La transformation de Fourier sur S 0

Dans la section 5.2, la transformation de Fourier a ´et´e d´efinie sur la classe de SchwartzS(R^N).

Malheureusement, on ne peut s’en contenter, car il y a bien trop peu de fonctions dansS(R^N).

On va donc maintenant ´etendre sa d´efinition `a l’espaceS⁰(R^N) des distribu-tions temp´er´ees, en appliquant la mˆeme strat´egie de dualit´e que dans le chapitre 3.

Pour cela, on part de l’observation suivante : pour toute paire φ, ψ de fonc-tions de la classe de SchwartzS(R^N), on a d’apr`es le th´eor`eme de Fubini, puisque

(x, y)7→

e^−ix·yψ(x)φ(y)

=|φ(x)||ψ(y)|

est une fonction int´egrable surR^N×R^N, d’apr`es la Proposition 5.1.7 (c).) L’identit´e ci-dessus sugg`ere la d´efinition suivante :

D´efinition 5.4.1 (Transformation de Fourier des distributions) A toute distribution temp´er´ee T ∈ S⁰(R^N), on associe sa transform´ee de Fourier FT qui est la distribution temp´er´ee d´efinie par

hFT, φi=hT,Fφi pour toute fonctionφ∈ S(R^N).

D’apr`es le calcul ci-dessus, cette d´efinition de la transformation de Fourier co¨ıncide avec celle de la section 5.2 lorsque la distribution temp´er´eeT est de la forme

Exemple 5.4.2 (Transform´ee de Fourier des fonctions de L¹) Soit une fonc-tionf ∈L¹(R^N); posons par convergence domin´ee que

fˆ(ξn)→fˆ(ξ^∗)lorsquen→ ∞. Par cons´equent,fˆest une fonction continue born´ee⁴ sur R^N.

On v´erifie alors que la transform´ee de Fourier de Tf est la distribution temp´er´ee d´efinie par la fonctionfˆ: autrement dit

FTf =Tfˆ. Le th´eor`eme de Fubini implique donc que

Z

Voici les premi`eres propri´et´es de cette transformation de Fourier :

4Rappelons qu’on dispose en fait d’une information plus pr´ecise — voir cours de P. Colmez, chapitre IV.2.3 :

Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue.Soitf ∈L<sup>1</sup>(R<sup>N</sup>). Alors sa transform´ee de Fourier ˆf tend vers 0 `a l’infini.

Proposition 5.4.3 (Transformation de Fourier dans S⁰ et op´erations) Soit une distribution temp´er´ee T ∈ S⁰(R^N). Alors

(a) pour toutk= 1, . . . , N, on a

F(∂x_kT) =iξkFT; (b) pour tout k= 1, . . . , N, on a

F(x_kT) =i∂_ξkFT; (c) pour tout a∈R^N, en notantτa : x7→x+a, on a

F(T◦τa) =e^ia·ξFT; (d) pour touta∈R^N,

F(e^−ia·xT) = (FT)◦τ_a.

Remarque.Comme sur la classe de Schwartz ( cf. Proposition 5.2.2 (a)-(b)), la transformation de FourierF sur l’espaceS⁰(R^N) des distributions temp´er´ees

´

echange d´erivation et multiplication parx— `a un facteur±ipr`es. Tout l’int´erˆet de la transformation de Fourier pour les distributions temp´er´ees r´eside dans ce simple fait : d’une part, le cadre des distributions permet de d´eriver autant de fois que n´ecessaire, d’autre part, apr`es transformation de Fourier, toute d´eriv´ee partielle d’ordre quelconque correspond `a la multiplication par un monˆome.

D´emonstration.En effet

hF(∂xkT), φi=h∂xkT,Fφi=−hT, ∂xkFφi

=−hT,F(−iξkφ)i=hFT, iξkφi=hiξkFT, φi d’apr`es la Proposition 5.2.2 (a), ce qui montre le point (a).

