Produit de convolution des distributions





∂x₁f(x) ...

∂x_Nf(x)







d´efinit, en tout pointx∈Σ, un vecteur non nul orthogonal `a l’hyperplan tangent

`

a Σ au point x. On notera dσ l’´el´ement de surface sur Σ pour l’orientation d´efinie par le champ normal ∇f — voir Exemples 3.2.5 et 3.2.6 au chapitre pr´ec´edent pour un rappel de ces notions.

Sous ces hypoth`eses, la distributionδ0◦f est bien d´efinie, d’apr`es la discus-sion ci-dessus. On trouve alors que

hδ0◦f, φi= Z

Σ

φ(x)|∇xf(x)|⁻¹dσ(x) pour toute fonction test φ∈C_c^∞(U).

La d´emonstration de cette formule ne pose aucune difficult´e compte tenu de la discussion pr´ec´edente ; le lecteur est invit´e `a l’´ecrire `a titre d’exercice.

4.4 Produit de convolution des distributions

On a vu dans la section 4.2 qu’on peut d´efinir le produit de convolution d’une fonction C^∞ `a support compact et d’une distribution, et que le r´esultat de cette op´eration est une fonction de classeC^∞. On va donc pouvoir proc´eder comme dans le chapitre 3 (section 3.3) pour ´etendre le produit de convolution au cas de deux distributions par un simple argument de transposition pour la dualit´eE⁰−C^∞.

L’extension du produit de convolution au cas de deux distributions est abso-lument fondamentale dans l’´etude des ´equations aux d´eriv´ees partielles lin´eaires

`

a coefficients constants : nous en verrons de tr`es nombreuses applications dans la partie II de ce cours. Pour toute distribution T ∈ D⁰(R^N), on notera ˜T la compos´ee deT avec l’antipodiex7→ −x:

T˜:=T◦(−Id_RN). Autrement dit, pour toute fonction testφ∈C_c^∞(R^N)

hT , φi˜ =hT,φi˜ , o`u ˜φ(x) =φ(−x).

D´efinition 4.4.1 (Produit de convolutionD⁰?E⁰) Pour tout T ∈ D⁰(R^N) et toutS∈ E⁰(R^N), on d´efinit le produit de convolutionT ? S∈ D⁰(R^N)par la formule

hT ? S, φi=hT,S ? φi˜ pour toute fonction test φ∈ D⁰(R^N).

Cette nouvelle extension du produit de convolution conduit `a la mˆeme ma-joration du support que dans le cas des fonctions.

Proposition 4.4.2 (Majoration du support) Pour toutT ∈ D⁰(R^N)et tout S∈ E⁰(R^N), on a

supp(T ? S)⊂supp(T) + supp(S).

D´emonstration. A nouveau, supp(T) + supp(S) est ferm´e dans R^N puisque supp(S) est compact dansR^N — de mˆeme que dans le cas des fonctions : cf.

Lemme 1.3.6.

Soient O = R^N \(supp(T) + supp(S)) et φ ∈ C^∞(R^N) `a support dans l’ouvertO.

D’apr`es les Propositions 4.2.2 et 4.2.3, la fonction ˜S ? φest de classeC<sup>∞</sup> sur R<sup>N</sup> et `a support dans

supp( ˜S) + supp(φ) ={−x+y|x∈supp(S) ety∈supp(T)}. Or

supp(T)∩(supp( ˜S) + supp(φ)) =∅ faute de quoi il existeraitx∈supp(S) ety∈supp(φ) tels que

y∈supp(T) +{x} ⊂supp(T) + supp(S) ce qui contredit l’hypoth`ese queφest `a support dansO.

Comme ˜S ? φ est une fonction de classe C^∞ sur Ω `a support compact ne rencontrant pas supp(T), on d´eduit du point (b) de la Proposition 4.1.2 que

hT ? S, φi=hT,S ? φi˜ = 0. Par cons´equentT ? S

_O= 0, d’o`u la majoration annonc´ee pour supp(T ? S).

