N) d’apr`es l’in´egalit´e de Hausdorff- Young. En fait, on a un r´esultat plus pr´ecis : la fonctionf ? g est uniform´ement continue et born´ee surR^N. Voir Exercice 4.

1.3.2 R´ egularisation par convolution

Pr´esentons d’abord la notion de suite r´egularisante.

D´efinition 1.3.12 (Suites r´egularisantes) On appelle suite r´egularisante (ou approximation de l’identit´e) une famille(ζ)0<<₀ de fonctions d´efinies surR^N v´erifiant les propri´et´es suivantes : pour tout∈]0, 0[

ζ∈C^∞(R^N), supp(ζ)⊂B(0, r), ζ≥0, et Z

R^N

ζ(x)dx= 1, o`u on a suppos´e que

r→0 lorsque→0⁺.

Voici comment construire un exemple de suite r´egularisante. On part de la fonctionH d´efinie comme dans la section pr´ec´edente. Remarquons queH ≥0 surR^N et queH >0 surB(0,1), de sorte que

Z

R^N

H(x)dx >0. On d´efinit une fonctionζen posant

ζ(x) = H(x) Z

R^N

H(z)dz

pour toutx∈R^N.

Il est clair que ζ∈C^∞(R^N) et que supp(ζ) =B(0,1) (puisqueH ∈C^∞(R^N) et supp(H) =B(0,1)) ; de plus, on aζ≥0 et

Z

R^N

ζ(x)dx= 1. Posons alors, pour tout >0

ζ(x) = 1 ^Nζx

;

on v´erifie facilement que (ζ)>0est une suite r´egularisante surR^N, avecr=. Voici une premi`ere application de la notion de suite r´egularisante.

Th´eor`eme 1.3.13 (Densit´e de C_c^∞(R^N) dans C_c(R^N)) Soit f ∈ C_c(R^N), et soit (ζ)0<<₀ suite r´egularisante. Alors

ζ? f∈C_c^∞(R^N)etζ? f →f uniform´ement surR^N lorsque→0⁺.

D´emonstration.Supposons que supp(f)⊂B(0, R) ; alors

supp(ζ? f)⊂B(0, R) +B(0, r)⊂B(0, R+r) pour tout∈]0, 0[, d’apr`es la Proposition 1.3.4.

D’autre part, d’apr`es la Proposition 1.3.8, la fonctionζ? f ∈C^∞(R^N) pour tout∈]0, 0[.

Enfin, en utilisant la commutativit´e du produit de convolution (cf. Proposi- tion 1.3.2), on a

ζ? f(x)−f(x) = Z

R^N

ζ(y)f(x−y)dy−f(x)

= Z

R^N

ζ(y)(f(x−y)−f(x))dy

car Z

R^N

ζ(y)dy= 1.

Par cons´equent, commeζ≥0 est `a support dansB(0, r)

|ζ? f(x)−f(x)| ≤ Z

R^N

ζ(y)|f(x−y)−f(x)|dy

≤ sup

|y|≤r

|f(x−y)−f(x)|

Z

B(0,r)

ζ(y)dy

= sup

|y|≤r

|f(x−y)−f(x)|.

Or f est continue `a support compact, et donc uniform´ement continue sur R^N : par cons´equent, commer→0 lorsque→0⁺,

sup

x∈R^N,|y|≤r

|f(x−y)−f(x)| →0 lorsque→0⁺. On en d´eduit alors que

sup

x∈R^N

|ζ? f(x)−f(x)| →0 lorsque →0⁺.

Th´eor`eme 1.3.14 (Densit´e de C_c^∞(R^N)dans L^p(R^N)) Soit f ∈ L^p(R^N) avec 1≤p <∞. Alors

a) pour toute suite r´egularisante(ζ)_0<<0, on a

kf−ζ? fk_Lp(R^N)→0 lorsque→0⁺; b) pour tout η >0, il existe une fonction fη∈C_c^∞(R^N)telle que

kf−f_ηk_Lp(R^N)≤η .

