Structure des distributions ` a support dans un sin- sin-gletonsin-gleton

sup

x∈K

|∂^βχ(x)|sup

x∈K

|∂^α−βφ(x)|

ce qui entraˆıne le point (b) avecp=pK et C=CK max

|α|≤pK

X

β≤α

α β

sup

x∈K

|∂^βχ(x)|.

Evidemment, toute distribution `a support compact peut ˆetre prolong´ee par 0 en dehors de Ω, de la fa¸con suivante.

D´efinition 4.1.6 (Prolongement d’une distribution de E⁰) Soient Ω ou-vert de R^N etT ∈ E⁰(Ω). On d´efinit le prolongement T˙ de T par 0 en dehors deΩen posant

hT , φi˙ _E0(R^N),C^∞(R^N)=hT, φ

_Ωi_E⁰_(Ω),C^∞_(Ω). Evidemment

T˙

_Ω=T , et supp( ˙T) = supp(T).

4.1.3 Structure des distributions ` a support dans un sin-gleton

On a vu plus haut que la masse de Diracδx₀ et ses d´eriv´ees successives sont toutes `a support dans le singleton{x0}.

R´eciproquement, les distributions `a support dans un singleton admettent une caract´erisation tr`es simple.

Th´eor`eme 4.1.7 (Distributions `a support dans un singleton) Soient Ω un ouvert de R^N, un pointx₀ ∈ Ω et une distribution T ∈ D⁰(Ω). Supposons que

supp(T)⊂ {x0}.

Alors il existe une suite(aα)_α∈NN de nombres r´eels (ou complexes) telle que a_α= 0 d`es que|α|>ordre de T

et

T = X

α∈N^N

aα∂^αδx₀.

D´emonstration.D’apr`es la Proposition 4.1.5 (a), commeT est `a support dans le singleton{x0}qui est compact dans Ω, c’est une distribution d’ordre fini p.

Sans restreindre la g´en´eralit´e de la preuve, nous allons supposer quex₀= 0

— cas auquel on peut toujours se ramener par translation.

SoitX ∈C^∞(R) telle que X

[−1,1]= 1, supp(X)⊂[−2,2], 0≤X≤1.

Pour tout >0, on poseχ(x) =X(|x|/) ; par construction, la fonctionχ ∈ C^∞(R^N) est `a support dansB(0,2) et vaut identiquement 1 surB(0, ).

Pour toute fonction φ∈C^∞(Ω), on a

hT, φi=hT, χφi+hT,(1−χ)φi

et le second terme au membre de droite de cette ´egalit´e est nul, car le support de (1−χ)φest inclus dans Ω\B(0, ) et donc ne rencontre pas supp(T) ={0}

— cf. Proposition 4.1.2 (b).

Etape 1.

Supposons maintenant que

∂^αφ(0) = 0 pour toutα∈N^N tel que|α| ≤p= ordre deT. Il s’agit de montrer que

hT, φi= 0. Notons

η=¹₂dist(0, ∂Ω).

Ecrivons la formule de Taylor `a l’ordrep− |α|pour∂^αφen 0 :

∂^αφ(x) = (p+ 1− |α|) X

|β|=p+1−|α|

x^β β!

Z 1 0

(1−t)^p−|α|∂^β∂^αφ(tx)dt , de sorte que

|∂^αφ(x)| ≤Mp|x|^p+1−|α| pour toutx∈Ω tel que|x| ≤η avec

Mp= (p+ 1) sup

|y|≤η

X

|β|=p+1

|∂^βφ(y)|. Utilisons maintenant la propri´et´e de continuit´e deT :

