Espaces de Sobolev - Transformation de Fourier

Transformation de Fourier

5.7 Espaces de Sobolev

k∈Z

ck2πF⁻¹δ2πk=X

k∈Z

cke^i2πkx, o`u on rappelle que

ck =F(φu)(2πk) pour toutk∈Z, et o`u la s´erie au membre de droite converge dansS⁰(R).

Comme on l’a rappelé après l’énoncé de la Proposition 5.6.4, dans le cas où la distribution uest en fait une fonction continue périodique sur Rde période 1, le nombre ck est le coefficient de Fourier d’ordre kdeu. Comme la fonction udéfinit un élément deL²(R/Z), la théorie classique des séries de Fourier nous dit que la série de Fourier deu

k∈Z

c_ke^i2πkx

converge dans L²(R/Z) vers u — voir cours de P. Colmez, chapitre IV.3. Le point de vue des distributions nous dit que cette même série converge dans S⁰(R) (ce qui est évidemment une information plus faible.)

5.7 Espaces de Sobolev

On connaˆıt les espaces C^m(Ω), où Ω est un ouvert de R^N et m un entier positif. La notion de fonction de classe C^m est évidemment fondamentale, de sorte que les espacesC^m(Ω) sont de toute fa¸con des objets très naturels.

En revanche, les espacesC^m(Ω) ne sont pas très commodes pour y faire de l’analyse fonctionnelle — c’est à dire pour y utiliser des arguments de nature topologique où les éléments de l’espace C^m(Ω) sont traités comme des points (en oubliant qu’il s’agit de fonctions sur Ω.) Par exemple, les espaces C^m(Ω) munis de la convergence uniforme sur tout compact des dérivées d’ordre au plus mne sont pas des espaces de Banach.

Au contraire, les espaces de LebesgueL^p(X), où X ⊂R^N est un ensemble mesurable et où 1 ≤ p ≤ ∞, sont des espaces de Banach — voir le cours de P. Colmez, chapitre II. Mais les éléments de ces espaces sont des classes d’équivalence de fonctions égales en dehors d’un ensemble de mesure nulle — ou encore, ce qui revient au même, de fonctions mesurables définies p.p. sur X — donc des objets typiquement beaucoup plus irréguliers que des fonctions continues.

Les espaces de Sobolev constituent un compromis entre les espacesC^m(Ω) et les espaces de LebesgueL^p(X), au sens suivant :

(a) ces espaces sont naturellement des espaces de Banach ou mˆeme de Hilbert, et

(b) ces espaces se comparent tr`es facilement aux espacesC^m(Ω).

D´efinition 5.7.1 (Espaces de Sobolev) Soient Ω ouvert de R^N, un entier k∈Netp∈[1,∞]. L’espace de SobolevW^k,p(Ω) est d´efini par

W^k,p(Ω) ={f ∈L^p(Ω)|∂^αf ∈L^p(Ω) pour|α| ≤k}. Cet espace est muni de la norme

kfk_Wk,p(Ω)= X

|α|≤k

k∂^αfkL^p(Ω).

Evidemment W^0,p(Ω) =L^p(Ω).

On vérifie sans peine que les espacesW^k,p(Ω) munis de la norme ainsi définie sont des espaces de Banach — c’est une conséquence facile du fait que L^p(Ω) muni de la normek · k_Lp(Ω)est complet, du fait qu’une suite de fonctions conver-geant dansL^p(Ω) converge dansD⁰(Ω) vers la même limite, et enfin de la conti-nuité de la dérivation dansD⁰(Ω).

Un cas particulier tr`es important de ces espaces de Sobolev est celui o`u p= 2. On note, pour toutk∈N,

H^k(Ω) :=W^k,2(Ω).

Par rapport aux espaces de SobolevW^k,p(Ω), les espacesH^k(Ω) possèdent une propriété supplémentaire fort agréable : ce sont des espaces de Hilbert, pour le produit scalaire

(f|g)_Hk(Ω)= X

|α|≤k

(∂^αf|∂^αg)_L2(Ω), o`u on rappelle que

(φ|ψ)_L2(Ω)= Z

Ω

φ(x)ψ(x)dx .

Il n’est pas difficile de voir que la norme d´efinie par ce produit scalaire est bien

equivalente `a la normek · k_Wk,2(Ω) d´efinie plus haut.

Nous n’étudierons pas plus en détail les espacesW^k,p(Ω) ou mêmeH^k(Ω) lorsque Ω est un ouvert quelconque de R^N, bien que ces espaces soient d’un grand intérêt pour l’analyse des équations aux dérivées partielles. Pour plus de détails sur ces questions, voir par exemple le cours de G. Allaire, Analyse numérique et optimisation, chapitre 4.

