Distributions homog` enes

Pour toutλ∈R^∗, on noteraMλ l’homoth´etie deR^N de rapportλ: Mλ: R^N 3x7→λx∈R^N.

Soit Ω un cˆone ouvert deR^N — c’est `a dire un ouvert deR^N tel que Mλ(Ω)⊂Ω pour toutλ >0.

D´efinition 3.5.1 (Distribution homog`ene de degr´eβ) On dira qu’une dis-tribution T ∈ D<sup>0</sup>(Ω) est homog`ene de degr´e β si, pour tout λ >0,

T◦M_λ=λ^βT dansD⁰(Ω).

Cette d´efinition ´etend ´evidemment au cas des distributions la d´efinition usuelle pour les fonctions : en effet, une fonctionf : Ω→Rest dite homog`ene de degr´eβ si, pour toutλ >0

f(λx) =λ^βf(x), x∈Ω.

Les distributions homog`enes interviennent tr`es souvent dans les applications physiques, car la relation d’homog´en´eit´e traduit comment varie une quantit´e physique lors d’un changement d’unit´e ou d’´echelle.

Commen¸cons par quelques exemples importants de distributions homog`enes.

Exemple 3.5.2 (Fonctions homog`enes de L<sup>1</sup><sub>loc</sub>) Toute fonction homog`ene f de degr´eβ sur R^N\ {0} se met sous la forme

f(x) =|x|^βf x

|x|

, x6= 0

de sorte qu’une fonction continue homog`ene non identiquement nulle de degr´eβ est localement int´egrable sur R^N — et d´efinit donc une distribution sur R^N— si et seulement si β >−N.

En effet, la restriction de la fonction continuef `a la sph`ere unit´e, qui est un compact deR^N, est donc born´ee, de sorte que

|f(x)| ≤C|x|^β, avecC= max

|y|=1|f(y)|. D’autre part, en passant en coordonn´ees sph´eriques, on voit que

Z

B(0,R)

|f(x)|dx= Z R

0

r^β+N−1dr Z

S^N−1

|f(y)|dσ(y)

o`u dσ est l’´element de surface surS^N−1 orient´ee par le champ radial x7→ _|x|^x. Donc, si

Z

B(0,R)

|f(x)|dx <∞

c’est que

Z R 0

r^β+N−1dr <∞ce qui ´equivaut `aβ >−N , faute de quoi

Z

S^N−1

|f(y)|dσ(y) = 0, de sorte que f = 0 surR^N.

Exemple 3.5.3 (La masse de Dirac et ses d´eriv´ees) On a d´ej`a vu que δ0◦Mλ=λ^−Nδ0 dansD⁰(R^N)pourλ >0,

de sorte que la masse de Dirac `a l’origine de R<sup>N</sup> est homog`ene de degr´e−N.

De mˆeme, pour tout multi-indice α∈N^N et toutφ∈C_c^∞(R^N) h(∂^αδ0◦Mλ), φi=h∂^αδ0, λ^−Nφ(·/λ)i

= (−1)^|α|hδ0, λ^−N∂^α(φ(·/λ))i

= (−1)^|α|hδ0, λ^−N−|α|(∂^αφ) (·/λ)i

= (−1)^|α|λ^−N−|α|∂^αφ(0) =λ^−N−|α|h∂^αδ₀, φi de sorte que

(∂^αδ0)◦Mλ=λ^−N−|α|∂^αδ0 dansD⁰(R^N)pourλ >0.

Autrement dit, la distribution∂^αδ₀ est homog`ene de degr´e−N− |α| dansR^N. En r´ealit´e, le cas des d´eriv´ees d´ecoule de l’´enonc´e g´en´eral suivant :

Proposition 3.5.4 (Homog´en´eit´e et d´erivation) SoitΩcˆone ouvert deR^N et T distribution homog`ene de degr´eβ sur Ω. Alors, pour tout j= 1, . . . , N, la distribution

∂x_jT est homog`ene de degr´eβ−1.

Plus g´en´eralement, pour tout multi-indice α∈N^N, la distribution

∂_x^αT est homog`ene de degr´eβ− |α|.

D´emonstration.Le premier ´enonc´e entraˆıne le second par une r´ecurrence tri-viale.

