7 Distributions temp´ er´ ees

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7 DISTRIBUTIONS TEMP ´ER ´EES 28

7 Distributions temp´ er´ ees

7.1 L’espace de Schwartz

On noteS l’espace vectoriel des fonctionsϕ∈C^∞(R) telles que

|ϕ^(j)(x)| ≤Cmj(1 +|x|)^−m pour toutm, j∈Z₊,x∈R, o`uCmj>0 est une constante. Soit

pmj(ϕ) := sup

x∈R

|ϕ^(j)(x)|(1 +|x|)^m

, m, j≥Z₊.

On dit qu’une suite{ϕk} ⊂ S converge versϕ∈ S si pmj(ϕk−ϕ)→0 pour toutm, j≥Z₊. Soit

d(ϕ, ψ) := X

m,j≥0

2^−(m+j) pmj(ϕ−ψ) 1 +pmj(ϕ−ψ). Lemme 7.1. Le suite {ϕk} converge versϕ ssi

d(ϕk, ϕ)→0 quandk→ ∞. (7.1)

D´emonstration. Supposons que ϕk → ϕ dans S. Soit ε > 0 une constante quelconque. Alors pour tout entierN ≥1 il existeK=K(N, ε)≥1 tel que

pmj(ϕk−ϕ)≤ε pour 0≤m, j≤N et k≥K. (7.2) On a

d(ϕk, ϕ)≤ X

0≤m,j≤N

2^−(m+j) pmj(ϕk−ϕ) 1 +pmj(ϕk−ϕ)+

′

X2^−(m+j) pmj(ϕk−ϕ) 1 +pmj(ϕk−ϕ)

≤ε X

0≤m,j≤N

2^−(m+j)+

′

X2^−(m+j)≤4ε+ 2^2−N.

En choisissantN =Nε≥1 suffisamment grand, on obtient d(ϕk, ϕ)≤5ε pourk≥K(ε, Nε).

R´eciproquement, si la convergence (7.1) a lieu, alors pour toutm, j≥0 pmj(ϕk−ϕ)

1 +pmj(ϕk−ϕ) →0 quandk→ ∞, d’o`u on conclut quepmj(ϕk−ϕ)→0 quandk→ ∞.

Lemme 7.2. L’espaceD(R)est dense dans S, c’est-`a-dire, pour tout ϕ∈ S il existe une suite{ϕk} ⊂ D(R) qui convegre versϕdansS.

(2)

D´emonstration. Soitϕ∈ S et χ∈ D(R) une fonction telle que χ(x) = 1 pour

|x| ≤1. Il est facile `a v´erifier que la suiteϕk(x) =χ(x/k)ϕ(x) converge versϕ dansS.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de la définition de l’espaceS et de sa topologie.

Proposition 7.3. (i) La d´erivation ϕ7→ϕ^(j) est continue dans S pour tout entierj≥1.

(ii) Soit a ∈ R^∗ et b ∈ R. Alors l’application ϕ 7→ ϕ(ax+b) est continue dansS.

(iii) Soit a∈C^∞(R)une fonction telle que

|a^(j)(x)| ≤Cj(1 +|x|)^m^j, x∈R, (7.3) o`u Cj et mj sont des constantes. Alors la multiplication ϕ 7→ aϕ est continue dans S.

7.2 L’espace des distributions temp´ er´ ees

Définition 7.4. Soit f : S → R (ou C) une fonctionnelle linéaire. On dit quef est une distribution tempérée si f est continue pour la topologie de S, c’est-à-dire, si ϕk → 0 dansS, alors f(ϕk) →f(ϕ). On note S^′ l’espace des distributions tempérées.

D´efinition 7.5. On dit que lasuite{fk} ⊂ S^′ converge versf dansS^′ si fk(ϕ)→f(ϕ) quandk→ ∞pour toutϕ∈ S.

Il est claire queS^′⊂ D^′(R) et cette injection est continue.