D’autre part

hF(x_kT), φi=hx_kT,Fφi=hT, x_kFφi

=hT,F(−i∂ξ_kφ)i

=−ihFT, ∂_ξkφi=hi∂_ξkFT, φi d’apr`es la Proposition 5.2.2 (b), ce qui ´etablit le point (b).

Les points (c) et (d) se d´emontrent de mˆeme par dualit´e `a partir de la Proposition 5.2.2 (c)-(d).

Evidemment, la transformation de Fourier est (s´equentiellement) continue au sens des distributions temp´er´ees.

Proposition 5.4.4 (Continuit´e s´equentielle de F sur S⁰(R^N)) On consi-d`ere une suite de distributions temp´er´ees (T_n)_n≥1 sur R^N convergeant vers T dansS⁰(R^N). AlorsFTn→ FT dansS⁰(R^N) lorsquen→ ∞.

D´emonstration.Pour toutφ∈ S(R^N), on a

hFTn, φi=hTn,Fφi → hT,Fφi=hFT, φi lorsquen→ ∞.

Dans le cas d’une distribution `a support compact — qui est a fortiori une distribution temp´er´ee, on aurait pu d´efinir la transform´ee de Fourier en copiant la formule d´efinissant la transformation de Fourier pour les fonctions de la classe de Schwartz, c’est `a dire poser

FT(ξ) =hT, e_−ξi

o`uT ∈ E<sup>0</sup>(R<sup>N</sup>) et o`u eξ est la fonction de classeC^∞ surR^N d´efinie par eξ(x) =e^iξ·x.

Observons que cette formule d´efiniraitFT ponctuellement, comme fonction de la variableξ— et non comme une distribution.

En fait, ces deux fa¸cons de d´efinir la transformation de Fourier pour les distributions `a support compact co¨ıncident, comme le montre le

Th´eor`eme 5.4.5 (Transform´ee de Fourier sur E<sup>0</sup>(R<sup>N</sup>)) Pour toute distri-bution `a support compact T ∈ E⁰(R^N), la distribution temp´er´ee FT est la dis-tribution d´efinie par la fonction

R^N 3ξ7→ hT, e−ξi.

Cette fonction, not´ee ξ 7→ FT(ξ), est de classe C^∞ sur R^N et `a croissance polynˆomiale ainsi que toutes ses d´eriv´ees.

Remarque. Cet ´enonc´e est une nouvel exemple du fait, d´ej`a mentionn´e plus haut, que la transformation de Fourier F ´echange d´ecroissance `a l’infini et r´egularit´e. En effet, le fait d’ˆetre `a support compact est la condition de conver-gence vers 0 `a l’infini la plus forte possible ; que la transform´ee de Fourier d’une distribution `a support compact soit une fonction de classe C^∞ n’est donc pas surprenant.

D´emonstration.V´erifions d’abord queFT est bien la fonction donn´ee par la formule ci-dessus. Pour cela, on observe que, par int´egration sous le crochet de dualit´e (Proposition 3.3.21)

hT, e_−ξi, φ

= Z

R^N

hT, e_−ξiφ(ξ)dξ

=

T, Z

R^N

e_−ξφ(ξ)dξ

=hT,Fφi=hFT, φi d’o`u le r´esultat.

Que la fonctionξ7→ hT, e−ξisoit de classeC^∞surR^N et que

∂_ξ^αFT(ξ) =∂_ξ^αhT, e−ξi=hT, ∂_ξ^αe_−ξi

d´ecoule du th´eor`eme de d´erivation sous le crochet de dualit´e (cf. Proposition 3.3.20) et du fait que la fonction (x, ξ)7→e_−ξ(x) =e^−iξ·x est de classeC^∞ sur R^N ×R^N.

Enfin, la propri´et´e de continuit´e des distributions `a support compact im-plique que

|hT, e_−ξi| ≤Cmax

|α|≤p sup

|x|≤R

|∂_x^αe_−ξ(x)|=Cmax

|α|≤p sup

|x|≤R

|(iξ)^αe_−ξ(x)|

=Cmax

|α|≤p|ξ^α| ≤C_1+|ξ|2

2

^p , o`u pest l’ordre deT etR >0 est tel que supp(T)⊂B(0, R).

