Transformation de Fourier
5.2 La transformation de Fourier sur S
a support compact montre que, pour toutα, β∈NN, on a
|xα∂β(S ? φ)(x)|=|xα(S ? ∂βφ)(x)|d’apr`es la Remarque 4.2.4
≤ |xα|C max
|γ|≤|β|+q sup
|y|≤R
|∂γφ(x+y)|
≤C max
|γ|≤|β|+q sup
|y|≤R
|(x+y−y)α∂γφ(x+y)|
≤2|α|−1C max
|γ|≤|β|+q sup
z∈RN
(|zα|+Rα)|∂γφ(z)|
en notant q l’ordre de la distribution `a support compact S et R > 0 tel que supp(S)⊂B(0, R). Donc
Np(S ? φ)≤2p−1(1 +Rp)CNp+q(φ) pour toutp∈N.
5.2 La transformation de Fourier sur S
La transformation de Fourier a d´ej`a ´et´e ´etudi´ee dansL1(RN) et dansL2(RN)
— voir le cours de P. Colmez, chapitre IV.4.
Comme on va le voir, l’´etude de la transformation de Fourier sur la classe de Schwartz est beaucoup plus simple.
D´efinition 5.2.1 (Transformation de Fourier) A toute fonctionφ∈ S(RN), on associe sa transformation de Fourier
Fφ(ξ) = Z
RN
e−iξ·xφ(x)dx , ξ∈RN.
L’application lin´eaireFest d´efinie pour toutφ∈ S(RN), puisque, pour tout ξ∈RN, on a
|e−iξ·xφ(x)|=|φ(x)|
et queφ∈L1(RN) d’apr`es la Proposition 5.1.7 (c).
Voici quelques propri´et´es ´el´ementaires de la transformation de Fourier sur S(RN).
Proposition 5.2.2 (Transformation de Fourier et op´erations) Soitφune fonction deS(RN). Alors
(a) la fonctionF(φ) est de classeC1(RN)et on a, pour toutj = 1, . . . , N
∂ξjFφ(ξ) =F(−ixjφ)(ξ), ξ∈RN; (b) pour tout j= 1, . . . , N, on a
F(∂xjφ)(ξ) =iξjF(φ)(ξ), ξ∈RN;
(c) pour tout a ∈ RN, la fonction2 (τa)∗φ = φ◦τ−a : x 7→ φ(x−a) a pour transform´ee de Fourier
F((τa)∗φ)(ξ) =e−iξ·aFφ(ξ), ξ∈RN; (d) pour tout a∈RN, on a
F(eia·xφ)(ξ) = (τa)∗(Fφ)(ξ) =Fφ(ξ−a), ξ∈RN.
Remarque 5.2.3 Les points (a) et (b) montrent que la transformation de Fou-rier sur S(RN) ´echange d´erivation et multiplication par x (`a un facteur ±i pr`es).
D´emonstration.Observons que la fonction (x, ξ)7→e−iξ·xφ(x) d’apr`es la Proposition 5.1.7 (b-c).
D’apr`es le th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme rappel´e dans le cha-pitre 1, note 3, on a donc membres de l’´egalit´e
Z
et, en appliquant le th´eor`eme de Fubini, on trouve que Z
RN
e−iξ·x∂x1φ(x)dx=iξ1
Z
RN
e−iξ·xφ(x)dx ,
ce qui correspond `a l’´enonc´e (b) pourj= 1. Le cas dej= 2, . . . , N est identique.
En faisant le changement de variablesz=x−adans l’int´egrale de Fourier F((τa)∗φ)(ξ) =
Z
RN
e−iξ·xφ(x−a)dx= Z
RN
e−iξ·(z+a)φ(z)dz=e−iξ·aFφ(ξ), d’o`u le (c).
Le point (d) d´ecoule de la d´efinition mˆeme de la transformationF.