|hT, φi|=|hT, χφi| ≤Cmax

|α|≤p sup

|x|≤2

|∂^α(χφ)(x)|. D’apr`es la formule de Leibnitz

∂^α(χφ) =X

β≤α

α β

∂^βχ∂^α−βφ . De plus, pour|β| ≤p

|∂^βχ(x)| ≤N_p^−|β|pour toutx∈Ω tel que |x| ≤η,

avec

N_p= max

|γ|≤p sup

|y|≤η

|∂^γχ₁(y)|. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, l’hypoth`ese

∂^αφ(0) = 0 pour toutα∈N^N tel que |α| ≤p, entraˆıne donc que

|∂^α(χφ)(x)| ≤ X

β≤α

α β

MpNp(2)p+1−|α|+|β|^−|β|

≤M_pN_pQ_p^p+1−|α|≤M_pN_pQ_p pour toutx∈Ω d`es que < ¹₂η, avec

Qp= max

|α|≤p

X

β≤α

α β

2p+1−|α|+|β|≤2^2p+1. Ainsi

|hT, φi| ≤CM_pN_pQ_p ,

d’o`u on tire, puisque >0 peut ˆetre choisi arbitrairement petit, que hT, φi= 0

pour toute fonctionφ∈C^∞(Ω) telle que

∂^αφ(0) = 0 pour toutα∈N^N tel que|α| ≤p= ordre deT. Etape 2.

Soit maintenantψ∈C^∞(Ω) quelconque ; la fonctionψd´efinie par φ(x) =ψ(x)− X

|α|≤p 1

α!∂^αψ(0)x^α est de classeC^∞ sur Ω et v´erifie

∂^αφ(0) = 0 pour toutα∈N^N tel que |α| ≤p.

D’apr`es ce qui pr´ec`ede

hT, ψi=hT, φi+ X

|α|≤p 1

α!hT, x^αi∂^αψ(0)

= X

|α|≤p 1

α!hT, x^αi∂^αψ(0) ce qui signifie pr´ecis´ement que

T = X

|α|≤p (−1)^|α|

α! hT, x^αi∂^αδ₀.

Nous verrons dans la suite de ce cours plusieurs applications de ce r´esultat.

En voici d´ej`a une, ´el´ementaire : il s’agit de donner une d´emonstration plus simple du Lemme 3.5.13, qui affirme qu’une distribution homog`ene de degr´e

>−N dansR^N et `a support dans{0} est identiquement nulle.

D´emonstration du Lemme 3.5.13. En effet, une distribution `a support dans {0} est une combinaison lin´eaire finie de δ<sub>0</sub> et de ∂<sup>α</sup>δ<sub>0</sub> pour αd´ecrivant N<sup>N</sup>. Or on sait que δ<sub>0</sub> est homog`ene de degr´e −N et ∂^αδ₀ est homog`ene de degr´e

−N− |α|: aucune combinaison lin´eaire finie de ces distributions ne peut donc ˆ

etre homog`ene de degr´e>−N, sauf la combinaison nulle.

Voici une autre application importante du Th´eor`eme 4.1.7.

Application : ´equation x^mT= 0

Soient Iintervalle ouvert deRetx0∈I. On cherche quelles sont les distri-butionsT ∈ D⁰(I) telles que

(x−x0)^mT = 0, o`um∈N.

Tout d’abord, remarquons que cette relation implique que supp(T)⊂ {x0}.

D’apr`es le Th´eor`eme 4.1.7 ci-dessus,T est de la forme T =

n

X

k=0

akδ_x^(k)₀ .

Substituons le membre de droite de cette formule dans l’´equation, et utilisons la formule de Leibnitz pour calculer

(x−x₀)^mδ^(k)_x

0 = (−1)^mk!

(k−m)!δ_x^(k−m)

0 sik≥m , = 0 sik < m.

On en d´eduit quea_k = 0 pourk≥m, de sorte que les solutions de l’´equation (x−x₀)^mT = 0 dans D⁰(I)

sont toutes les distributions de la forme T =

m−1

X

k=0

akδ_x^(k)₀ , o`u les coefficientsa_k sont quelconques.