Par cons´equent,FT est `a croissance polynˆomiale sur R^N. Il en va de mˆeme pour toutes ses d´eriv´ees puisque

∂^α_ξFT =F((−ix)^αT)

et que la distribution (−ix)^αT est ´egalement `a support compact.

Exemple 5.4.6 (Transform´ee de Fourier des masses de Dirac) D’apr`es le th´eor`eme ci-dessus, on trouve que

Fδ0= 1 dansS⁰(R^N), et plus g´en´eralement que, pour tout a∈R^N,

(Fδa)(ξ) =e^−iξ·a, ξ∈R^N. Appliquant ensuite la Proposition 5.4.3 (a), on trouve que

(F∂^αδ₀)(ξ) = (iξ)^α, ξ∈R^N. et plus g´en´eralement que, pour tout a∈R^N,

(F∂^αδ_a)(ξ) = (iξ)^αe^−iξ·a, ξ∈R^N.

Remarque.Comparons ce r´esultat avec le th´eor`eme de Riemann-Lebesgue rap-pel´e ci-dessus (cf . note 4 de ce chapitre.) Rappelons que, comme on l’a dit plus haut, la transformationF´echange r´egularit´e et d´ecroissance `a l’infini. Une fonc-tion deL¹(R^N) ´etant un objet moins irr´egulier que la masse de Dirac, il n’est pas surprenant que sa transform´ee de Fourier tende vers 0 `a l’infini, alors que Fδ0= 1 ne tend pas vers 0 `a l’infini. En revanche, la masse de Dirac tend vers 0

`

a l’infini le plus vite possible, puisque son support (r´eduit `a{0}) est le plus petit possible : il n’est donc pas surprenant que la transform´ee de Fourier deδ0 soit une fonction constante — les constantes ´etant les fonctions les plus r´eguli`eres possibles.

En r´ealit´e, la transform´ee de Fourier d’une distribution `a support compact est bien mieux que de classeC^∞ : c’est une fonction analytique. Faute d’avoir

`

a notre disposition la notion de fonction analytique de plusieurs variables, nous nous limiterons au cas d’une seule variable.

Th´eor`eme 5.4.7 Soit T une distribution `a support compact sur R. Alors la fonction FT ∈C^∞(R)se prolonge en une fonction holomorphe surC.

D´emonstration.Consid´erons la fonction d´efinie surR²par la formule F(ξ, η) =hT, e_−ξ−iηi, pour tout (ξ, η)∈R²,

puisque T est une distribution `a support compact surRet que la fonction e_−ξ−iη : x7→e^{−i(ξ+iη)x} est de classeC^∞ surR.

Par d´erivation sous le crochet de dualit´e, on montre comme dans la preuve du th´eor`eme pr´ec´edent que F admet des d´eriv´ees partielles de tous ordres, de sorte que F ∈C^∞(R²).

En particulier, par d´erivation sous le crochet de dualit´e, on trouve que

∂_ξF(ξ, η) =hT,−ixe_−ξ−iηi, tandis que∂_ηF(ξ, η) =hT, xe_−ξ−iηi. Par cons´equent

(∂_ξ+i∂_η)F(ξ, η) = 0 pour tout (ξ, η)∈R².

Autrement dit, F satisfait aux relations de Cauchy-Riemann surC (voir cours de P. Colmez, Remarque V.1.13). Par cons´equent, la fonction

C3(ξ+iη)7→F(ξ, η)

est holomorphe. D’autre part, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent FT(ξ) =hT, e_−ξi=F(ξ,0), pour toutξ∈R, de sorte que la fonction holomorphe ci-dessus prolonge bienFT.

Remarque.Il existe une r´eciproque de ce r´esultat : toute fonctionfholomorphe surC et v´erifiant la condition de croissance suivante : il existeC, N, R >0 tels que

|f(z)| ≤C(1 +|z|)^Ne^R|=(z)| pour toutz∈C

est (le prolongement analytique de) la transform´ee de Fourier d’une distribution

`a support dans [−R, R]⊂R(Th´eor`eme de Paley-Wiener).