Exemple 4.4.3 (Convolution par la masse de Dirac) La masse de Dirac en l’origine est l’´el´ement neutre pour le produit de convolution : pour toute distributionT ∈ D⁰(R^N), on a

T ? δ₀=T

Plus g´en´eralement, pour touta∈R^N, notonsτ_a la translation de vecteura, c’est `a dire

τ_a : R^N 3x7→x+a .

On v´erifie alors sans aucune difficult´e que, pour touta∈R^N, T ? δa=T◦τ_−a.

Observons que, sous les mˆemes hypoth`eses que dans la d´efinition ci-dessus, c’est `a dire pour tout T ∈ D⁰(R^N) et toutS ∈ E⁰(R^N) on aurait ´egalement pu d´efinir le produit de convolutionS ? T par la formule

hS ? T, φi=hS,T ? φi˜ .

En effet, ˜T ? φ est une fonction de classeC^∞ surR^N et S une distribution `a support compact dans R<sup>N</sup>, de sorte que le membre de droite de l’´egalit´e ci-dessus est bien d´efini grˆace `a l’extension de la dualit´e deE⁰(R^N) `aC^∞(R^N) — voir Proposition 4.1.4.

En r´ealit´e cette distinction est sans objet comme le montre la proposition ci-dessous.

Proposition 4.4.4 (Commutativit´e de la convolution) SoientT ∈ D⁰(R^N) etS ∈ E⁰(R^N). Alors

(a) pour tout φ∈C_c^∞(R^N)

hS,T ? φi˜ =hT,S ? φi˜ ; (b) si on d´efinit la distributionS ? T par la formule

hS ? T, φi=hS,T ? φi˜ , pour toutφ∈C_c^∞(R^N) alors

S ? T =T ? S .

D´emonstration.V´erifions l’´enonc´e (a). Pour cela, soitζ∈C_c^∞(R^N) telle que supp(ζ)⊂B(0,1), ζ≥0,

Z

R^N

ζ(x)dx= 1. Posons

ζ_n(x) =n^Nζ(nx), x∈R^N, ainsi que

S_n=S ? ζ_n, n≥1.

D’apr`es les Propositions 4.2.2 et 4.2.3,Sn est une fonction de classeC<sup>∞</sup>sur R<sup>N</sup> `a support dans supp(S) +B(0,¹_n) qui est compact (car ferm´e born´e dans R^N.)

D’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour le crochet de dualit´e (Proposition 3.3.21) hSn,T ? φi˜ =

Z

R^N

Sn(x)hT , φ(x˜ − ·)idx

= Z

R^N

Sn(x)hT, φ(x+·)idx

=

T, Z

R^N

Sn(x)φ(x+·)dx

=

T, Z

R^N

Sn(−x)φ(−x+·)dx

=hT,S˜n? φi

Passons ensuite `a la limite enn→ ∞dans chaque membre de cette ´egalit´e.

On sait, d’apr`es le Th´eor`eme 4.2.5, que

Sn→S dansD⁰(R^N) pour n→ ∞ et que

supp(S_n)⊂supp(S) +B(0,1), pour toutn≥1.

Soit d’une part χ ∈ C_c^∞(R^N), identiquement ´egale `a 1 sur un voisinage ouvert du compact supp(S) +B(0,1). Alors

hS_n,T ? φi˜ =hS_n, χ( ˜T ? φ)i → hS, χ( ˜T ? φ)i=hS,T ? φi˜ lorsquen→ ∞.

D’autre part

supp( ˜S_n? φ)⊂Kpour toutn≥1 avec

K= supp(φ) + supp( ˜S) +B(0,1)

(d’apr`es la Proposition 4.2.2) qui est compact dans R<sup>N</sup> car ferm´e (d’apr`es le Lemme 1.3.6) et born´e. De plus, pour toutα∈N^N, on a

∂^α( ˜Sn? φ) = ˜Sn?(∂^αφ)→S ?˜ (∂^αφ) =∂^α( ˜S ? φ) uniform´ement sur K, d’apr`es la Proposition 4.2.7.