Application : prolongement des distributions homog`enes

Revenons au probl`eme du prolongement `a R^N des distributions homog`enes surR^N \ {0}´evoqu´e au chapitre pr´ec´edent (section 3.5).

SoitT ∈ D⁰(R^N\{0}) homog`ene de degr´e−N. D’apr`es la Proposition 3.5.11, cette distribution v´erifie la relation d’Euler

div(xT) = 0 dansD⁰(R^N \ {0}).

Or les distributions xkT sont, pour tout k = 1, . . . , N, homog`enes de degr´e 1−N dansR<sup>N</sup>\ {0}: d’apr`es la Proposition 3.5.12, elles admettent un unique prolongement (xkT)˙∈ D⁰(R^N) qui soit homog`ene de degr´e 1−N. Alors

div((xT)˙) =cδ0dansD⁰(R^N).

(En effet, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, div((xT)˙) est une distribution `a support dans {0} qui est de surcroˆıt homog`ene de degr´e −N : la conclusion d´ecoule donc du Th´eor`eme 4.1.7 ci-dessus, ainsi que du fait que les distributions ∂<sup>α</sup>δ0 sont homog`enes de degr´e−N− |α|.) La constante c est appel´ee “r´esidu en 0 de la distribution homog`eneT”.

Supposons queT admette un prolongement ˙T ∈ D⁰(R^N) qui soit homog`ene de degr´e−N; ´evidemment, l’unicit´e du prolongement dans la Proposition 3.5.12 garantit que

(x_kT)˙ =x_kT ,˙ k= 1, . . . , N . de sorte que

div(xT˙) =cδ0 dansD⁰(R^N).

Mais comme d’autre part ˙T est une distribution homog`ene de degr´e−N dans R<sup>N</sup>, elle doit, d’apr`es la Proposition 3.5.11, v´erifier la relation d’Euler dansR^N, c’est `a dire que

div(xT˙) = 0 dansD⁰(R^N).

On vient de donc de d´emontrer que pour qu’une distribution homog`ene de degr´e−N dansR<sup>N</sup> \ {0} admette un prolongement homog`ene, il faut que son r´esidu `a l’origine soit nul. En fait la r´eciproque est vraie :

Proposition 4.1.8 SoitT ∈ D⁰(R^N \ {0})homog`ene de degr´e −N. Pour que T admette un prolongement T˙ ∈ D<sup>0</sup>(R<sup>N</sup>) homog`ene de degr´e −N, il faut et il suffit que le r´esidu de T en 0soit nul.

Admettons ce r´esultat, et voyons ce qu’il signifie pour une distribution d´efinie par une fonction f continue sur R^N \ {0} homog`ene de degr´e −N. Une telle fonction est n´ecessairement de la forme

f(x) = 1

|x|^NA x

|x|

, x∈R^N\ {0}

avecA∈C(S^N−1).

Soit φ ∈C_c^∞(R^N) fonction test radiale — de la forme φ(x) = Φ(|x|) avec Passons maintenant en coordonn´ees sph´eriques :x=rω avecr=|x|, de sorte que pour toute fonction testφradiale surR^N, de sorte que

c= Z

S^N−1

A(ω)dσ(ω). Autrement dit, la fonction homog`ene de degr´e−N

f(x) = 1

o`u A est une fonction continue sur S<sup>N−1</sup>, se prolonge en une distribution ho-mog`ene de degr´e−N surR^N si et seulement si

Z

S^N−1

A(ω)dσ(ω) = 0

c’est `a dire si et seulement siAest de moyenne nulle sur la sph`ere unit´eS^N−1. Lorsque tel est le cas, le lecteur v´erifiera sans peine qu’on obtient un tel prolongement par la m´ethode de la valeur principale de Cauchy — cf. chapitre 3, exemple 3.2.8 :

De plus, toujours grˆace au Th´eor`eme 4.1.7 ci-dessus, on v´erifie ais´ement que tous les prolongements def dansD⁰(R^N) sont de la forme ˙f+ Const.δ₀.

