Feuille de TD 2 : Distributions temp´ er´ ees

Institut Galil´ee 2018-2019 M1 Math´ematiques Fondamentales

Distributions temp´er´ees et espaces de Sobolev

Feuille de TD 2 : Distributions temp´ er´ ees

Exercice 1

Soitf :R→Rla fonction d´efinie par : ∀x∈R, f(x) = e^xcos(e^x).

1. Montrer qu’il n’existe pas de polynˆome P tel que :

∀x∈R, |f(x)| ≤ |P(x)|.

2. Montrer que, pour toute ϕ ∈ S(R), l’int´egrale R

Rf(x)ϕ(x)dxest convergente.

3. Montrer queS d´efinie par : ∀ϕ∈ S(R), < S, ϕ >=

R

Rf(x)ϕ(x)dx,est une distribution temp´er´ee surR. Exercice 2

R´esoudre dansS⁰(R) l’´equation diff´erentielleu⁰+u=δ0. Exercice 3

Calculer la transform´ee de Fourier des distributions temp´er´ees surRassoci´ees aux fonctions suivantes:

1.e^iax (a∈R), 2. cos(x), 3. xsin(x), 4. sin(x) x 5.e^−a|x|(a >0), 6.|x|e^−a|x|(a >0), 7. sin(|x|).

Exercice 4

Soient T ∈ S⁰(R^d) et A∈GL_d(R). On pose, pour toute ϕ∈ S(R^d),

hT◦A, ϕi=|detA|⁻¹hT, ϕ◦A⁻¹i.

Montrer queT ◦A∈ S⁰(R^d) et que l’on a F(T◦A) =|detA|⁻¹F(T)◦(^tA)⁻¹.

Exercice 5

1. Soit a ∈R^∗. On consid`ere la fonction f : R →C d´efinie par : ∀x ∈ R, f(x) = e^iax2. Montrer que dans S⁰(R), on a

f = lim

ε→0⁺e^{−(ε−ia)x2}.

2. En utilisant le r´esultat du calcul de la Gaussienne vu en cours, montrer que

∀ξ∈R, fˆ(ξ) = ( ^√_π

a e^iπ4e^−iξ

2

4a si a >0

√π

|a|e^−iπ4e^−iξ

2

4a si a <0 3. Soit D une matrice diagonale r´eelle de taille d, D = diag(λ₁, . . . , λ_d) avec λ_j > 0 pour j ∈ {1, . . . k}

et λ_j<0 pourj∈ {k+ 1, . . . d}. Montrer que F(ei<Dx|x>) = π^d2

p|detD|e^i(2k−n)π4e^{−14i<D−1ξ|ξ>}.

4. SoitAune matrice r´eelle sym´etrique et inversible. On note σ_A la signature de A qui est l’entier ´egal au nom- bre de valeurs propres de A strictement positives moins le nombre de valeurs propres deAstrictement n´egatives.

D´eduire de la question pr´ec´edente que

F(ei<Ax|x>) = π^d2

p|detA|e^iσAπ4e^{−14i<A−1ξ|ξ>}.

Exercice 6

On se propose de calculer la transform´ee de Fourier de la distribution temp´er´ee sur R² donn´ee par

∀ϕ∈ S(R²), < T, ϕ >=

Z

R

ϕ(x, x)dx.

1. Soitψ∈ S(R²). Soitε >0. On pose :

I_ε= Z

R

e^−εx2ψ(x, x)dx.b

Montrer que l’on a<T , ψ >= limb _ε→0+I_ε. 2. En exprimantψ(x, x), montrer que l’on a :b

∀ε >0, Iε= 2√ π

Z Z

R²

e^−ζ2ψ(ξ,2√

εζ−ξ)dξdζ.

3. En d´eduireTb.

Exercice 7

Soient k > 0 et u ∈ S⁰(R) tels que ^d_dx^4u₄ +ku ∈ L²(R).

Montrer que ^d_dx^ju_j ∈L²(R) pour 0≤j≤4.

Exercice 8

Pourϕ∈C₀^∞(R^d) ett >0, on noteϕ_tla fonction d´efinie par ϕ_t(x) = ϕ(^x_t). Soit T ∈ S⁰(R^d). On suppose que Tb∈L^∞(R^d). En utilisant le fait queT =F⁻¹FT, mon- trer que,

∀t >0, |< T, ϕt>| ≤ 1

(2π)^d||Tb||L^∞ ||ϕ||b L¹.

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