Par cons´equent

S˜_n? φ→S ? φ˜ dansC_c^∞(R^N) lorsquen→ ∞.

Par continuit´e s´equentielle de la distributionT (cf. Proposition 3.2.10) hT,S˜_n? φi → hT,S ? φi˜

lorsquen→ ∞, ce qui implique (a).

Enfin, l’´enonc´e (b) est une cons´equence triviale du (a).

Th´eor`eme 4.4.5 (Continuit´e s´equentielle du produit de convolution) Soient des suites(T_n)_n≥1 deD⁰(R^N) et(S_n)_n≥1 deE⁰(R^N)telles que

T_n →T etS_n→S dansD⁰(R^N)lorsquen→ ∞.

Supposons en outre qu’il existe un compact K⊂R^N fixe tel que supp(Sn)⊂K pour toutn≥1.

Alors

Tn? Sn →T ? S dansD⁰(R^N) lorsquen→ ∞.

D´emonstration.Soitφ∈C_c^∞(R^N) ; ´ecrivons que hTn? Sn, φi=hTn,S˜n? φi Par hypoth`ese, pour toutn≥1

supp( ˜Sn? φ)⊂supp( ˜Sn) + supp(φ)⊂supp(φ)−K , d’apr`es la Proposition 4.2.2. (Rappelons que

A−B={x−y|x∈Aet y∈B}

et queA−B est ferm´e lorsque Aet B sont compacts — voir Lemme 1.3.6 — et born´e dansR^N, donc compact.) Et d’apr`es la Proposition 4.2.7,

∂^α( ˜S_n? φ) = (∂^αS˜_n)? φ→(∂^αS)˜ ? φ=∂^α( ˜S ? φ) uniform´ement surR^N lorsquen→ ∞. Autrement dit,

S˜_n? φ→S ? φ˜ dansC_c^∞(R^N). Alors, d’apr`es la Proposition 3.2.18,

hT_n? S_n, φi=hT_n,S˜_n? φi → hT,S ? φi˜ =hT ? S, φi

lorsque n → ∞. La fonction testφ ∈C_c^∞(R^N) ´etant arbitraire, on en d´eduit queTn? Sn →T ? S dansD⁰(R^N) pourn→ ∞.

Remarque. Si (ζ)0<<₀ est une suite r´egularisante — voir D´efinition 1.3.12

— il r´esulte, comme on l’a dit, de la Proposition 3.2.15, que ζ → δ0 lorsque → 0⁺. De plus, toutes les fonctions de la famille (ζ)0<<₀ sont `a support dans un mˆeme compact deR<sup>N</sup>. D’apr`es le Th´eor`eme 4.4.5 ci-dessus, il s’ensuit donc que, pour toute distributionT ∈ D⁰(R^N), on a

ζ? T→T dansD⁰(R^N) lorsque→0.

On retrouve ainsi le Th´eor`eme 4.2.5 de r´egularisation des distributions.

Th´eor`eme 4.4.6 (D´erivation et convolution) Soient T ∈ D⁰(R^N) et S ∈ E⁰(R^N). Alors, pour tout multi-indiceα∈N^N, on a

∂^α(T ? S) = (∂^αT)? S=T ?(∂^αS). D´emonstration.Soitφ∈C_c^∞(R^N). Alors

h∂^α(T ? S), φi= (−1)^|α|hT ? S, ∂^αφi

= (−1)^|α|hT,S ? ∂˜ ^αφi

= (−1)^|α|hT, ∂^α( ˜S ? φ)id’apr`es la Proposition 4.2.3

=h∂^αT,S ? φi˜ =h(∂^αT)? S, φi.

De mˆeme

h∂^α(T ? S), φi= (−1)^|α|hT,S ? ∂˜ ^αφi

=hT,(−1)^|α|(∂^αS)˜ ? φid’apr`es la Proposition 4.2.3

=hT,(∂^^αS)? φi=hT ? ∂^αS, φi.