4.2 Convolution C

_c^∞

? D

⁰

On a d´efini au chapitre 1 (section 1.3) le produit de convolution d’une fonction L¹_loc par une fonction de classe C^∞ `a support compact. Pour tout u∈L¹_loc(R^N) et toutφ∈C_c^∞(R^N), rappelons que

φ ? u(x) = Z

R^N

φ(x−y)u(y)dy , x∈R^N.

Cette d´efinition s’´etend sans difficult´e au cas du produit de convolution d’une distribution par une fonction de classeC^∞`a support compact.

D´efinition 4.2.1 (Convolution C_c^∞?D⁰) Pour toute distributionT ∈ D⁰(R^N) et toute fonction test φ∈C_c^∞(R^N), on d´efinit

T ? φ(x) =hT, φ(x− ·)i=hT,(τx)_∗φi˜ , pour toutx∈R^N o`u on a not´eφ˜la fonction d´efinie par

φ(x) =˜ φ(−x) et o`uτx d´esigne la translation de vecteurx

τx: y7→τx(y) =y+x , c’est `a dire que

(τx)_∗f(y) =f ◦τ−x=f(y−x), pour toutx, y∈R^N. (Voir D´efinition 3.3.17 et Exemple 3.3.18).

L’analogie entre cette d´efinition et celle concernant les fonctions sugg`ere que la majoration habituelle du support du produit de convolution reste valable dans ce nouveau cadre.

Proposition 4.2.2 (Majoration du support) Pour toute distribution T ∈ D⁰(R^N) et toute fonction testφ∈C_c^∞(R^N), on a

supp(T ? φ)⊂supp(T) + supp(φ). D´emonstration.Si x∈R^N \(supp(T) + supp(φ)), alors

supp(φ(x− ·)) ={x} −supp(φ), donc supp(φ(x− ·))∩supp(T) =∅. D’apr`es la Proposition 4.1.2 (b), ceci entraˆıne que

T ? φ(x) =hT, φ(x− ·)i= 0. Par cons´equent,

T ? φ= 0 sur l’ouvertR^N \(supp(T) + supp(φ)),

ce qui montre que cet ouvert est inclus dans le compl´ementaire du support de T ? φ:

R^N \(supp(T) + supp(φ))⊂R^N\(supp(T ? φ)). On en d´eduit l’inclusion annonc´ee par passage au compl´ementaire.

Comme dans le cas de la convolution d’une fonction localement int´egrable par une fonction test, on peut d´eriver au sens des distributions le produit de convolution d’une distribution par une fonction test en faisant porter la d´eriv´ee sur n’importe lequel des deux facteurs.

Proposition 4.2.3 (R´egularit´e de la convolution C_c^∞?D⁰) Pour toute dis-tribution T ∈ D⁰(R^N)et toute fonction test φ∈C_c^∞(R^N), le produit de convo-lution de la distribution T par la fonction test φ est de classeC^∞ sur R^N, et on a

∂_x^α(T ? φ) = (∂^α_xT)? φ=T ? ∂_x^αφ . D´emonstration.D’une part

(∂^αT)? φ(x) =h∂^αT, φ(x− ·)i= (−1)^|α|hT, ∂^α(φ(x− ·))i

=hT,(∂^αφ) (x− ·)i=T ? ∂^αφ(x) puisque

(−1)^|α|∂_y^α(φ(x−y)) = (∂^αφ) (x−y).

D’autre part, soitx₀∈R^N etχ∈C_c^∞(R^N) fonction plateau telle queχ= 1 surB(x₀,1) — cf. Lemme 1.4.1. La fonction de classeC^∞

(x, y)7→χ(x)φ(x−y) est `a support dans supp(χ)×(supp(χ) + supp(φ)). D’apr`es la Proposition 3.3.20 de d´erivation sous le crochet de dualit´e, la fonction x7→ hT, χ(x)φ(x− ·)iest de classeC^∞surR^N et

∂^αhT, χ(x)φ(x− ·)i=hT, ∂_x^α(χ(x)φ(x− ·))i.