En revanche nous allons nous restreindre au cas particulier où l’ouvert Ω est l’espaceR^N tout entier, et montrer comment l’emploi de la transformation de Fourier permet d’établir de fa¸con très simple les propriétés essentielles des espacesH^k(R^N).

Commen¸cons par une remarque cruciale, bien que triviale :

Lemme 5.7.2 Soitk∈N^∗ etf ∈ S⁰(R^N); il y a ´equivalence entre (a) f ∈H^k(R^N);

(b) pour tout multi-indiceα∈N^N tel que|α| ≤k, on a ξ^αFf ∈L²(R^N).

Démonstration.D’après la Proposition 5.4.3 (a), il suffit évidemment de trai-ter le cas oùk= 0. Autrement dit, il suffit de faire voir que, pourf ∈ S⁰(R^N), il y a équivalence entre les deux conditions

(a’) f ∈L²(R^N), et et

(b’)Ff ∈L²(R^N).

Que (a’) entraˆıne (b’) est une conséquence du théorème de Plancherel (Th´ eo-rème 5.4.12).

Montrons que (b’) implique (a’). D’après le Théorème 5.4.8 d’inversion de Fourier,

F(Ff) = (2π)^Nf˜= (2π)^Nf◦(−Id_RN). D’autre part, toujours d’après le Théorème 5.4.12 de Plancherel

F(Ff)∈L²(R^N) puisqueFf ∈L²(R^N). Par cons´equent

f ◦(−Id_RN)∈L²(R^N) ce qui implique la condition (a’).

D’après le théorème de Plancherel et la Proposition 5.4.3 (a) (f|g)_Hk(R^N)=_(2π)¹N

|α|≤k

(ξ^αFf|ξ^αFg)L²(Ω)

de sorte que

(f|f)_Hk(R^N)= _(2π)¹_N Z

R^N



 X

|α|≤k

ξ^2α



|Ff(ξ)|²dξ

= _(2π)¹N

R^N

(1 +|ξ|²)^k|Ff(ξ)|²dξ .

Ceci suggère de généraliser la définition ci-dessus des espaces de SobolevH^k

a des valeurs non enti`eres dek, comme suit.

D´efinition 5.7.3 (Espaces H^s(R^N)) Pour tout s∈R, on d´efinit H^s(R^N) ={f ∈ S⁰(R^N)|(1 +|ξ|²)^s/2Ff ∈L²(R^N)}

et on pose

(f|g)_Hs(R^N)= _(2π)¹N

R^N

(1 +|ξ|²)^sFf(ξ)Fg(ξ)dξ .

L’espace vectorielH^s(R^N)est un espace de Hilbert pour la forme sesquilin´eaire (·|·)H^s(R^N). Dans toute la suite, on notek·kH^s(R^N)la norme hermitienne d´efinie par la formule

kfk_Hs(R^N)= (f|f)^1/2_H_s_(R_N₎, f ∈H^s(R^N).

La discussion ci-dessus montre que cette définition co¨ıncide avec la précédente lorsques∈N, et que la normek · k_Hs(R^N)ainsi définie est équivalent à la norme k · k_Ws,2(R^N) qui a été définie plus haut.

Voici quelques premières propriétés très simples de ces espacesH^s(R^N).

Proposition 5.7.4 (Echelle des espaces H^s(R^N)) Soients, t∈R.

(a) Sis < t, alorsH^t(R^N)⊂H^s(R^N)et cette inclusion d´efinit une application lin´eaire continue, car

kfk_Hs(R^N)≤ kfk_Ht(R^N), f ∈H^t(R^N) ; (b) Pour tout s >0, on a

H^s(R^N)⊂L²(R^N)⊂H^−s(R^N) et ces deux inclusions sont continues ;

S(R^N) est un sous-espace dense deH^s(R^N) ; (d) l’application lin´eaire

H^−s(R^N)3f 7→L_f ∈H^s(R^N)⁰, oùLf est la forme linéaire définie par

Lf(φ) =_(2π)¹N

R^N

Ff(ξ)Fφ(ξ)dξ ,

est un isomorphisme (anti-lin´eaire) isom´etrique entre H^−s(R^N) et le dual to-pologique⁵ H^s(R^N)⁰ de l’espaceH^s(R^N).

D´emonstration.Le point (a) est trivial.

Il entraˆıne le point (b) carH⁰(R^N) =L²(R^N).

L’inclusionS(R^N)⊂H^s(R^N) du point (c) est ´egalement triviale.

5Le dual topologique d’un espace vectoriel norméE est le sous-espace du dualE^∗ deE, généralement notéE⁰, des formes linéaires continues surE.

V´erifions que S(R^N) est dense dans H^s(R^N). Soit donc f ∈ H^s(R^N) ; on sait que

Φ = (1 +|ξ|²)^s/2Ff ∈L²(R^N).

