Equations de transport ` a coefficients variables

Dans de nombreuses situations, la vitesse de propagationvn’est pas constante, mais peut varier avec la position ou mˆeme avec le temps. (Pensons par exemple

`

a la propagation de la lumi`ere dans un milieu d’indice variable : la vitesse de la lumi`ere est inversement proportionnelle `a l’indice du milieu, et les rayons lumineux sont alors courb´es.)

On va donc ´etudier l’´equation de transport

∂tf(t, x) +V(t, x)· ∇xf(t, x) = 0, 0< t < T , x∈R^N,

o`u V : [0, T]×R<sup>N</sup> →R<sup>N</sup> est un champ de vecteurs admettant des d´eriv´ees partielles d’ordre 1 par rapport aux variablesxj pour j= 1, . . . , N et v´erifiant les hypoth`eses suivantes :

(H1) V et∇xV sont continues sur [0, T]×R^N,

et il existeκ >0 tel que

(H2) |V(t, x)| ≤κ(1 +|x|), pour tout (t, x)∈[0, T]×R^N. La notation∇_xV d´esigne, pour le champ de vecteursV, la matrice

∇_xV(t, x) =







∂x₁V1(t, x) . . . ∂x_NV1(t, x)

... ...

∂x₁VN(t, x) . . . ∂x_NVN(t, x)





.

Autrement dit, le j-`eme vecteur colonne de la matrice ∇<sub>x</sub>V est ∂<sub>xj</sub>V, d´eriv´ee partielle du champ de vecteursV par rapport `a laj-i`eme coordonn´ee dex, ce qui se traduit encore par la formule

(∇xV(t, x))ij =∂x_jVi(t, x), i, j= 1, . . . , N .

Comme le champ de vecteurs v´erifie l’hypoth`ese (H1), le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz entraˆıne l’existence locale d’une unique courbe int´egrale deV passant par le point x`a l’instantt. (Voir cours de C. Viterbo, Th´eor`eme 2.1.)

D´efinition 2.2.1 Soit γ la courbe int´egrale de V passant par x `a l’instant t, c’est `a dire la solution de

dγ

ds(s) =V(s, γ(s)), γ(t) =x .

On appellera la courbe deR×R^N param´etr´ee pars et d´efinie par s7→(s, γ(s))

“courbe caract´eristique de l’op´erateur ∂t+V · ∇xpassant par x`a l’instantt”.

On veut exploiter la notion de courbe caract´eristique pour l’op´erateur de transport `a coefficients variables∂<sub>t</sub>+V(t, x)· ∇x afin d’aboutir `a une formule semi-explicite pour les solutions de l’´equation

∂_tf(t, x) +V(t, x)· ∇_xf(t, x) = 0,

comme dans le cas o`u V = Const. ´etudi´e plus haut. Pour ce faire, on aura besoin de quelques propri´et´es fondamentales de ces courbes caract´eristiques, r´esum´ees dans la proposition suivante. (Dans le cas o`uV = Const. ces propri´et´es sont v´erifi´ees trivialement car l’´equation diff´erentielle donnant les courbes ca-ract´eristiques est r´esolue de mani`ere explicite.)

Proposition 2.2.2 (Flot caract´eristique) Supposons que le champ de vec-teurs V satisfait aux hypoth`eses (H1)-(H2).

Alors, pour tout (t, x) ∈ [0, T]×R^N, la courbe int´egrale s 7→ γ(s) de V passant par x`a l’instant t est d´efinie pour tout s∈[0, T]. Dans toute la suite, on notera s7→X(s, t, x)cette courbe int´egrale, c’est `a dire la solution de

∂sX(s, t, x) =V(s, X(s, t, x)), X(t, t, x) =x .