Comme nous l’avons rappel´e plus haut, l’ensemble des fonctions continues surR^N `a support compact est dense dansL^p(R^N) pour 1≤p <∞. Mais pour p=∞, ce n’est pas le cas : Cc(R^N) n’est pas dense dansL^∞(R^N) (puisque la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est une fonction continue).

Donc, en particulier, C_c^∞(R^N) n’est pas dense dansL^∞(R^N).

D´emonstration.Par densit´e deC_c(R^N) dans L^p(R^N), ´etant donn´eη > 0, il existeφ∈C_c(R^N) telle que

kf−φk_Lp(R^N)<¹₂η .

Puis, d’apr`es le Th´eor`eme 1.3.13, si (ζ)0<<₀ est une suite r´egularisante sup

x∈R^N

|ζ? φ(x)−φ(x)| →0 lorsque→0⁺.

Or supp(φ) est compact ; soit donc R > 0 tel que supp(φ) ⊂B(0, R) de sorte que

supp(ζ? φ)⊂B(0, R) +B(0, r) =B(0, R+r),

d’apr`es la Proposition 1.3.4 et le Lemme 1.3.6. Alors, grˆace `a l’in´egalit´e de H¨older (voir Appendice de ce chapitre, Th´eor`eme 1.5.1)

kζ? φ−φk_Lp(R^N)≤ sup

x∈R^N

|ζ? φ(x)−φ(x)||B(0, R+ sup

0<<0

r₀)|^1/p→0 lorsque→0⁺.

Pour d´emontrer le b), on choisit >0 assez petit pour que kζ? φ−φkL^p(R^N)< ¹₂η

et on posef_η =ζ? φ: ainsi

kf−fηk_Lp(R^N)≤ kf−φk_Lp(R^N)+kφ−ζ? φk_Lp(R^N)< η . D’autre part

ζ? φ∈C^∞(R^N) est `a support dansB(0, R+ sup

0<<₀

r₀), ce qui ´etablit le b).

Pour d´emontrer le a), on ´ecrit que kf−f ? ζk_Lp(R^N)

≤ kf−φk_Lp(R^N)+kφ−ζ? φk_Lp(R^N)+kζ? φ−ζ? fk_Lp(R^N)

≤(1 +kζk_L1(R^N))kf−φk_Lp(R^N)+kφ−ζ? φk_Lp(R^N)

=η+kφ−ζ? φkL^p(R^N)

d’apr`es l’in´egalit´e de Hausdorff-Young (Th´eor`eme 1.3.10). Or on a vu que kφ−ζ? φk_Lp(R^N)→0, lorsque→0⁺.

Prenant la limite sup´erieure de chaque membre de cette in´egalit´e pour→0⁺, on trouve que

lim

→0⁺kf −f ? ζk_Lp(R^N)≤η

et comme ceci vaut pour tout η >0, il s’ensuit que le membre de gauche de cette in´egalit´e, qui est un nombre ind´ependant deη, est nul, ce qui ´etablit le a).

1.4 Partitions de l’unit´ e

Dans de nombreuses situations, il est tr`es important de pouvoir ´etudier cer- taines propri´et´es de r´egularit´e d’une fonction (ou mˆeme, comme on le verra plus loin, d’une distribution) apr`es l’avoir localis´ee dans une partie de l’espace. En- core faut-il que le processus de localisation ne modifie pas la r´egularit´e de la fonction en question. Pour ce faire, il faut donc disposer de fonctions `a support compact dans un ouvert Ω deR^N et valant identiquement 1 sur un compact de Ω.

Voici un premier r´esultat dans ce sens.

Lemme 1.4.1 (Fonctions plateaux) Soient Ω ouvert de R^N et K compact inclus dansΩ. Il existe une fonction φde classe C^∞ sur R^N v´erifiant

0≤φ≤1, supp(φ)compact ⊂Ω, et φ= 1sur un voisinage de K.