Par densité de C_c^∞(R^N) dans L²(R^N)— cf Théorème 1.3.14 — il existe une suite (Φ_n)_n≥1 de fonctions deC_c^∞(R^N)⊂ S(R^N) telle que

Φn→Φ dansL²(R^N) lorsquen→ ∞.

Notons, pour toutn≥1,

φ_n= (1 +|ξ|²)^−s/2Φ_n∈C_c^∞(R^N)⊂ S(R^N), etf_n =F⁻¹φ_n.

Evidemment fn ∈ S(R^N) pour tout n≥1 puisqueφn ∈ S(R^N) et que F est un isomorphisme deS(R^N) dans lui-mˆeme. D’autre part

kfn−fk_Hs(R^N)=_(2π)¹_N/2k(1 +|ξ|²)^s/2(Ffn− Ff)k_L2(R^N)

=_(2π)¹_N/2kΦn−Φk_L2(R^N)→0 lorsquen→ ∞.

Pour ce qui est du point (d), d’après le théorème de représentation de Riesz, l’application anti-linéaire

H^s(R^N)3φ7→Λφ∈H^s(R^N)⁰

est un isomorphisme anti-linéaire isométrique, où Λ_φ est la forme linéaire conti-nue surH^s(R^N) définie par

Λφ(ψ) = (φ|ψ)_Hs(R^N)=_(2π)¹N

R^N

(1 +|ξ|²)^sFφ(ξ)Fψ(ξ)dξ , ψ∈H^s(R^N). Or la définition même de H^s(R^N) et de k · k_Hs(R^N) montre que l’application linéaire

T : H^s(R^N)3φ7→T φ=F⁻¹ (1 +|ξ|²)^sFφ

∈H^−s(R^N) est ´evidemment un isomorphisme isom´etrique. La formule

Lf = Λ_T−1f

entraˆıne imm´ediatement le r´esultat.

Les espacesH^s(R^N) ont beau avoir sur les espacesC^m(R^N) le grand avan-tage d’ˆetre des espaces de Hilbert, on ne peut pas se passer compl`etement de ces derniers, et il est donc souhaitable de pouvoir comparer les espaces de Sobolev aux espacesC^m(R^N), qui sont des objets plus familiers.

Théorème 5.7.5 (Théorème de plongement de Sobolev) Soitk∈N. Pour touts > ^N₂ +k, on a

H^s(R^N)⊂C^k(R^N).

Plus précisément, tout f ∈H^s(R^N) est égale p.p. à une fonction deC^k(R^N); Cauchy-Schwartz. Par inversion de Fourier (voir Théorème 5.4.8, ainsi que l’Exemple 5.4.2), la distribution tempérée ∂^αf est en fait une fonction continue, et on a

∂^αf(x) = _(2π)¹_N

Une conséquence immédiate du théorème de plongement de Sobolev est le fait que

s∈R

H^s(R^N)⊂C^∞(R^N).

Toutefois, les espaces H^s(R^N) ne se comportent pas tout `a fait comme les espacesC^k(R^N). En voici un exemple frappant.

Evidemment, pour tout f ∈C^m(R^N) et pour tout hyperplan Σ deR^N, la restriction f

_Σ est une fonction de classe C^m sur Σ (on peut supposer que Σ est l’hyperplan d’´equationx₁= 0, auquel cas la restrictionf

_Σest l’application (x₂, . . . , x_N)7→f(0, x₂, . . . , x_N) qui admet bien des dérivées partielles continues jusqu’à l’ordremsif ∈C^m(R^N).)

L’énoncé analogue dans le cadre des espaces de Sobolev est faux. Si f ∈ H^s(R^N) avec s > 0 et N ≥ 2, la restriction de f à l’hyperplan d’équation x_N = 0 n’est pas en général un élément deH^s(R^N−1).

Cette restriction n’est d’ailleurs même pas a priori bien définie, puisque H^s(R^N) est un sous-espace deL²(R^N), de sorte qu’une fonction deH^s(R^N) est une classe d’équivalence de fonctions mesurables qui co¨ıncident sur le compl´ emen-taire d’un ensemble de mesure nulle — ou, ce qui revient au même, une fonction mesurable définie seulement p.p. surR^N. Comme tout hyperplan deR^N est de mesure nulle, on ne peut donc pas parler de la restriction à un hyperplan d’une fonction deH^s(R^N).

On a toutefois un r´esultat positif dans cette direction, connu sous le nom de

“th´eor`eme de trace”.

Théorème 5.7.6 (Théorème de trace) SoientN≥2ets >1/2. Alors l’ap-plication linéaire

γ: S(R^N)→ S(R^N−1) d´efinie par

γ(f)(x₁, . . . , x_N−1) =f(x₁, . . . , x_N−1,0) se prolonge en une application lin´eaire continue

γ: H^s(R^N)→H^s−1/2(R^N−1).