L’application X : [0, T]×[0, T]×R^N → R^N ainsi d´efinie, appel´ee flot ca-ract´eristique de l’op´erateur ∂t+V · ∇x, v´erifie les propri´et´es suivantes : (a) pour toust1, t2, t3∈[0, T] etx∈R³

X(t3, t2, X(t2, t1, x)) =X(t3, t1, x) ;

(b) pour tout j = 1, . . . , N, les d´eriv´ees partielles secondes ∂s∂x_jX(s, t, x) et

∂x_j∂sX(s, t, x)existent pour tout(s, t, x)∈]0, T[×]0, T[×R^N et se prolongent en des fonctions continues sur[0, T]×[0, T]×R^N; de plus, pour toutj= 1, . . . , N, on a

∂_s∂_xjX(s, t, x) =∂_xj∂_sX(s, t, x) pour tout(s, t, x)∈[0, T]×[0, T]×R^N; (c) pour tous s, t∈[0, T] l’application

X(s, t,·) : x7→X(s, t, x)

est unC¹-diff´eomorphisme deR^N sur lui-mˆeme pr´eservant l’orientation ; (d) le flotX appartient `aC¹([0, T]×[0, T]×R^N;R^N).

Avant de donner la d´emonstration de cette proposition, expliquons le rˆole de l’hypoth`ese (H2). Consid´erons le cas o`uN = 1 et o`uV(t, x) =x² : cet exemple ne v´erifie ´evidemment pas (H2). Alors le flot caract´eristique X de ∂_t+x²∂_x v´erifie

∂sX(s, t, x) =X(s, t, x)², X(t, t, x) =x .

Cette ´equation diff´erentielle s’int`egre explicitement : on trouve que X(s, t, x) = x

1−(s−t)x.

Ainsi, lorsque x > 0, la fonction X(s, t, x) n’est d´efinie que pour s < t+ ¹_x, tandis que, pourx <0, elle n’est d´efinie que pours > t−¹_x. Donc l’application (s, x)7→X(s, t, x) n’est d´efinie sur aucun voisinage de (t, x) de la forme [a, b]×R.

Autrement dit, l’hypoth`ese (H2) sert `a d´efinir le flotXde fa¸con globale — c’est

`

a dire pour toutttel que le champV(t,·) soit d´efini et de classeC¹.

D´emonstration. Soit (t, x) ∈ [0, T]×R^N et soit γ la solution maximale du probl`eme de Cauchy

dγ

ds(s) =V(s, γ(s)), γ(t) =x .

On notera I ⊂ [0, T] l’intervalle de d´efinition de γ, qui est ´evidemment un L’in´egalit´e de Gronwall¹implique alors que

|γ(s)| ≤(|x|+κT)e^κ|s−t|≤(|x|+κT)e^κT pour touts∈I .

Supposons que I 6= [0, T] : d’apr`es le “lemme des bouts” (voir cours de C.

Viterbo, Proposition 4.2), on aurait

|γ(s)| →+∞pours→inf(I)⁺ ou pours→sup(I)⁻.

Or ceci est exclu par l’in´egalit´e pr´ec´edente : donc la solution maximale γ est d´efinie surI= [0, T].

(a) Remarquons que, pour toust₁, t₂∈[0, T] et toutx∈R^N, les applications t37→X(t3, t2, X(t2, t1, x)) ett37→X(t3, t1, x)

sont deux courbes int´egrales de V passant par X(t2, t1, x) pour t3 = t2. Par unicit´e dans le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz, elles co¨ıncident donc sur leur intervalle maximal de d´efinition, c’est `a dire pour toutt3∈[0, T], d’o`u l’´egalit´e

D´emonstration.La fonctionψd´efinie par ψ(t) =A+B En int´egrant sur [0, t] chaque membre de cette in´egalit´e, on trouve que

lnψ(t)−lnψ(0) = lnψ(t)−lnA≤Bt d’o`u

φ(t)≤ψ(t)≤Ae^Bt, pour toutt≥0.