Sur B(x₀,1), cette fonction co¨ıncide avecT ? φce qui montre que T ? φest de classeC^∞ surB(x₀,1) et que, pour toutx∈B(x₀,1), l’on a

T ? ∂^αφ(x) =hT,(∂^αφ)(x− ·)i=hT, ∂_x^α(φ(x− ·))i

=∂^αhT, φ(x− ·)i=∂^α(T ? φ). On conclut en observant que ceci vaut pour toutx0∈R^N.

Remarque 4.2.4 (ConvolutionE⁰? C^∞) On d´efinit le produit de convolu-tion d’une distribuconvolu-tion `a support compact par une fonction C^∞ par la mˆeme formule que dans la D´efinition 4.2.1 : pour S ∈ E⁰(R^N) et ψ ∈ C^∞(R^N), on pose

S ? ψ(x) =hS, ψ(x− ·)i, pour toutx∈R^N.

Le mˆeme argument que ci-dessus montre que

S ? φ∈C^∞(R^N)pour toutS∈ E⁰(R^N)et toutψ∈C^∞(R^N) et que

∂^α(S ? ψ) = (∂^αS)? ψ=S ?(∂^αψ).

La Proposition 4.2.3 sugg`ere que la convolution par une approximation de l’identit´e permet d’approcher toute distribution par une suite de fonctions de classeC^∞.

Th´eor`eme 4.2.5 (R´egularisation des distributions) Soient T ∈ D<sup>0</sup>(R<sup>N</sup>) et(ζ)>0 une suite r´egularisante — c’est `a dire queζ(x) =^−Nζ(x/)avec

ζ∈C^∞(R^N)`a support dansB(0,1), ζ≥0 et Z

R^N

ζ(x)dx= 1. Posons T=T ? ζ. Alors, pour tout >0, on a

T∈C^∞(R^N)et T→T dans D⁰(R^N)lorsque→0⁺.

D´emonstration.QueTappartient `a C^∞(R^N) pour tout >0 d´ecoule de la Proposition 4.2.3 ci-dessus.

Observons ensuite que, pour toute fonction testφ∈C_c^∞(R^N), hT, φi=

Z

R^N

T(x)φ(x)dx= Z

R^N

hT, ζ(x− ·)iφ(x)dx

=

T, Z

R^N

ζ(x− ·)φ(x)dx

d’apr`es la Proposition 3.3.21 d’int´egration sous le crochet de dualit´e. Or Z

R^N

ζ(x−y)φ(x)dx=ζe? φ(y), pour touty∈R^N, de sorte que, pour tout ∈]0,1[,

supp(ζe? φ)⊂K o`u

K={x∈R^N|dist(x,supp(φ))≤1}

est compact (car ferm´e et born´e) dansR^N. D’autre part, d’apr`es la Proposition 4.2.3,

∂^α ζe? φ

=ζe? ∂^αφ

de sorte que, d’apr`es le Th´eor`eme 1.3.13, pour toutα∈N^N,

∂^α ζe? φ

→∂^αφuniform´ement sur Klorsque →0⁺.

On vient donc de montrer que, pour toute suite_n →0 lorsquen→ ∞et telle que_n∈]0,1[ pour tout n∈N, l’on a

ζf_n? φ→φdansC_c^∞(R^N) lorsquen→ ∞.

Par cons´equent (cf. Proposition 3.2.10)

hTn, φi=hT,ζf_n? φi → hT, φilorsquen→ ∞,

et comme ceci vaut pour toute fonction testφ∈C_c^∞(R^N), et toute suiten→0 lorsquen→ ∞telle quen ∈]0,1[ pour toutn∈N, on en conclut que T →T dansD⁰(R^N) lorsque→0⁺.