Voici maintenant le th´eor`eme d’inversion de la transformation de Fourier dans le cadre des distributions.

Th´eor`eme 5.4.8 (Inversion de Fourier dans S⁰(R^N)) La transformation de Fourier F est un isomorphisme du C-espace vectoriel S⁰(R^N) dans lui-mˆeme, dont l’inverse est donn´e par la formule

F⁻¹T = 1 (2π)^NFgT ,

o`u, pour toute distributionS sur R<sup>N</sup>, on a not´e S˜=S◦(−Id<sub>R</sub>N), c’est `a dire que, pour toute fonction testφ∈C_c^∞(R^N)

hS, φi˜ =hS, φ◦(−Id_RN)i=hS, φ(−·)i. D´emonstration.Il suffit de v´erifier que

F(FT) = (2π)^NT ,˜ c’est `a dire que, pour toutφ∈ S(R^N), l’on a

hF(FT), φi=hFT,Fφi=hT,F(Fφ)i=hT,(2π)^Nφ◦(−Id_RN)i car

F(Fφ) = (2π)^Nφ◦(−Id_RN)

d’apr`es le th´eor`eme d’inversion de Fourier pour les fonctions de la classe de SchwartzS(R^N) — voir Th´eor`eme 5.2.5.

Exemple 5.4.9 (Transform´ee de Fourier des polynˆomes) DansS⁰(R^N), on a

F1 = (2π)^Nδ0

d’apr`es le th´eor`eme d’inversion de Fourier appliqu´e `a l’identit´e F(δ0) = 1.

En utilisant ensuite la Proposition 5.4.3 (b), on trouve que F(x^α) = (2π)^Ni^|α|∂^αδ0, α∈N^N.

En utilisant conjointement la formule d’inversion de Fourier (Th´eor`eme 5.4.8), et le Th´eor`eme 5.4.5 sur la transform´ee de Fourier des distributions `a support compact, on obtient la caract´erisation suivante des distributions `a support com-pact.

Th´eor`eme 5.4.10 (Structure des distributions `a support compact) Toute distribution `a support compact sur R^N est une somme finie de d´eriv´ees it´er´ees au sens des distributions d’une fonction continue born´ee surR^N.

Ce th´eor`eme n’est pas d’une grande importance sur le plan pratique ; toute-fois, il montre que la th´eorie des distributions est, en quelque sorte, l’extension minimale de la notion de fonction continue o`u toute fonction g´en´eralis´ee peut ˆ

etre d´eriv´ee ind´efiniment.

D´emonstration. Soit T ∈ E⁰(R^N). D’apr`es le Th´eor`eme 5.4.5, il existe un entierp≥0 et une constanteC >0 tels que

|FT(ξ)| ≤C(1 +|ξ|²)^p, ξ∈R^N.

Consid´erons alors la fonctionS d´efinie par S(ξ) = FT(ξ)

(1 +|ξ|²)^p+N , ξ∈R^N.

Evidemment, S est une fonction de classe C^∞ sur R^N, d’apr`es le Th´eor`eme 5.4.5. D’autre part

|S(ξ)| ≤C(1 +|ξ|²)^−N, ξ∈R^N, de sorte que S∈L¹(R^N).

En particulier,Sd´efinit un ´el´ement deS⁰(R^N), et sa transform´ee de Fourier inverse est la distribution d´efinie par la fonction continue born´ee

f : R^N 3x7→

Z ∞

−∞

e^ix·ξS(ξ)_(2π)^dξN

— cf. Exemple 5.4.2 ci-dessus et la formule d’inversion de Fourier (Th´eor`eme 5.4.8).

De plus, par construction, F (I−∆)^p+Nf

= (1 +|ξ|²)^p+NFf =FT de sorte que

T = (I−∆)^p+Nf

puisque F est un isomorphisme deS⁰(R^N) dans lui-mˆeme.

L’une des vertus de la transformation de Fourier est de transformer le produit de convolution en produit ponctuel.