(b) D’apr`es le th´eor`eme de d´erivation des solutions d’´equations diff´erentielles par rapport `a la condition initiale (cf. cours de C. Viterbo Th´eor`eme 2.2, et Proposition 5.6), pour tout instant initial t ∈[0, T] fix´e l’application (s, x) 7→

X(s, t, x) admet une d´eriv´ee partielle∂_xjX(s, t, x) pour tout (s, x)∈[0, T]×R^N et toutj= 1, . . . , N. De plus, cette d´eriv´ee partielle est l’unique solution d´efinie pour touts∈[0, T] de l’´equation diff´erentielle lin´eaire

∂s∂x_jX(s, t, x) =∇xV(s, X(s, t, x))∂x_jX(s, t, x),

∂_xjX(t, t, x) =e_j

o`uejest lej-i`eme vecteur de la base canonique deR^N. Enfin la d´eriv´ee partielle (s, x)7→∂x_jX(s, t, x) est continue sur [0, T]×R^N pour toutj= 1, . . . , N.

On d´eduit alors de l’´equation diff´erentielle lin´eaire ci-dessus que, pour tout j= 1, . . . , N, la d´eriv´ee partielle seconde

(s, x)7→∂s∂x_jX(s, t, x) est continue sur [0, T]×R^N.

D’apr`es (H1) l’application partielle V(s,·) est de classe C¹ sur R^N, ainsi que l’application X(s, t,·), dont on a vu qu’elle admet des d´eriv´ees partielles

∂x_jX(s, t,·) continues sur R^N pour tout j = 1, . . . , N. Ainsi le membre de droite de l’´equation

∂sX(s, t, x) =V(s, X(s, t, x)), (s, x)∈]0, T[×R^N.

est-il de classe C¹ en la variable xet le th´eor`eme de d´erivation des fonctions compos´ees entraˆıne que, pour toutj= 1, . . . , N,

∂xj∂sX(s, t, x) =∇xV(s, X(s, t, x))∂xjX(s, t, x) =∂s∂xjX(s, t, x) pour tout (s, x)∈[0, T]×R^N — la deuxi`eme ´egalit´e ci-dessus ´etant pr´ecis´ement l’´equation diff´erentielle lin´eaire v´erifi´ee par la d´eriv´ee partielle∂xjX.

(c) D’apr`es le (b), pour tous s, t ∈ [0, T], l’application X(s, t,·) admet des d´eriv´ees partielles par rapport `a toutes les variables xj pour j = 1, . . . , N, et ces d´eriv´ees partielles sont continues en tout pointx∈R^N : donc l’application X(s, t,·) est de classeC¹surR^N.

Appliquons d’autre part le (a) avect3=t1=sett2=t, puis avect3=t1=t ett₂=s: on en d´eduit que

X(s, t,·) est une bijection deR^N surR^N d’inverseX(s, t,·)⁻¹=X(t, s,·). Comme la bijectionX(s, t,·) et son inverse X(t, s,·) sont de classeC¹surR^N, c’est unC¹-diff´eomorphisme deR^N sur lui-mˆeme.

Consid´erons enfin le d´eterminant jacobien

J(s, t, x) = d´et(∇xX(s, t, x)).

Le point (b) entraˆıne que l’applications7→J(s, t, x) est continue de [0, T] dans R; d’autre part J(t, t, x) = 1 et J(s, t, x) 6= 0 pour tout s ∈ [0, T], car c’est

le d´eterminant jacobien du diff´eomorphismeX(s, t,·). Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires implique alors que J(s, t, x) > 0 pour tout s ∈ [0, T], ce qui

´

equivaut `a dire que le diff´eomorphismeX(s, t,·) pr´eserve l’orientation deR<sup>N</sup>. (d) D’apr`es le (b), l’application (s, t, x) 7→ X(s, t, x) admet des d´eriv´ees par-tielles continues par rapport aux variables x_j pour tout j = 1, . . . , N et tout (s, t, x)∈[0, T]×[0, T]×R^N, ainsi ´evidemment que par rapport `a la variables puisque, par d´efinition,∂sX(s, t, x) =V(s, X(s, t, x)).