Exemple 4.4.7 (D´erivation et convolution par les d´eriv´ees deδ₀) Pour toute distribution T ∈ D⁰(R^N), et pour tout multi-indice α∈N^N, on a

T ? ∂^αδ0=∂^αT .

Cet exemple, qui montre que la d´erivation s’exprime comme un produit de convolution (avec la d´eriv´ee de la masse de Dirac) sugg`ere une notion de “d´eriv´ee d’ordre fractionnaire”.

Exemple 4.4.8 (D´eriv´ee fractionnaire) On a introduit les distributionsχ^a₊ au chapitre 3 — voir Exemple 3.5.7. On rappelle que

χ^a₊= pfx^a₊

Γ(a+ 1)pour touta∈C\Z^∗₋ et que

χ⁰₊=1_R^∗

+ (fonction d’Heaviside), χ⁻¹₊ =δ₀, χ^−k₊ =δ^(k−1) sik >1. Autrement dit, les d´eriv´ees successives de la masse de Dirac sont plong´ees dans la famille des distributions χ^a₊ index´ees par a ∈ R. Au vu de l’exemple pr´ec´edent, cela sugg`ere de d´efinir une notion de “d´eriv´ee d’ordre fractionnaire”

par la formule

∂^aT=T ? χ^−a−1₊ , a∈R+, pourT ∈ E⁰(R).

Ces distributions jouent un rˆole important dans la th´eorie des “conditions aux limites transparentes” pour les ´equations aux d´eriv´ees partielles. Ces condi-tions aux limites prescrites au bord du domaine de calcul permettent de simuler num´eriquement la propagation d’ondes dans un domaine infini.

Dans un code num´erique (de type diff´erences finies, par exemple) il est

´

evidemment impossible d’impl´ementer un domaine de calcul infini. Le domaine de calcul est donc n´ecessairement born´e, ce qui introduit des risques de re-flexions parasites des ondes au bord de ce domaine de calcul. Les conditions transparentes sont pr´ecis´ement des conditions aux bord du domaine de calcul permettant aux ondes d’en sortir sans r´eflexion parasite.

Th´eor`eme 4.4.9 (Associativit´e du produit de convolution) SoientR,S et T, trois distributions sur R<sup>N</sup>. Supposons qu’au moins deux de ces distribu-tions sont `a support compact dansR^N. Alors

R ?(S ? T) = (R ? S)? T .

D´emonstration. En utilisant la commutativit´e, on peut toujours se ramener au cas o`u S etT sont `a support compact. Quitte `a prendreR >0 assez grand, on supposera que

supp(S), supp(T)⊂B(0, R). Soitζ∈C_c^∞(R^N) telle que

supp(ζ)⊂B(0,1), ζ≥0, Z

R^N

ζ(x)dx= 1. Pour toutn≥1, d´efinissonsζ_n par la formule

ζ_n(x) =n^Nζ(nx). V´erifions que

R ?(Sn? Tn) = (R ? Sn)? Tn, n≥1. En effet

R ?(Sn? Tn)(x) =hR, Sn? Tn(x− ·)i

=

R, Z

R^N

Sn(x− · −z)Tn(z)dz

= Z

R^N

hR, S_n(x− · −z)iT_n(z)dz

= Z

R^N

R ? S_n(x−z)T_n(z)dz= (R ? S_n)? T_n(x). d’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour le crochet de dualit´e (Proposition 3.3.21).

Passons maintenant `a la limite pourn→ ∞.

Par construction, pour toutn≥1, on a

supp(S_n) et supp(T_n)⊂B(0, R+ 1) et

Sn→S , Tn→T dansD⁰(R^N) lorsquen→ ∞.

D’apr`es le th´eor`eme de continuit´e s´equentielle du produit de convolution, on a d’une part

R ? Sn→R ? S , puis (R ? Sn)? Tn→(R ? S)? T dansD⁰(R^N) lorsquen→ ∞.