Th´eor`eme 5.4.11 (Transformation de Fourier et convolution) Soient deux distributionsT ∈ S⁰(R^N)etS∈ E⁰(R^N); alors

F(S ? T) =FS· FT dansS⁰(R^N).

Dans le cas particulier o`u T=Tf avec f ∈ S(R^N), on a

F(S ? f)(ξ) =FS(ξ)Ff(ξ), pour toutξ∈R^N.

D´emonstration.Commen¸cons par traiter le cas particulier avecf ∈C_c^∞(R^N).

D’apr`es la Proposition 5.1.7 (d), on sait queS ? f ∈ S(R^N). Alors F(S ? f)(ξ) =

Z

R^N

e^−iξ·xhS, f(x− ·)idx=

S, Z

R^N

e^−iξ·xf(x− ·)dx

d’apr`es le th´eor`eme de Fubini pour le crochet de dualit´e (Proposition 3.3.21).

Or, d’apr`es la Proposition 5.2.2 (c), Z

R^N

e^−iξ·xf(x−y)dx=Ff(ξ)e_−ξ(y).

en notante_ξ la fonction d´efinie par

eξ: R^N 3y7→e^iξ·y.

Alors, on d´eduit de ce qui pr´ec`ede et du Th´eor`eme 5.4.5 que

F(S ? f)(ξ) =hS,Ff(ξ)e_−ξi=Ff(ξ)hS, e−ξi=Ff(ξ)FS(ξ), ξ∈R^N. Passons maintenant au cas g´en´eral.

D’une part S ? T ∈ S⁰(R^N) d’apr`es la Proposition 5.3.3 (c) puisque S ∈ E<sup>0</sup>(R<sup>N</sup>) et T ∈ S<sup>0</sup>(R<sup>N</sup>), de sorte que F(S ? T) ∈ S<sup>0</sup>(R<sup>N</sup>). D’autre part, FSFT ∈ S<sup>0</sup>(R<sup>N</sup>) d’apr`es la Proposition 5.3.3 (b) puisque FT ∈ S⁰(R^N) (comme transform´ee de Fourier de T ∈ S⁰(R^N)) et que FS est une fonction de classeC^∞surR^N `a croissance polynˆomiale ainsi que toutes ses d´eriv´ees (cf.

Th´eor`eme 5.4.5).

V´erifions que les deux distributions temp´er´eesF(S ?T) etFSFT sont ´egales en tant que distributions — c’est `a dire qu’elles co¨ıncident sur C_c^∞(R^N). Pour toutφ∈C_c^∞(R^N), on a

hF(S ? T), φi=hS ? T,Fφi=hS ? T,(2π)^NF^⁻¹φi

=hT,(2π)^NS ?e F^⁻¹φi

= (2π)^NhT,S ?^F⁻¹φi

=hT,F F S ?F⁻¹φ

i=hFT,F S ?F⁻¹φ i d’apr`es le th´eor`eme d’inversion de Fourier appliqu´e `a S ?^F⁻¹φ∈ S(R^N).

D’apr`es le cas particulier du th´eor`eme que nous venons de d´emontrer, en posantψ=F⁻¹φ∈ S(R^N), on a

F(S ?F⁻¹φ) =F(S ? ψ) =FSFψ=φFS de sorte que

hF(S ? T), φi=hFT,F S ?F⁻¹φ i

=hFT,FSF(F⁻¹φ)i=hFT, φFSi=hFSFT, φi. Comme ceci vaut pour tout φ∈C_c^∞(R^N), on en d´eduit que

F(S ? T) =FSFT

par densit´e deC_c^∞(R^N) dans la classe de SchwartzS(R^N) (Proposition 5.1.4.) Le lecteur a d´ej`a rencontr´e le th´eor`eme de Plancherel — cf. cours de P.

Colmez, chapitre IV.4. Dans cette pr´esentation, la transformation de Fourier sur L²(R^N) ´etait construite par densit´e de L¹∩L² dans l’espace de Hilbert L² et en utilisant la formule de Plancherel que l’on avait d´emontr´ee pour les fonctions en escalier `a support compact. Une autre fa¸con d’arriver au mˆeme r´esultat consiste `a montrer que L²(R^N) est un sous-espace de S⁰(R^N) stable sous l’action de la transformation de FourierF.