Montrons queX admet aussi une d´eriv´ee partielle continue par rapport `a la variablet. Pour (s, x)∈[0, T]×R^N fix´e, le pointX(s, t, x) est l’unique solution y(t) de l’´equation

F(t, y(t)) = 0 o`u on a pos´e

F(t, y) =X(t, s, y)−x .

L’application F : [0, T]×R^N 7→ R^N est de classe C¹, et, pour tout temps t ∈ [0, T], la matrice ∇yF(t, y) = ∇xX(t, s, y) est inversible — en effet, on a d´ej`a vu que d´et(∇yF(t, y)) =J(t, s, y)6= 0. D’apr`es le th´eor`eme des fonctions implicites (voir cours de C. Viterbo, Th´eor`eme 1.4), la solution t 7→ y(t) est donc d´erivable et on a

dy

dt(t) =−∇yF(t, y(t))⁻¹∂tF(t, y(t))

=−∇xX(t, s, X(s, t, x))⁻¹V(t, X(t, s, X(s, t, x)))

=−∇_xX(t, s, X(s, t, x))⁻¹V(t, x).

Cette derni`ere formule montre que l’application∂tX est ´egalement continue sur [0, T]×[0, T]×R^N.

Comme l’applicationXadmet des d´eriv´ees partielles continues en tout point de [0, T]×[0, T]×R^N, elle y est de classeC¹.

Expliquons maintenant comment on r´esout le probl`eme de Cauchy pour une

´

equation de transport `a coefficients variables grˆace `a la connaissance de son flot caract´eristique. Ainsi, le Th´eor`eme 2.2.3 ci-dessous se sp´ecialise en Th´eor`eme 2.1.2 lorsqueV = Const.

Th´eor`eme 2.2.3 Soit V un champ de vecteurs v´erifiant les hypoth`eses (H1) et (H2), et soitfⁱⁿ∈C¹(R^N). Alors le probl`eme de Cauchy pour l’´equation de transport

∂tf(t, x) +V(t, x)· ∇xf(t, x) = 0, 0< t < T , x∈R^N, f(0, x) =fⁱⁿ(x), x∈R^N,

admet une unique solution f ∈ C¹([0, T]×R^N). Cette solution f est donn´ee par la formule

f(t, x) =fⁱⁿ(X(0, t, x))

o`u X est le flot caract´eristique du champV — c’est `a dire ques7→X(s, t, x) est la courbe int´egrale du champV passant par x`a l’instantt.

D´emonstration.Commen¸cons par l’unicit´e, et pour cela, proc´edons par condi-tion n´ecessaire.

Soient doncf ∈C¹([0, T]×R^N) etz∈R^N fix´es ; on va consid´erer la fonction φ: s7→φ(s) =f(s, X(s,0, z)). Cette fonction est de classeC¹sur [0, T] comme compos´ee def et de l’application

s7→(s, X(s,0, z))

qui est de classeC¹ d’apr`es la Proposition 2.2.2 (d). Calculons sa d´eriv´ee dφ

ds(s) =∂_tf(s, X(s,0, z)) +∇xf(s, X(s,0, z))·∂_sX(s,0, z)

=∂_tf(s, X(s,0, z)) +V(s, X(s,0, z))· ∇_xf(s, X(s,0, z)). Par cons´equent, si f est solution de l’´equation de transport

∂tf(t, x) +V(t, x)· ∇xf(t, x) = 0, 0< t < T , x∈R^N,

on a dφ

ds(s) = 0 pour touts∈]0, T[,

de sorte que la fonction φ est constante sur l’intervalle [0, T]. En particulier, pour touts∈[0, T],

φ(s) =f(s, X(s,0, z)) =f(0, X(0,0, z)) =f(0, z) =φ(0) =fⁱⁿ(z). Faisons le changement de variablesx=X(s,0, z) ce qui, d’apr`es la Proposition 2.2.2 (a)-(c) ´equivaut `az=X(0, s, x). On trouve alors que

f(s, x) =fⁱⁿ(X(0, s, x)) pour tout (s, x)∈[0, T]×R^N. R´eciproquement, montrons que la formule

f(t, x) =fⁱⁿ(X(0, t, x))

d´efinit une fonction de classe C¹ sur [0, T]×R^N, qui est solution du probl`eme de Cauchy pour l’´equation de transport.