D’autre part, on d´emontre de mˆeme que

Sn? Tn→S ? T et supp(Sn? Tn)⊂supp(Sn) + supp(Tn)⊂B(0,2R+ 2). Par continuit´e s´equentielle du produit de convolution, on en d´eduit encore que

R ?(S_n? T_n)→R ?(S ? T) dansD⁰(R^N) pourn→ ∞,

ce qui entraˆıne queR ?(S ? T) = (R ? S)? T.

On prendra bien garde au fait que ce r´esultat peut ˆetre faux si une seule des trois distributions est `a support compact, bien que les membres de droite et de gauche de l’´egalit´e ci-dessus aient un sens. Voici un exemple de ce ph´enom`ene.

Exemple 4.4.10 (Compacit´e des supports et associativit´e) DansD⁰(R), notons H la fonction d’Heaviside :

H(x) = 1six≥0, H(x) = 0six <0. Alors

(1? δ₀⁰)? H = 1⁰? H= 0? H= 0, tandis que

1?(δ⁰₀? H) = 1? H⁰= 1? δ₀= 1.

4.5 Exercices

Exercice 1.Montrer que la forme lin´eaire C_c^∞(R)3φ7→X

k≥1

√1 k

φ

1 k

−φ(0)

d´efinit une distribution. Quel est son support ?

Exercice 2. Soit (an)n≥1 suite de nombres r´eels. On consid`ere les formes lin´eaires

C_c^∞(R^∗₊)3φ7→T(φ) =X

n≥1

anφ 1

n

, et

C_c^∞(R^∗₊)3φ7→S(φ) =X

n≥1

anφ⁽ⁿ⁾ 1

n

. a) Montrer queT et S sont des distributions surR^∗₊. b) Montrer qu’il y a ´equivalence entre

il existeu∈ D⁰(R) telle queT =u ]0,∞[, et

il existel≥0 tel quean =O(n^l) pourn→ ∞.

c) Montrer qu’il y a ´equivalence entre

il existev∈ D⁰(R) telle queS=u ]0,∞[, et

il existe N≥0 tel quea_n= 0 pourn≥N.

Exercice 3.Soitf ∈L¹_loc(R^∗₊) telle quef ≥0 p.p.. Montrer quef se prolonge en une distribution surRsi et seulement si

il existel≥0 tel queR1

f(x)dx=O(^−l) pour→0⁺. Exercice 4. D´eterminer toutes les distributionsu∈ D⁰(R) telles que

hu, φ ? ψi=hu, φihu, ψi pour φ, ψ∈ D⁰(R).

Exercice 5.

a) Soitu∈ D⁰(R) telle queu⁰ ∈C(R). Montrer queu∈C¹(R).

b) Soit u ∈ D⁰(R^N) telle que ∂ju ∈ C(R^N) pour tout j = 1, . . . , N. Soit (ζ)_0<<1 suite r´egularisante, et f=u ? ζ. Soit enfing=f−f(0). Montrer que

(i)∂_jf →∂_juuniform´ement sur tout compact lorsque → 0⁺ pour tout j= 1, . . . , N;

(ii)gconverge uniform´ement sur tout compact lorsque→0⁺. c) Montrer que f(0) admet une limite pour→0⁺.

d) D´eduire de ce qui pr´ec`ede queu∈C¹(R^N).

Exercice 6.SoitUune application lin´eaire deC_c^∞(R^N) dans lui-mˆeme v´erifiant les propri´et´es suivantes

U(φ◦τa) = (U φ)◦τa pour touta∈R^N et toutφ∈C_c^∞(R^N), en notantτa : x7→x+ala translation de vecteura, ainsi que

pour tousK⊂R^N compact et p∈N,

il existeL⊂R^N compact,q∈NetC >0 tels que max

|α|≤psup

x∈K

|∂^α(U φ)(x)| ≤Cmax

|β|≤qsup

x∈L

|∂^βφ(x)|. Montrer qu’il existeu∈ E⁰(R^N) telle queU soit de la forme

U(φ) =u ? φ , pour toutφ∈C_c^∞(R^N).

Chapitre 5

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