Théorème 7.6. Une fontionnelle linéairef :S →Rappartient àS ssi il existe un entierp≥0 et une constnteC >0 tels que

|f(ϕ)| ≤Ckϕkp, (7.4)

o`u

kϕkp:= sup

x∈R

(1 +|x|)^p

p

X

j=0

|ϕ^(j)(x)|

.

La démonstration de ce résultat est analogue à celle de la proposition 2.3.

Corollaire 7.7. Soit f ∈ D^′(R) une distribution v´erifiant (7.4) pour toute fonctionϕ∈ D(R). Alors f admet un unique prolongement continu surS.

(3)

D´emonstration. Soitϕ∈ S et{ϕk} ⊂ D(R) une suite telle queϕk →ϕdansS.

Alors l’in´egalit´e (7.4) implique que

|(f, ϕk−ϕn)| ≤Ckϕk−ϕnkp→0 quandk, n→ ∞.

Donc, la suite (f, ϕk) converge. On d´efinit une fonctionnelle ˜f :S →Rpar (f, ϕ) = lim

k→∞(f, ϕk) pourϕ∈ S,

où {ϕk} ⊂ D(R) est une suite quelconque convergeant vers ϕ. Il est facile à vérifier que ˜f ∈ S^′ et que la restriction de ˜f à D(R) est confondue avecf. Exemples 7.8. (a)Soitf ∈L¹_loc(R) tel que

Z

R

|f(x)|(1 +|x|)^−mdx <∞,

oùm≥0. Alorsf ∈ S^′. Remarquons queL¹_loc(R)6⊂ S^′. Par example,e^x∈ S/ ^′. (b) Soit f ∈ D^′(R) tel que suppf ⋐R. Alors f ∈ S^′. Plus précisement, on peut construire ˜f ∈ S^′ tel que ˜f|_D(R) = f. De plus, une telle distribution tempérée est unique.

Proposition 7.9. (i) Soit f ∈ S^′. Alorsf^(j)∈ S^′ pour toutj≥0.

(ii) Soit f ∈ S^′,a∈R^∗ etb∈R, alors f(ax+b)∈ S^′.

(iii) Soit f ∈ S^′ eta∈C^∞(R)une fonction vérifiant (7.3). Alorsaf ∈ S^′. Démonstration. Nous allons établir seulement la propriété (i). La démonstration de (ii) et (iii) est analogue.

D’après le théorème 7.6, pour toutϕ∈ D(R), on a

|(f^(j), ϕ)|=|(f, ϕ^(j))| ≤Cpkϕ^(j)kp≤Cpkϕkp+j. En appliquant le corollaire 7.7, on conclut quef^(j)∈ S^′.

7.3 Convolution des distributions temp´ er´ ees

Th´eor`eme 7.10. Soit f, g∈ S^′ etsuppg⋐R. Alorsf∗g∈ S^′ et (f ∗g, ϕ) = f(x),(g(y), η(y)ϕ(x+y))

pour toutϕ∈ S, (7.5) où χ∈ D(R)est une fonction égale à1 dans un voisinage desuppg.

D´emonstration. D’apr`es le corollaire 7.7, il suffit de montrer que

|(f∗g, ϕ)| ≤Cpkϕkp pour toutϕ∈ S, (7.6) oùf ∗g désigne la fonctionnelle définie par le membre de droite dans (7.5).

(4)

Soitψ(x) = (g(y), χ(y)ϕ(x+y)) et suppχ⊂[−R, R]. Alorsψ∈C^∞(R) et ψ^(j)(x) = (g(y), χ(y)ϕ^(j)(x+y)).

Commeg∈ D^′(R), il existe une constanteC >0 et un entier m≥0 tels que

|ψ^(j)(x)| ≤Ckχ(y)ϕ^(j)(x+·)kC^m(R), d’o`u on conclut que

kψkp≤CR,pkϕkp+m pour toutp≥0.

Commef ∈ S^′, on voit que

|(f ∗g, ϕ)|=|(f, ψ)| ≤Ckψkp≤C^′kϕkp+m.