D’abord,f ∈C¹([0, T]×R^N) comme compos´ee de fⁱⁿ qui est de classeC¹ sur R^N, et de l’application (t, x) 7→ X(0, t, x), de classe C¹ sur [0, T]×R^N d’apr`es la Proposition 2.2.2 (d).

D’autre part, f(0, x) =fⁱⁿ(X(0,0, x)) =fⁱⁿ(x) pour toutx∈R^N. Enfin

∂tf(t, x) =∇fⁱⁿ(X(0, t, x))·∂tX(0, t, x),

∂_xjf(t, x) =∇fⁱⁿ(X(0, t, x))·∂_xjX(0, t, x), de sorte que

∂tf(t, x) +V(t, x)· ∇xf(t, x)

=∇fⁱⁿ(X(0, t, x))·



∂tX(0, t, x) +

N

X

j=1

Vj(t, x)∂x_jX(0, t, x)



. Le r´esultat annonc´e d´ecoule alors du lemme suivant.

Lemme 2.2.4 Le flot caract´eristiqueX v´erifie

∂tX(0, t, x) +

N

X

j=1

Vj(t, x)∂x_jX(0, t, x) = 0 pour tout(t, x)∈[0, T]×R^N.

D´emonstration.Partons de la relation (a) de la Proposition 2.2.2 : X(t3, t2, X(t2, t1, x)) =X(t3, t1, x)

pour toust1, t2, t3∈[0, T] et toutx∈R^N.

D´erivons chaque membre de cette ´egalit´e par rapport `a t2 : comme le flot caract´eristique X est de classe C<sup>1</sup> sur [0, T]×[0, T]×R<sup>N</sup>, le th´eor`eme de d´erivation des fonctions compos´ees entraˆıne que²

∂tX(t3, t2, X(t2, t1, x)) +

N

X

j=1

∂x_jX(t3, t2, X(t2, t1, x))∂sXj(t2, t1, x) = 0, ou encore

∂_tX(t₃, t₂, X(t₂, t₁, x)) +

N

X

j=1

∂_xjX(t₃, t₂, X(t₂, t₁, x))V_j(t₂, X(t₂, t₁, x)) = 0. Posant t3= 0 ett2=t1=t, on aboutit `a la relation annonc´ee.

A nouveau, remarquons que la formule

f(t, x) =fⁱⁿ(X(0, t, x))

garde un sens mˆeme sifⁱⁿn’est pas d´erivable, et on aimerait pouvoir dire qu’elle d´efinit une solution en un sens g´en´eralis´e de l’´equation de transport

∂tf(t, x) +V(t, x)· ∇xf(t, x) = 0.

Toutefois, pour donner un sens `a un tel ´enonc´e, on devra avoir recours `a la th´eorie des distributions, pr´esent´ee dans la suite de ce cours.

2.3 Equations aux d´ eriv´ ees partielles non lin´ e-aires d’ordre un : ´ etude d’un exemple

L’´equation de Hopf — ´egalement appel´ee ´equation de Burgers sans viscosit´e

— intervient dans diff´erents contextes, comme par exemple la dynamique des

2Dans tout ce qui suit

∂sX d´esigne la d´eriv´ee deXpar rapport `a sa premi`ere variable,

∂tXd´esigne la d´eriv´ee deX par rapport `a sa seconde variable.

gaz sans pression, ou encore en tant que mod`ele (propos´e par Ya. B. Zeldovich) pour l’´evolution `a grande ´echelle d’amas de galaxies.