Remarque 5.2.4 La transformation de FourierF´echange d´erivation et multi-plication parx, comme on vient de le voir. Par cons´equent,F´echange r´egularit´e et d´ecroissance `a l’infini — c’est `a dire que, plus une fonction est d´erivable (avec des d´eriv´ees int´egrables sur RN), plus sa transform´ee de Fourier d´ecroˆıt rapi-dement `a l’infini. Ce fait permet de comprendre tout l’int´erˆet de la classe de Schwartz vis `a vis de la transformation de Fourier : comme toute fonction de S(RN) est de classe C∞ avec des d´eriv´ees qui sont toutes int´egrables, on en d´eduit que sa transform´ee de Fourier est `a d´ecroissance rapide. Et comme toute fonction deS(RN)est `a d´ecroissance rapide, on en d´eduit que sa transform´ee de Fourier est de classeC∞. Ainsi, on voit que la classe de Schwartz est invariante par transformation de Fourier, ce qui est l’un des avantages de cet espace.
La formule d’inversion de Fourier s’´ecrit donc de mani`ere particuli`erement simple pour les fonctions de la classe de Schwartz.
Th´eor`eme 5.2.5 (Formule d’inversion de Fourier sur S(RN)) La trans-formation de Fourier est un isomorphisme de C-espaces vectoriels de l’espace S(RN)sur lui-mˆeme. L’inverse de cet isomorphisme est donn´e par la formule
F−1ψ(x) = Z
RN
eix·ξψ(ξ)(2π)dξN , x∈RN.
Enfin, les isomorphismesF etF−1 sont continus surS(RN), au sens o`u, pour tout p∈N, il existe une constante Cp > 0 telle que pour toute fonction φ de S(RN)
Np(Fφ), Np(F−1φ)≤CpNp+N+1(φ).
La d´emonstration de ce th´eor`eme utilisera de mani`ere cruciale le calcul ex-plicite suivant, dont nous verrons qu’il est d’un grand int´erˆet pour l’´etude de certaines ´equations aux d´eriv´ees partielles.
Lemme 5.2.6 (Transform´ee de Fourier des gaussiennes) Soit une matrice A∈MN(R)telle que A=AT >0. Posons
GA(x) = 1
p(2π)Nd´et(A)e−
1
2(A−1x|x), x∈RN.
AlorsGA∈ S(RN)et on a
FGA(ξ) =e−12(Aξ|ξ), ξ∈RN.
La fonction GA est la densit´e Gaussienne centr´ee (c’est `a dire de moyenne 0) et de matrice de covarianceA, qui est l’un des objets les plus importants du calcul des probabilit´es — pour son utilisation dans ce contexte, voir le cours de S. M´el´eard, Al´eatoire,§4.6.4.
D´emonstration du th´eor`eme. Montrons queF S(RN)⊂ S(RN). En effet, d’apr`es les points (b)-(c) de la Proposition 5.2.2, on a
ξα∂ξβFφ= (−i)|α|+|β|F(∂α(xβφ)). Or, d’apr`es la formule de Leibnitz
∂α(xβφ) =X
Plus pr´ecis´ement, d’apr`es la Proposition 5.1.7 (c), pour tous multi-indices α, β∈NN tels que|α|+|β| ≤p, on a
|ξα∂ξβFφ(ξ)| ≤ k∂α(xβφ)kL1(RN)≤CNN+1(∂α(xβφ))≤CNp+N+1(φ), de sorte qu’il existe Cp>0 tel que, pour toutφ∈ S(RN), on ait
Np(Fφ)≤CpNp+N+1(φ).
Passons maintenant `a la formule d’inversion de Fourier. Intuitivement, cette formule signifie que
c’est `a dire qu’en s’appuyant sur l’Exemple 4.4.3, la formule ci-dessus se ram`ene au fait que
δ(x−y) = Z
RN
eiξ·(x−y)(2π)dξN .
Malheureusement, la fonction (x, y) 7→ eiξ·(x−y)φ(y) n’est pas int´egrable sur RN×RN, de sorte que l’interversion des int´egrales eny etξdans la deuxi`eme
´
egalit´e ci-dessus n’est pas justifi´ee. Pour cette mˆeme raison, l’int´egrale ci-dessus cens´ee repr´esenter la masse de Dirac n’a pas de sens comme int´egrale de Le-besgue.
Pour rendre cette int´egrale convergente, on la remplace par Z
Enfin, dans l’int´egrale au membre de gauche de l’´egalit´e ci-dessus, on fait le changement de variablesz=x−y, ce qui permet de r´e´ecrire cette identit´e sous la forme
Dans l’int´egrale au membre de gauche, on fait le changement de variables z=√ carφest born´ee surRN puisqu’elle appartient `aS(RN). Donc, par convergence domin´ee, pour toutx∈RN
lorsque→0+.