D´emontrons donc ce premier ´enonc´e. Pour toutj= 1, . . . , N, on a h ∂x_jT

◦Mλ, φi=h∂x_jT, λ^−Nφ(·/λ)i

=−hT, λ^−N∂x_j(φ(·/λ))i

=−hT, λ^−N−1 ∂_xjφ (·/λ)i

=−λ⁻¹hT◦Mλ, ∂x_jφi

=−λ⁻¹hλ^βT, ∂_xjφi=λ^β−1h∂xjT, φi, φ∈C_c^∞(Ω).

d’o`u

∂_xjT

◦M_λ=λ^β−1∂_xjT .

Voici un autre exemple important de distribution homog`ene de degr´e−1 sur R.

Exemple 3.5.5 (Homog´en´eit´e devp¹_x) La distributionvp¹_xest ´evidemment homog`ene de degr´e−1 sur R.

(Cela se voit facilement sur la formule

Dans le mˆeme ordre d’id´ees, Hadamard a propos´e une mani`ere de renorma-liser certaines int´egrales divergentes, ce qui permet de d´efinir les monˆomes de puissances non enti`eres comme des distributions sur la droite r´eelle.

Exemple 3.5.6 (Parties finies d’Hadamard) Pour toutx∈Ret pour tout a∈C, on pose

x^a₊ =x^a six >0, x^a₊= 0 six≤0.

Consid´erons maintenant pour touta∈Rla fonctionx7→x^a₊. Cette fonction est

´

evidemment continue surR^∗et homog`ene de degr´easurR. Elle est donc locale-ment int´egrable surRpoura >−1, et d´efinit donc dans ce cas une distribution sur R.

Dans le cas o`ua <−1 n’est pas un entier, on d´efinit une distribution not´ee pfx^a₊ sur D⁰(R)en posant

Il faut v´erifier que cette d´efinition est ind´ependante dek. L’id´ee d’Hadamard est la suivante : consid´erons, pour tout >0, l’int´egrale

Z ∞

x^aφ(x)dx

et int´egrons par partieskfois, tenant compte du fait que φest `a support com-pact dansR, de sorte que les seuls termes de bord qui interviennent sont ceux correspondant `a x=. On a donc ainsi

Cette identit´e s’´ecrit encore

en rempla¸cant chacun des termes de la formeφ^(j)() par son d´eveloppement de Taylor `a l’ordrek−j en= 0.

L’int´egrale ci-dessus se d´ecompose donc en sa partie singuli`ere S[φ] =

Comme la somme figurant au membre de droite de l’identit´e ci-dessus tend vers 0 avec , on en d´eduit que pour tout entier k >−a−1, ce qui montre que la d´efinition de la distribution pfx^a₊ est bien ind´ependante dek.

Toutefois, la m´ethode d’Hadamard expos´ee ci-dessus laisse de cˆot´e le cas des puissances n´egatives enti`eres — `a part le cas de 1/x, pour lequel on dispose de la valeur principale, mais la d´efinition de vp¹_x utilise de mani`ere cruciale le caract`ere impair de la fonction x7→ 1/x de sorte que ce proc´ed´e n’est pas g´en´eralisable aux puissances paires, non plus qu’aux fonctions du typex^a₊.

Une autre id´ee consiste `a “corriger” la distribution pfx^a₊ par un coefficient bien choisi.

Rappelons la d´efinition de la fonction Γ d’Euler : Γ(z) =

Z ∞ 0

e^−tt^zdt

t , <(z)>0.

Cette fonction se prolonge en une fonction m´eromorphe sur C avec des pˆoles simples aux entiers n´egatifs, et qui v´erifie la relation

Γ(z+ 1) =zΓ(z), z∈C\Z₋.

D’autre part, Γ ne s’annule en aucun point de C, de sorte que la fonction z7→ _Γ(z)¹ est holomorphe surC. (Voir le cours de P. Colmez, p. 109, Th´eor`eme VI.2.1.)

Rappelons ´egalement que

Γ(n+ 1) =n! pour toutn∈N^∗,

de sorte que Γ est un prolongement de la factorielle aux complexes qui ne sont pas des entiers n´egatifs ou nuls.

Exemple 3.5.7 (Distributions χ^a₊) Pour tout a∈C tel que <(a)>−1, on pose

χ^a₊(x) = x^a₊

Γ(a+ 1), x∈R.

Lorsque<a >−1, la fonction ci-dessus est localement int´egrable et d´efinit donc une distribution surR.