L’´equation de Hopf, d’inconnueu≡u(t, x)∈R, s’´ecrit

∂_tu(t, x) +u(t, x)∂_xu(t, x) = 0, t >0, x∈R.

Autrement dit, u est la solution d’une ´equation de transport dont la vitesse de propagation au point xet `a l’instant t est la valeur u(t, x) de l’inconnue.

Cette ´equation est non lin´eaire `a cause de la pr´esence du terme u∂xu qui est quadratique enu.

Appliquons `a cette ´equation la m´ethode des caract´eristiques. Supposons donc que u est une solution de l’´equation de Hopf de classe C<sup>1</sup> sur [0, T[×R. Soit X ≡X(s, t, x) le flot caract´eristique de l’op´erateur de transport∂<sub>t</sub>+u(t, x)∂<sub>x</sub>, c’est `a dire que

∂sX(s, t, x) =u(s, X(s, t, x)), 0< s < T , X(t, t, x) =x .

(L’existence et l’unicit´e locales deX d´ecoulent du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz puisque uest de classe C¹.) Alors la fonction s7→u(s, X(s, t, z)) est de classe C¹comme compos´ee de fonctions de classeC¹ et on a

d

dsu(s, X(s, t, z)) = (∂tu+u∂xu)(s, X(s, t, z)) = 0.

La fonctions7→u(s, X(s, t, z)) est donc constante sur [0, T[, de sorte que u(s, X(s, t, z)) =u(t, X(t, t, z)) =u(t, z), 0< s < T .

Injectons cette information dans l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par le flot X :

∂sX(s, t, z) =u(s, X(s, t, x)) =u(t, z), 0< s < T , X(t, t, z) =z ,

de sorte que

X(s, t, z) =z+ (s−t)u(t, z), 0≤s < T . En particulier

X(s,0, z) =z+su(0, z), 0≤s < T .

Cette formule montre que le flot caract´eristique X ≡ X(s, t, z) se prolonge `a toutR×R×Ren une application de classeC¹.

Ecrivant `a nouveau que la solution uest constante le long des courbes ca-ract´eristiques de l’op´erateur de transport∂t+u∂x, on trouve donc que

u(s, z+su(0, z)) =u(0, z), 0≤s < T , z∈R. En se basant sur cette ´egalit´e, on aboutit au r´esultat suivant :

Th´eor`eme 2.3.1 Soitu<sup>in</sup>∈C<sup>1</sup>(R), born´ee surR ainsi que sa d´eriv´ee(u<sup>in</sup>)<sup>0</sup>. (a) Le probl`eme de Cauchy pour l’´equation de Hopf

∂tu(t, x) +u(t, x)∂xu(t, x) = 0, t >0, x∈R u(0, x) =uⁱⁿ(x), x∈R, admet une unique solution de classe C¹ sur[0, T[×R, o`u

T = 1

sup_z∈R(max(0,−(uⁱⁿ)⁰(z)))

avec la convention1/0 = +∞. Cette solution est d´efinie par la relation implicite u(t, z+tuⁱⁿ(z)) =uⁱⁿ(z), (t, z)∈[0, T[×R.

(b) Siu∈C¹(R+×R)est solution de l’´equation de Hopf sur R+×R, alors la donn´ee initialez7→u(0, z)est croissante sur R.

D´emonstration.(a) Pour s≥0, posons

φs(z) =z+suⁱⁿ(z), z∈R. La fonctionφsest de classeC¹surR^N et

φ⁰_s(z) = 1 +s(uⁱⁿ)⁰(z)>0 pour tout (s, z)∈[0, T[×R, par d´efinition deT. Commeuⁱⁿ(z) =O(1) pour|z| →+∞,

φs(z)→ ±∞pourz→ ±∞.

Par cons´equent φs est une bijection croissante de R sur lui-mˆeme pour tout s∈[0, T[, de classeC¹ ainsi que sa r´eciproqueφ⁻¹_s .