Dans l’int´egrale au membre de droite, pour toutx∈RN eiξ·xe−
1
2|ξ|2Fφ(ξ)→eiξ·xFφ(ξ) lorsque→0+ pour toutξ∈RN. Par ailleurs
|eiξ·xe−12|ξ|2Fφ(ξ)| ≤ |Fφ(ξ)| ∈L1(RNξ )
— car Fφest int´egrable comme ´el´ement de S(RN) (cf. Proposition 5.1.7 (c))
— de sorte que, par convergence domin´ee Z
RN
eiξ·xe−
1 2|ξ|2
Fφ(ξ)(2π)dξN → Z
RN
eiξ·xFφ(ξ)(2π)dξN
lorsque→0+ pour toutx∈RN.
En passant `a la limite pour→0+ dans l’identit´e Z
RN
φ(x−z)G(z)dz= Z
RN
eiξ·xe−12|ξ|2Fφ(ξ)(2π)dξN , on trouve donc que
φ(x) = Z
RN
eiξ·xFφ(ξ)(2π)dξN .
D´emonstration du lemme. Comme A est une matrice sym´etrique r´eelle, elle est diagonalisable `a valeurs propres r´eelles, avec une matrice de passage orthogonale : il existeQ∈ON(R) telle que
A=QΛQT avec Λ =
a1 . . . 0 ... . .. ... 0 . . . aN
o`ua1, . . . , aN sont les valeurs propres deA. CommeA=AT >0, quitte permu-ter l’ordre des vecteurs propres deA, on peut supposer quea1≥. . .≥aN >0.
QueGA∈ S(RN) est ´evident : en effet
∂βGA(x) =Pβ(x)e−
1
2(A−1x|x)
o`uPβ(x) est une fonction polynˆome, de sorte que
|∂βGA(x)| ≤ |Pβ(x)|e−|x|2/2a1 qui est bien `a d´ecroissance rapide pour toutβ∈NN.
Dans l’int´egrale d´efinissant la transform´ee de Fourier deGA, faisons le chan-gement de variablesy=QTx, et posonsη =QTξ: comme d´et(A) =a1·. . .·aN,
on trouve que
en appliquant le th´eor`eme de Fubini `a la fonction (y1, . . . , yN)7→
Appliquons la transformation de Fourier `a chaque membre de cette ´egalit´e.
D’apr`es la Proposition 5.2.2 (b)-(c), on a iξFga(ξ) =−1 ia
d
dξFga(ξ), ce qui s’´ecrit encore
d
dξFga(ξ) =−aξFga(ξ), ξ∈R. Cette ´equation diff´erentielle admet pour solution g´en´erale
Fga(ξ) =Ce−12aξ2.
Par cons´equent
FGA(Qη) =
N
Y
k=1
e−12akηk2 =e−12(Λη|η) de sorte que, en revenant `a la variableξ=Qη
FGA(ξ) =e−12(ΛQTQη|QTQη)=e−12(QΛQTξ|ξ)=e−12(Aξ|ξ), ξ∈RN.
Terminons cette revue des principales propri´et´es de la transformation de Fourier sur la classe de Schwartz avec la formule de Plancherel, qui est une cons´equence triviale de la formule d’inversion.
Corollaire 5.2.7 (Formule de Plancherel) Pour tousφ, ψ∈ S(RN), on a (φ|ψ)L2(RN)=(2π)1N(Fφ|Fψ)L2(RN).
D´emonstration.En effet (φ|ψ)L2(RN)= Z
RN
φ(x)ψ(x)dx
= Z
RN
Z
RN
Fφ(ξ)eix·ξ(2π)dξN
ψ(x)dx
= (2π)1N
Z
RN
Z
RN
e−ix·ξFφ(ξ)ψ(x)dxdξ
= (2π)1N Z
RN
Fφ(ξ) Z
RN
e−ix·ξψ(x)dx
dξ
= (2π)1N(Fφ|Fψ)L2(RN),
d’apr`es le th´eor`eme de Fubini. (En effet, la fonction (x, ξ) 7→ Fφ(ξ)ψ(x) est int´egrable surRNξ ×RNx, puisqueψetFφ∈ S(RN).) Or l’identit´e ci-dessus est pr´ecis´ement la formule de Plancherel.