Evidemment, le th´eor`eme de r´egularisation ci-dessus se localise sans difficult´e dans un ouvert deR^N.

Th´eor`eme 4.2.6 (Densit´e de C<sub>c</sub><sup>∞</sup>(Ω) dans D<sup>0</sup>(Ω)) Soient Ω ouvert de R<sup>N</sup> et T ∈ D<sup>0</sup>(Ω). Il existe alors une suite (T<sub>n</sub>)<sub>n≥1</sub> de fonctions de classe C<sup>∞</sup> `a support compact dans Ωtelle que

Tn→T dansD⁰(Ω) lorsquen→ ∞.

D´emonstration.Pour toutn≥1, on pose

K_n ={x∈Ω|dist(x, ∂Ω)≥1/n et|x| ≤n}, qui est compact (car ferm´e et born´e dansR^N.)

D’apr`es le Lemme 1.4.1, il existe, pour toutn≥1, une fonctionχn ∈C_c^∞(Ω) telle que

0≤χn≤1, χn

_K

n = 1, supp(χn)⊂Kn+B(0,_2n¹ ). Remarquons que

Kn+B(0,_2n¹) = [

x∈Kn

B(x,_2n¹) est ouvert, et queKn+B(0,_2n¹)⊂K2n.

Soit d’autre part une fonctionζ∈C_c^∞(R^N) telle que supp(ζ)⊂B(0,1), ζ≥0 et

Z

R^N

ζ(x)dx= 1. Posons

ζn(x) = (4n)^Nζ(4nx).

La distribution χnT est `a support compact (inclus dans K2n) dans Ω ; on la prolonge par 0 en dehors de Ω, et on continue de noter par abus χnT son prolongement, qui est une distribution `a support compact dansD⁰(R^N). Enfin, on pose

T_n= (χ_nT)? ζ_n∈C^∞(R^N).

Soitφ∈C_c^∞(Ω) ; on notera encore φson prolongement par 0 en dehors de Ω. D’apr`es la Proposition 3.3.21 d’int´egration sous le crochet de dualit´e,

h(χnT)? ζn, φi= Z

R^N

hχnT, ζn(x− ·)iφ(x)dx

=

χ_nT, Z

R^N

ζ_n(x− ·)φ(x)dx

=hT, χn( ˜ζ_n? φ)i o`u on rappelle que ˜ζn(x) =ζn(−x).

D’apr`es la Proposition 4.2.3 et le Th´eor`eme 1.3.13, pour toutα∈N^N

∂^α( ˜ζn? φ) = ˜ζn?(∂^αφ)→∂^αφuniform´ement sur tout compact deR^N lorsquen→ ∞; de plus, pour toutn≥1

supp(∂^α( ˜ζn? φ))⊂supp(φ) +B(0,_4n¹ ).

Choisissons un entiern1>0 tel que supp(φ)⊂Kn₁, puis un entiern2> n1

tel que, pour tout n > n2, l’on ait

Kn₁+B(0,_4n¹

1)⊂Kn. Alors, pour tout α∈N^N et toutn > n2

supp(∂^α( ˜ζn? φ))⊂supp(φ) +B(0,_4n¹ )⊂Kn₁+B(0,_4n¹

1)⊂Kn. Ainsi, pour toutn > n2

χn( ˜ζn? φ) = ˜ζn? φ , qui est `a support dans le compactKn₁+B(0,_4n¹

1) de Ω.

On a donc

χn(˜ζn? φ)→φdansC_c^∞(Ω),

lorsquen→ ∞, de sorte que, par continuit´e s´equentielle des distributions (Pro-position 3.2.10)

hχn(T ? ζn), φi=hT, χn( ˜ζn? φ)i → hT, φilorsquen→ ∞.

La fonction testφ´etant arbitraire, ceci montre que Tn →T dansD⁰(Ω) lorsquen→ ∞.