Enfin, en appliquant le th´eor`eme des fonctions implicites (voir le cours de C. Viterbo, Th´eor`eme 1.4) `a l’´equation

F(t, z) :=z+tuⁱⁿ(z)−x= 0

dont l’unique solution estz=φ⁻¹_t (x), on v´erifie que l’application Φ : (t, x)7→Φ(t, x) =φ⁻¹_t (x)

est de classeC¹ sur [0, T[×R, avec

∂tΦ(t, x) =− uⁱⁿ(Φ(t, x)) 1 +t(uⁱⁿ)⁰(Φ(t, x)),

∂xΦ(t, x) = + 1

1 +t(uⁱⁿ)⁰(Φ(t, x)).

Fig. 2.3 – Apparition d’une onde de choc dans la solution de l’´equation de Hopf. Le graphe de la donn´ee initialeuⁱⁿest transport´e par les caract´eristiques.

Or les caract´eristiques issues de P et Q se coupent `a l’instant T. Le graphe deuⁱⁿtransport´e par le flot caract´eristique cesse donc, en temps fini, d’ˆetre le graphe d’une fonction. La figure montre l’´evolution d’une donn´ee initiale dont le graphe est une courbe croissante puis d´ecroissante. A l’instant t1, le graphe deuⁱⁿ transport´e par le flot caract´eristique est encore le graphe d’une fonction

— pr´ecis´ement de x 7→ u(t, x). En revanche, `a l’instant t2, le graphe de uⁱⁿ transport´e par le flot caract´eristique n’est plus le graphe d’une fonction.

Donc la fonction

u(t, x) =uⁱⁿ(Φ(t, x))

est de classeC¹ sur [0, T[×Rcomme compos´ee de fonctions de classeC¹. Enfin

∂_tu(t, x) = (uⁱⁿ)⁰(Φ(t, x))∂_tΦ(t, x) =−(uⁱⁿ)⁰(Φ(t, x))uⁱⁿ(Φ(t, x)) 1 +t(uⁱⁿ)⁰(Φ(t, x)) ,

∂xu(t, x) = (uⁱⁿ)⁰(Φ(t, x))∂xΦ(t, x) = + (uⁱⁿ)⁰(Φ(t, x)) 1 +t(uⁱⁿ)⁰(Φ(t, x)), de sorte que

∂tu(t, x) +uⁱⁿ(Φ(t, x))∂xu(t, x) = 0.

Commeuⁱⁿ(Φ(t, x)) =u(t, x), on en d´eduit queuest bien solution de l’´equation de Hopf (la condition initiale ´etant ´evidente, puisque Φ(0, x) =φ⁻¹₀ (x) =x.)

L’unicit´e provient de l’application de la m´ethode des caract´eristiques rap-pel´ee avant l’´enonc´e du th´eor`eme. En effet, toute solution de l’´equation de Hopf de classeC¹sur [0, T[×Rv´erifie

u(t, z+tu(0, z)) =u(0, z), (t, z)∈[0, T[×R, c’est `a dire

u(t, φ_t(z)) =uⁱⁿ(z), (t, z)∈[0, T[×R. En faisant le changement de variablesφ_t(z) =x, c’est `a dire

z=φ⁻¹_t (z) = Φ(t, x), on trouve que

u(t, x) =uⁱⁿ(Φ(t, x)), (t, z)∈[0, T[×R.

(b) Siuest solution de classeC¹de l’´equation de Hopf surR+×R, elle v´erifie la relation

u(s, z+su(0, z)) =u(0, z), pour tout (s, z)∈R+×R, d’apr`es la m´ethode des caract´eristiques.

Supposons quez7→u(0, z) n’est pas croissante surR: il existe doncz1< z2

tel que u(0, z₁)> u(0, z₂). D´efinissons

s^∗= u(0, z1)−u(0, z2) z₂−z₁ >0. Alors

z₁+s^∗u(0, z₁) =z₂+s^∗u(0, z₂) de sorte que

u(0, z₁) =u(s^∗, z₁+s^∗u(0, z₁)) =u(s^∗, z₂+s^∗u(0, z₂)) =u(0, z₂).

