Qu’est ce qu’une distribution dite: (a) r´eguli`ere (b) singuli`ere (c) temp´er´ee (d) Donner des exemples pour chacune des cat´egories pr´ec´edentes

L3 et Magist`ere de Physique Fondamentale

Math´ematiques

T.D. n^◦6 Novembre 2007

Distributions: G´en´eralit´es

1 G´en´eralit´es

1. Rappeler les d´efinitions des ensembles de fonctionsDetS. Quelle relation d’inclusion v´erifie ces deux ensembles?

2. Donner un exemple de fonction deDet un exemple de fonction deS.

3. Rappeler les d´efinitions des ensembles de distributionsD⁰ et S⁰. Quelle relation d’inclusion v´erifie ces deux ensembles?

4. Qu’est ce qu’une distribution dite:

(a) r´eguli`ere (b) singuli`ere

(c) temp´er´ee

(d) Donner des exemples pour chacune des cat´egories pr´ec´edentes.

5. Donner des exemples de distributions : (a) r´eguli`eres et temp´er´ees

(b) r´eguli`eres et non temp´er´ees

2 Quelques d´efinitions au sens des distributions

1. Soitα(x) une fonctionC^∞et T une distribution (de D⁰).

(a) Quelle est la d´efinition de la distribution not´eeαT ?

(b) Exemple : Posonsα(x) =x. Que vautαδ o`uδest la distibution de Dirac?

2. T ´etant une distribution (deD⁰), comment d´efinit-on:

(a) la translat´eeτaT ? (pour une fonctionf , (τaf)(x) =f(x−a)).

Exemple: τa(δ) =?

(b) la dilat´eeξ_sT avecs >0 ? (pour une fonctionf , (ξ_sf)(x) =f(x/s)).

Exempleξ_s(δ) =?

(c) la d´eriv´ee deT ?

Question: Toute distribution est-elle d´erivable ? Si oui, cela ne vous semble-t-il pas ´etrange ? Exemple 1: soit la fonctionf(x) =|x|Cette fonctionf est-elle d´erivable partout ? SoitTf, not´ee aussi [f] la distribution r´eguli`ere associ´ee `a f. Quelle est la d´eriv´ee deTf?

Exemple 2: soit la fonctionθ(x) d´efinie par: θ(x) = 1 si x≥0 etθ(x) = 0 six <0.

Cette fonction est-elle d´erivable partout ? Calculer la d´eriv´ee de la distribution r´eguli`ereTθ(not´ee aussi [θ]).

—2—

(d) L’operateur parit´eP appliqu´e `a une distribution T ? (pour une fonctionf,P(f)(x) =f(−x)).

En d´eduire la d´efinition d’une distribution paire et impaire. Exemple: quelle est la parit´e deδ? Celle de δ⁰ ?

3. Autre Exemple :

(a) Soitα(x) une fonctionC^∞ etT une distribution deD⁰, montrer que (αT)⁰=α⁰T+αT⁰ ? (b) G´en´eralisation: que vaut (αT)⁽ⁿ⁾?

3 Quelques propri´et´es des fonctions de D

Ces propri´et´es seront utilis´ees dans le TD suivant.

Question pr´eliminaire:

Expliciter une fonction Φ deDpositive et ayant pour support l’intervalle [−1,1].

3.1 Premi`ere propri´et´e

1. Trouver une fonctionϕ₀ deDv´erifiantϕ₀(0) = 1 et ayant pour support l’intervalle [−1,1].

2. Soitϕune fonction deDdonn´ee. Montrer que la fonctionψ d´efinie par:

∀x6= 0, ψ(x) =ϕ(x)−ϕ(0)ϕ₀(x)

x (1)

est non seulementC^∞ sur<^∗, mais ´egalement sur <par prolongement. Montrer de plus que ψ∈ D.

Indication :

On montrera que : ∀x6= 0, ψ(x) =R1

0 dt(ϕ⁰(xt)−ϕ(0)ϕ⁰₀(xt)).

3. En d´eduire que pour toute fonctionϕdeD, on peut trouverψ∈ Dtelle que:

ϕ(x) =xψ(x) +ϕ(0)ϕ₀(x). (2)

3.2 Deuxi`eme propri´et´e

1. Trouver une fonctionϕ₁deDayant pour support l’intervalle [−1,1] et v´erifiantϕ₁(x)≥0 etR

Rϕ₁(x)dx= 1 . 2. Soitϕune fonction deDdonn´ee. Montrer que la fonctionψ d´efinie par:

ψ(x) = Z x

−∞

[ϕ(t)−Kϕ₁(t)]dt (3)

est une fonction de Dpour une valeur particuli`ere de la constanteK.

3. En d´eduire que pour toute fonctionϕdeD, on peut trouverψ∈ Dtelle que:

ϕ(x) =ψ⁰(x) +ϕ₁(x) Z

R

ϕ(t)dt. (4)