L’application linéaire γ est appelée habituellement “trace sur l’hyperplan d’équationxN = 0”.

Comme nous l’avons expliqué ci-dessus, il serait impropre d’appeler γ(f) la restriction de f à l’hyperplan d’équation xN = 0. Plus exactement, γ est l’unique application linéaire deH^s(R^N) dansH^s−1/2(R^N⁻¹) co¨ıncidant avec la restriction à l’hyperplan d’équationxN = 0 sur la classe de Schwartz S(R^N), qui est un sous-espace dense deH^s(R^N).

D´emonstration. Pour tout x ∈ R^N, notons x⁰ = (x1, . . . , xN−1) ∈ R^N⁻¹. Alors, pour tout f ∈ S(R^N), l’on a

kγ(f)k_Hs−1/2(R^N)=_(2π)¹_N/2k(1 +|ξ⁰|²)^s/2−1/4F(γ(f))k_L2(R^N−1). Or, par théorème d’inversion de Fourier (Théorème 5.2.5)

F(γ(f))(ξ⁰) =_2π¹ Z

Ff(ξ)dξN, ξ∈R^N. Appliquons alors l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz :

Commes >1/2, on aJ(ξ⁰)<∞pour toutξ⁰∈R^N⁻¹; en faisant le changement de variables

ζ= ξ_N p1 +|ξ⁰|² on trouve que

J(ξ⁰) =Cs(1 +|ξ⁰|²)^1/2−s, avecCs= Z

dζ (1 +ζ²)^s. On déduit de ce qui précède que

(1 +|ξ⁰|²)^s−1/2|F(γ(f))(ξ⁰)|²≤Cs

(1 +|ξ|²)^s|Ff(ξ)|²dξN,

si bien qu’en intégrant chaque membre de cette inégalité surR^N⁻¹, on arrive à l’inégalité

kγ(f)k²_Hs−1/2(R^N−1)=_(2π)¹N−1

R^N−1

(1 +|ξ⁰|²)^s−1/2|F(γ(f))(ξ⁰)|²dξ⁰

≤2πC_s_(2π)¹_N Z

R^N

(1 +|ξ|²)^s|Ff(ξ)|²dξ= 2πC_skfk²_Hs(R^N). On conclut par densité de S(R^N) dansH^s(R^N) (d’après la Proposition 5.7.4 (c)), grâce à l’argument de prolongement unique énoncé dans le cours de P.

Colmez (vocabulaire math´ematique,§6.6).

5.8 Exercices

Exercice 1.

Calculer les transformées de Fourier des fonctions ou distributions suivantes définies sur la droite réelle

(a) _1+x¹2

(b)e^−|x|

(d) _x±i0¹ (e) vp_x¹

(f) x^k1_R₊(x) pour tout entierk≥0.

Exercice 2.

SoitT ∈ D⁰(R^N) une distribution homogène de degréβ. Montrer queT est une distribution tempérée et que FT est une distribution homogène dont on précisera le degré.

Exercice 3.

a) Calculer les transform´ees de Fourier dex^α₊ pour α > −1 en fonction de la

a) Existe-t-il une fonctionf ∈ S(R) telle que Z

x^kf(x)dx= 0 pour tout entierk≥0 ? b) Mˆeme question en cherchantf ∈C_c^∞(R).

c) Existe-t-il une distributionS∈ E⁰(R) telle que

hS, x^ki= 0, pour tout entierk≥0 ?

Probl`eme : le principe d’incertitude de Heisenberg

Le but de ce problème est de montrer une formulation mathématique du principe d’incertitude de Heisenberg en mécanique quantique.

1) Soitf ∈ S(R) à valeurs complexes. Montrer que 3) Déduire de ce qui précède une minoration de

4) Montrer que, la fonctionf étant fixée et choisie comme ci-dessus, la quantité dans la question 3) est minimale lorsque

5) Expliquer pourquoi ce qui précède est une formulation mathématique du principe d’incertitude. (Voir le cours de J. DalibardIntroduction à la mécanique quantique.)

6) Calculer

inf Z

(x−x)²|f(x)|²dx Z

(ξ−ξ)²|Ff(ξ)|²dξ

lorsquexetξsont choisis comme dans la question 4), et quef d´ecrit l’ensemble des fonctions deS(R) v´erifiant

|f(x)|²dx= 1.

(Indication : on pourra ´etudier le cas o`u f est une gaussienne.)

7) Généraliser ce qui précède au cas de fonctions deS(R^N) avecN ≥2. Calculer, pour toutk6=l∈ {1, . . . , N},

inf Z

R^N

x²_k|f(x)|²dx Z

R^N

ξ_l²|Ff(ξ)|²dξ lorsquef d´ecrit l’ensemble des fonctions f ∈ S(R^N) telles que

R^N

|f(x)|²dx= 1.

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