D’autre part, on v´erifie ais´ement grˆace `a la relation entreΓ(a+ 1) etΓ(a), que

χ^a₊0

=χ^a−1₊ dans D⁰(R^N)pour<(a)>0.

Ceci permet donc de prolongerχ^a₊ pour touta∈C de telle sorte que χ^a₊0

=χ^a−1₊ dansD⁰(R^N)pour touta∈C.

On v´erifie alors sans peine que (a) pour touta∈R\Z^∗₋, on a

χ^a₊= pfx^a₊ Γ(a+ 1); (le symbole pf ´etant ´evidemment inutile pour a >−1) ; (b) pour toute fonction testφ∈C_c^∞(R), la fonction

a7→ hχ^a₊, φiest holomorphe surC; (c) pour les valeurs enti`eres n´egatives dea, on a

χ⁰₊=1_R^∗

+ (fonction de Heaviside), χ⁻¹₊ =δ₀,

χ^−k₊ =δ₀^(k−1) sik >1.

(d) pour touta∈R, la distribution χ^a₊ est homog`ene de degr´eadansD⁰(R).

Dans la section 3.2.2, nous avons ´etudi´e les distributions obtenues comme valeurs de la fonction z 7→ 1/z sur l’axe r´eel vu comme bord des demi-plans sup´erieurs et inf´erieurs. Ceci sugg`ere de consid´erer plus g´en´eralement l’exemple des valeurs sur l’axe r´eel de fonctions du typez7→z^a.

Exemple 3.5.8 (Valeurs sur l’axe r´eel dez^a etpfx^a₊) Pour tout a ∈ C tel que<(a)>0, on a

(x+i0)^a= lim

→0⁺(x+i)^a=x^a₊+e^iπax^a₋, (x−i0)^a= lim

→0⁺(x−i)^a=x^a₊+e^−iπax^a₋, pour toutx∈R, o`u on a not´e

x^a₋ = 0six≥0 etx^a₋ =|x|^a six <0,

et o`u z^a = e^alnz, la notation ln d´esignant la d´etermination principale du lo-garithme, qui est holomorphe sur C\R₋ — cf. cours de P. Colmez, chapitre V.3.2. Ainsi, la fonctionz7→z^a est, elle aussi, holomorphe surC\R₋.

On en d´eduit que, pour touta∈Ctel que<(a)>0, on a e^+iπa(x−i0)^a−e^−iπa(x+i0)^a= 2isin(πa)x^a₊, x∈R.

Evidemment, cette identit´e ponctuelle, qui vaut pour toutx∈R, vaut aussi au sens des distributions sur R.

En d´erivant cette identit´e au sens des distributions, on trouve que, pour tout a∈C avec <(a)>0

e^+iπaa(x−i0)^a−1−e^−iπaa(x+i0)^a−1= 2isin(πa)ax^a−1₊ c’est `a dire, apr`es division par−a6= 0

e^+iπ(a−1)(x−i0)^a−1−e^{−iπ(a−1)}(x+i0)^a−1=−2isin(πa)x^a−1₊

= 2isin(π(a−1))x^a−1₊ dans D⁰(R) pour<(a)>0.

Puis, en d´erivant `a nouveau un nombre arbitraire de fois au sens des distribu-tions sur R, on trouve finalement que

e^+iπa(x−i0)^a−e^−iπa(x+i0)^a= 2isin(πa) pfx^a₊ dansD⁰(R)pour a∈C\Z₋. (Evidemment, le symbole pf n’est n´ecessaire que lorsque<(a)≤ −1.)

Il est int´eressant de voir ce que deviennent les identit´es ci-dessus lorsque a∈Z₋. Il faut alors utiliser les distributionsχ^a₊ introduites plus haut.

Exemple 3.5.9 (Valeurs sur l’axe r´eel dez^−k etχ^−k₊ ) Partons de l’iden-tit´e ´etablie dans l’exemple 3.2.14

1

En soustrayant membre `a membre ces deux identit´es, on voit que 1

x−i0 − 1

x+i0 = 2iπδ0= 2iπχ⁻¹₊ .

D´erivantk−1 fois chaque membre de cette ´egalit´e, on trouve que (−1)(−2). . .(−(k−1)) peut rassembler la formule ci-dessus et celle de l’exemple pr´ec´edent dans une seule identit´e, comme suit :

iΓ(−a) grˆace `a la “formule des compl´ements”

Γ(z)Γ(1−z) = π

sin(πz) pour toutz∈C\Z.