Enfin par construction

supp(Tn)⊂supp(χnT) + supp(ζn)

⊂supp(χn) + supp(ζn)⊂K2n+B(0,_4n¹)⊂K4n

qui est compact dans Ω, de sorte queTn

_Ω∈C_c^∞(Ω) pour toutn > n2.

De mˆeme que la convolution par une fonction de classeC^∞ transforme les distributions en fonctions de classeC^∞, elle transforme la convergence au sens des distributions en convergence uniforme.

Proposition 4.2.7 (Convolution et notions de convergence) Soient une fonction testφ∈C_c^∞(R^N), et(T_n)_n≥1une suite de distributions surR^N conver-geant versT au sens des distributions. Alors, pour tout multi-indice α∈N^N,

∂^α(Tn? φ)→∂^α(T ? φ)uniform´ement sur tout compact deR^N lorsquen→ ∞.

D´emonstration. Sans restreindre la g´en´eralit´e, on supposera que T = 0.

D’autre part, il suffit de montrer que

T_n? φ→0 uniform´ement sur tout compact deR^N

et d’appliquer cet ´enonc´e par r´ecurrence en changeant Tn en ∂^αTn, puisque, d’apr`es la Proposition 4.2.3, ∂^α(Tn? φ) = (∂^αTn)? φ.

D’abord, pour tout x∈R^N,

hTn, φ(x− ·)i →0 lorsquen→ ∞.

Posons alors

K=B(0, R) + supp( ˜φ)

qui est compact dans R^N, d’apr`es le Lemme 1.3.6. D’apr`es le principe de bor-nitude uniforme (Th´eor`eme 3.2.16), il existeC >0 etp∈Ntels que

sup

|x|≤R

|Tn? φ(x)|= sup

|x|≤R

|hTn, φ(x− ·)i| ≤Cmax

|α|≤psup

z∈K

|∂^αφ(z)|. Montrons que

sup

|x|≤R

|Tn? φ(x)| →0 lorsquen→ ∞.

Sinon, il existerait η >0 et une suitexn∈B(0, R) tels que

|T_n? φ(x_n)|> η , n≥1.

CommeB(0, R) est compacte, il existenk → ∞telle que la sous-suite x_nk →x^∗∈B(0, R), pourk→ ∞.

Alors

|Tn_k? φ(x^∗)| ≥ |Tn_k? φ(xn_k)| − |Tn_k? φ(xn_k)−Tn_k? φ(x^∗)|

≥η−N|x^∗−x_nk| max

1≤j≤N sup

|y|≤R

|T_n? ∂_jφ(y)|

≥η−N|x^∗−xn_k| max

1≤j≤NCmax

|α|≤psup

z∈K

|∂^α∂jφ(z)|

≥η−C⁰|x^∗−x_nk| ≥η/2

avec

C⁰=N C max

1≤j≤Nmax

|α|≤psup

z∈K

|∂^α∂_jφ(z)|,

o`u la deuxi`eme in´egalit´e ci-dessus d´ecoule du th´eor`eme des accroissements finis, tandis que la troisi`eme est une cons´equence de l’estimation uniforme sur Tn? φ obtenue plus haut.

Par cons´equent

lim

k→∞

|Tn_k? φ(x^∗)| ≥η >0,

mais ceci est en contradiction avec le fait que Tn? φ(x)→0 pour toutx∈R^N lorsquen→ ∞.

On en d´eduit que l’hypoth`ese ci-dessus relative `a l’existence du r´eel η est fausse, c’est `a dire que

sup

|x|≤R

|Tn? φ(x)| →0 lorsquen→ ∞.

Or cela signifie pr´ecis´ement queT_n? φ→0 uniform´ement surB(0, R) pour tout R >0.

Dans le document Distributions, analyse de Fourier, ´equations aux d´eriv´ees partielles (Page 129-141)