Th´eor`eme 5.4.12 (Th´eor`eme de Plancherel) La transform´ee de Fourier d´ e-finie dans S⁰(R^N) induit un isomorphisme de C-espace vectoriel de L²(R^N) dans lui-mˆeme, v´erifiant en outre l’identit´e

(f|g)_L2(R^N)= 1

(2π)^N(Ff|Fg)_L2(R^N)

pour tous f, g∈L²(R^N).

D´emonstration. CommeL²(R^N)⊂ S⁰(R^N), la transformation de Fourier F dansS⁰(R^N) induit par restriction un isomorphismeC-lin´eaire deL²(R^N) dans FL²(R^N).

V´erifions queFL²(R^N)⊂L²(R^N).

Soit doncf ∈L²(R^N) ; d’apr`es le Corollaire 5.1.5, il existe une suite (fn)n≥1

de fonctions de la classe de Schwartz convergeant vers f dansL²(R^N) : kfn−fk_L2(R^N)→0 pourn→ ∞.

Pour toutφ∈ S(R^N), on a

|hFfn, φi|=|hfn,Fφi| ≤ kfnk_L2(R^N)kFφk_L2(R^N)≤Ckφk_L2(R^N)

avec

C= (2π)^N/2sup

n≥1

kfnk_L2(R^N)<∞

d’apr`es la formule de Plancherel pour les fonctions de la classe de Schwartz — Corollaire 5.2.7 — et compte-tenu de ce que la suite (fn)_n≥1 converge dans L²(R^N).

On sait que fn →f dans L²(R^N) et donc a fortiori dans S⁰(R^N) lorsque n → ∞, de sorte que, par continuit´e de la transformation de Fourier dans S⁰(R^N), on a

Ff_n→ Ff dansS⁰(R^N) pourn→ ∞.

L’in´egalit´e ci-dessus entraˆıne donc que

|hFf, φi| ≤Ckφk_L2(R^N), pour toutφ∈ S(R^N).

Par densit´e deS(R^N) dansL²(R^N), cette in´egalit´e vaut pour toutφ∈L²(R^N), ce qui montre que Ff se prolonge par continuit´e en une forme lin´eaire sur l’espace de Hilbert L²(R^N). Le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz implique alors l’existence d’un ´el´ement ˆf deL²(R^N) tel que

hFf, φi= fˆ

φ

L²(R^N)

, pour toutφ∈L²(R^N).

La forme lin´eaireFf s’identifie donc `a la fonction ˆf deL<sup>2</sup>(R<sup>N</sup>), d’o`u FL²(R^N)⊂L²(R^N).

D’apr`es la formule d’inversion de Fourier pour les distributions temp´er´ees (Th´eor`eme 5.4.8),

L²(R^N) =F F L²(R^N)

⊂ F L²(R^N) , d’o`u

F L²(R^N)

=L²(R^N)

etF induit un isomorphismeC-lin´eaire deL²(R^N) dans lui-mˆeme.

V´erifions enfin la formule de Plancherel. On a montr´e que l’identit´e ( ˆf|φ)_L2(R^N)=hFf , φi=hF f

◦(−Id_RN), φi=hF f

, φ◦(−Id_RN)i vaut pour toutφ∈L²(R^N). Prenonsφ= ˆg avecg∈L²(R^N) : toujours d’apr`es la formule d’inversion de Fourier

ˆ

g◦(−Id_RN) = (Fg)◦(−Id_RN) = (2π)^NF⁻¹g . Ins´erant ce choix deφdans l’identit´e pr´ec´edente, on trouve que

( ˆf|ˆg)_L2(R^N)=hF f

,(2π)^NF⁻¹gi

=hf ,(2π)^NF(F⁻¹g)i= (2π)^Nhf , gi= (2π)^N(f|g)_L2(R^N)

ce qui est pr´ecis´ement la formule de Plancherel.

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