(Voir l’appendice de ce chapitre, ou bien le cours de P. Colmez, exercice VII.2.2.) D’autre part, pour a <0 entier, d’apr`es l’exemple pr´ec´edent

iΓ(−a)

Les exemples ci-dessus sont tous relatifs `a la dimension 1.

Etudions maintenant les distributions homog`enes en dimension quelconque.

On sait que toute fonction homog`ene de degr´eβ dans un ouvert conique Ω deR^N v´erifie la

Relation d’Euler

N

X

k=1

x_k∂_xkf =βf , sur Ω, relation que l’on peut encore ´ecrire sous la forme

div(xf) =

N

X

k=1

∂x_k(xkf) = (N+β)f , sur Ω. Rappelons bri`evement la d´emonstration de cette relation.

D´emonstration de la relation d’Euler. Commef est homog`ene de degr´e β sur l’ouvert conique Ω

f(λx) =λ^βf(x), pour toutx∈Ω etλ >0.

Comme la fonctionf est de classe C¹, on peut d´eriver chaque membre de cette

´

egalit´e par rapport `aλpour toutx∈Ω fix´e : d

dλf(λx) =∇f(λx)·(λx) =βλ^β−1f(x), λ >0. En particulier, en faisantλ= 1, on trouve que

d dλf(λx)

_λ=1=x· ∇f(x) =βf(x), x∈Ω,

qui est pr´ecis´ement la premi`ere forme ci-dessus de la relation d’Euler.

Cette relation vaut encore pour les distributions, comme on va le voir.

Proposition 3.5.11 (Relation d’Euler et distributions homog`enes) Soit Ωouvert conique deR<sup>N</sup> et soit T une distribution homog`ene de degr´eβ surΩ.

Alors

div (xT) = (N+β)T dansD⁰(Ω).

D´emonstration. Dire que T est homog`ene de degr´eβ sur Ω, c’est dire que, pour toute fonction testφ∈C_c^∞(Ω)

hT, φ(·/λ)i=λ^N+βhT, φi, pour toutλ >0.

Comme dans le cas de la d´emonstration de la relation d’Euler rappel´ee ci-dessus dans le cadre des fonctions de classe C¹, l’id´ee de la preuve consiste `a d´eriver chaque membre de l’´egalit´e ci-dessus par rapport `a λ et `a faireλ= 1. Mais la

fonction (x, λ)7→φ(x/λ) ne v´erifie pas les hypoth`eses de la Proposition 3.3.20 ; on va donc la tronquer par une fonction plateau bien choisie.

Soitθ: R^∗₊→Rune fonction de classeC^∞telle que θ

_[1/2,2]= 1, θ

]0,1/4]∪[4,∞[= 0, 0≤θ≤1. Consid´erons la fonctionψ∈C_c^∞(Ω×R^∗₊) d´efinie par

ψ(x, λ) =φ(x/λ)θ(λ), x∈Ω, λ >0. D’apr`es le th´eor`eme de d´erivation sous le crochet de dualit´e

hdiv(xT), φi=hT,−x· ∇φi

=hT, ∂λφ(·/λ) _λ=1i

=hT, ∂λ(φ(·/λ)θ(λ)) _λ=1i

=∂_λhT, ψ(·, λ)i _λ=1

=∂λ λ^N+βθ(λ) _λ=1hT, φi= (N+β)hT, φi, ce qui implique la relation d’Euler.

Une question qui se pose tr`es souvent dans la pratique est de savoir si une distribution homog`ene surR^N \ {0}se prolonge de fa¸con unique en une distri-bution homog`ene surR<sup>N</sup>. C’est ´evident pour une fonction continue homog`ene de degr´e> −N surR^N \ {0}, puisqu’une telle fonction d´efinit un ´el´ement de L¹_loc(R^N) — cf. Exemple 3.5.2 ci-dessus.

Proposition 3.5.12 (Prolongement en 0 des distributions homog`enes) Soit T distribution homog`ene de degr´e β sur R^N \ {0}. Si β >−N, il existe une unique distribution homog`ene surR^N de degr´eβ, not´eeT˙, telle que

T˙ _RN

\{0} =T . D´emonstration.Pour toutφ∈C_c^∞(R^N), on pose

R_βφ(x) = Z ∞

0

φ(rx)r^β+N−1dr , x∈R^N \ {0}. Soitχ∈C_c^∞(R^N \ {0}) telle que

Z ∞ 0

χ(tx)dt

t = 1, x∈R^N \ {0}. (On pourra prendreχ de la forme

χ(x) =cX(|x|) avec 0≤X∈C_c^∞(R^∗₊) non identiquement nulle, et d´efinir la constantec en posant

c Z ∞

0

X(t)dt t = 1.