On aboutit ainsi `a une contradiction, ce qui infirme l’hypoth`ese de d´epart, `a savoir quez7→u(0, z) n’est pas croissante surR.

Ce r´esultat montre que, pour une ´equation de transport non lin´eaire, il se peut

(a) que le flot caract´eristique soit d´efini globalement, (b) que la donn´ee initiale soit globalement de classe C¹,

et pourtant que la solution ne soit pas d´efinie et de classeC¹globalement, c’est

`

a dire pour tout (t, x)∈R+×R.

Ce type de comportement est caract´eristique des ´equations diff´erentielles non lin´eaire, aux d´eriv´ees partielles ou non.

Nous avons d´ej`a ´evoqu´e plus haut l’exemple de l’´equation de Riccati dy

dt =y², y(0) =yⁱⁿ, dont la solution

y(t) = yⁱⁿ 1−tyⁱⁿ

n’est pas d´efinie globalement, c’est `a dire pour tout t∈R, siyⁱⁿ6= 0.

L’exemple de l’´equation de Hopf pr´esent´e ci-dessus est tout `a fait analogue au cas de l’´equation de Riccati.

Toutefois, il est possible de prolonger la solution locale de classe C¹ de l’´equation de Hopf apr`es le temps T donn´e dans le Th´eor`eme 2.3.1, en une fonction qui n’est plus de classe C¹, qui admet en g´en´eral des discontinuit´es de premi`ere esp`ece, mais qui est pourtant solution de l’´equation de Hopf en un sens g´en´eralis´e. Ce ph´enom`ene d’apparition de singularit´es dans des solutions d’´equations aux d´eriv´ees partielles est une nouvelle motivation pour d´evelopper le formalisme des distributions.

2.4 Exercices

Exercice 1.Appliquer la m´ethode des caract´eristiques pour r´esoudre le probl`eme de Cauchy

∂tf(t, x) +v· ∇xf(t, x) +a(t, x)f(t, x) = 0, x∈R^N, t >0, f(0, x) =fⁱⁿ(x), x∈R^N, o`u a∈C¹(R+×R^N).

Exercice 2.Mˆeme question pour le probl`eme avec second membre

∂_tf(t, x) +v· ∇_xf(t, x) +a(t, x)f(t, x) =S(t, x), x∈R^N, t >0, f(0, x) =fⁱⁿ(x), x∈R^N, o`u aetS∈C¹(R₊×R^N).

Exercice 3. Soientλ >0,aetS∈C¹(R^N). Supposons qu’il existeM >0 tel que

a(x)≥0 et|S(x)| ≤M pour toutx∈R^N. Montrer que l’´equation de transport stationnaire

λf(x) +v· ∇xf(x) +a(x)f(x) =S(x), x∈R^N,

admet une unique solution born´eef de classeC¹surR^N, et que cette solution est donn´ee par la formule

f(x) = Z +∞

0

e^{−λt−R0ta(x−sv)ds}S(x−tv)dt .

Exercice 4. Soit f ∈ C²(R) telle que f⁰⁰(U) ≥ a > 0 pour tout U ∈ R.

Consid´erons le probl`eme de Cauchy

∂_tv+f(∂_xv) = 0, v

_t=0=vⁱⁿ,

o`uv<sup>in</sup>∈C<sup>2</sup>(R) est born´ee surRainsi que ses deux premi`eres d´eriv´ees.

1) Quelle est l’´equation satisfaite par∂_xv?

2) En d´eduire un r´esultat d’existence et unicit´e locale pour le probl`eme de Cauchy v´erifi´e parv.

Chapitre 3

Dans le document Distributions, analyse de Fourier, ´equations aux d´eriv´ees partielles (Page 44-59)