Alors, pour tout r >0, on a

grˆace au changement de variabless=tr, d’o`u l’identit´e cherch´ee.) D´efinissons ˙T par la formule

hT , φi˙ =hT, χR_βφi, φ∈C_c^∞(R^N). Que ˙T soit une distribution surR^N se v´erifie sans difficult´e.

D’autre part, pour toutφ∈C_c^∞(R^N \ {0}), on a

V´erifions que ˙T est une distribution homog`ene de degr´eβ. Pour toute fonc-tionφ∈C_c^∞(R) et toutλ >0, on a grˆace au changement de variabless=r/λ. Donc

hT˙ ◦M_λ, φi=hT, λ^−NχR_βφ(·/λ)i=hT, λ^βχR_βφh=λ^βhT , φi˙ d’o`u ˙T◦Mλ=λ^βT˙.

Montrons enfin que ce prolongement est unique. S’il en existait un autre, di-sons ¨T, la diff´erenceS= ˙T−T¨serait alors une distribution homog`ene de degr´e β > −N dans R<sup>N</sup> dont la restriction `a R^N \ {0} est nulle. On en d´eduirait, d’apr`es le lemme ci-dessous, que S = 0, d’o`u l’unicit´e du prolongement ho-mog`ene.

Lemme 3.5.13 SoitS distribution homog`ene de degr´eβ >−N sur R<sup>N</sup>, dont la restriction `aR^N \ {0}est nulle. AlorsS= 0.

D´emonstration.Soitθ∈C_c^∞(R₊) telle que θ

_[0,1]= 1, θ

[2,+∞[= 0, 0≤θ≤1. Pour toutφ∈C_c^∞(R^N) et tout entiern≥2, on d´ecompose

φ=ψn+χn avecψn(x) =θ(2ⁿ|x|)φ(x). Donc

hSφi=hS, ψni+hS, χni

=hS, ψni+hS _RN

\{0}, χni=hS, ψni puisque

χ_n(x) = (1−θ(2ⁿ|x|))φ(x) = 0 pour|x| ≤2⁻ⁿ. Puis, comme S est homog`ene de degr´eβ, pour toutλ >0

hS, ψni=hS◦M_λ, λ^−βψ_ni=hS, λ^−β−Nψ_n(·/λ)i. Choisissonsλ= 2ⁿ; on trouve alors que

hS, ψ_ni= 2^−(N+β)nhS, θφ(·/2ⁿ)i.

Or, pour toutn≥2, la suite de fonctions testx7→θ(|x|)φ(x/2ⁿ) est `a support dansB(0,2), et

M(α, n) := sup

|x|≤2

|∂_x^α(θ(|x|)φ(x/2ⁿ))|

est, pour toutα∈N^N, une suite born´ee lorsque n→ ∞. Donc

|hS, θφ(·/2ⁿ)i| ≤Cmax

|α|≤pM(α, n)

est une suite born´ee lorsquen → ∞. Comme d’autre part N +β > 0, on en d´eduit que

2^−(N+β)nθφ(·/2ⁿ)→0 dansC_c^∞(R^N)

lorsquen→ ∞. Par continuit´e s´equentielle de la distribution S — cf. Proposi-tion 3.2.10 — on en d´eduit que

hS, ψni= 2^−(N+β)nhS, θφ(·/2ⁿ)i →0 pourn→ ∞, de sorte que

hS, φi= lim

n→∞hS, ψni= 0.

On verra, au chapitre suivant (apr`es la preuve du Th´eor`eme 4.1.7) une d´emonstration beaucoup plus simple de ce lemme, mais qui utilise la notion de support d’une distribution — et surtout la structure des distributions `a sup-port dans un singleton — notion que nous n’avons pas encore pr´esent´ee.

En revanche, une distribution homog`ene surR<sup>N</sup> \ {0} de degr´e −N ne se prolonge pas forc´ement en une distribution homog`ene (de degr´e−N) sur R^N. Nous verrons pourquoi au chapitre suivant — cf. Proposition 4.1.8.

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