TRANSFORMATIONS DES LOIS MULTIVARIÉES À QUEUE RÉGULIÈRE (TRANSFORMATIONS OF MULTIVARIATE REGULARLY VARYING DISTRIBUTIONS)

(1)

A QUEUE R´ ` EGULI ` ERE

(TRANSFORMATIONS OF MULTIVARIATE REGULARLY VARYING DISTRIBUTIONS)

YOURI DAVYDOV et SHUYAN LIU

SoitX un vecteur aléatoire dansR^dà queue à variation régulière. On considère deux transformationskXkf(_kXk^X ),f:S^d−1→S^d−1, etXf(_kXk^X ),f:S^d−1→R+. Nous donnons des conditions suffisantes pour que la propriété de régularité de la queue soit préservée sous les transformations de ce type.

Let X be a random vector in R^d with regularly varying tail. We consider two transformationskXkf(_kXk^X ), f :S^d−1 → S^d−1, and Xf(_kXk^X ), f :S^d−1 →R+. Some sufficient conditions for preserving the property of regularity of the tail for this kind of transformations are given.

AMS 2010 Subject Classification: 60B10, 60E05, 60E07, 60F05.

Key words: regular variation, multivariate stable distributions, spectral measure.

1. INTRODUCTION

La variation régulière est un des concepts de base qui apparaˆıt de fa¸con naturelle dans des différents contextes de la théorie des probabilités et ses applications. On renvoie le lecteur aux monographies de Feller [8], de Araujo

& Giné [1], de Resnick [13] et de Bingham et al. [3] pour la présentation exhaustive de la matière. Pour souligner l’importance de cette notion rappelons qu’elle est liée étroitement avec la caractérisation des domaines d’attraction des lois stables multidimensionnelles (voir Araujo et al. [1], Samorodnitsky et al. [15] et Davydov et al. [7]). On trouve plusieurs informations sur les propriétés et les applications dans les articles récents de Mikosch [11], Basrak et al. [2] et Jacobsen et al. [9]. Rappelons d’abord la définition.

Définition 1.1. La loi du vecteur aléatoire (v.a.) X dans R^d est dite à queue à variation régulière s’il existe une mesure finie σ sur la sphère unité S^d−1, un nombreα >0 et une fonctionL à variation lente tels que

REV. ROUMAINE MATH. PURES APPL.,55(2010),6, 483–492

(2)

(1.1) lim

x→∞

x^α L(x)P

X

kXk ∈B, kXk> x

=σ(B)

pour tous B∈ B(S^d−1) avec σ(∂B) = 0; icik · k est la norme euclidienne.

On appelleσmesure spectraledeX, etαexposant de variation r´eguli`ere.

Le fait que X est à queue à variation régulière sera dans la suite noté par l’écriture “X∈VR(α, σ)”.

Il est clair que sans perdre la généralité on peut considérerσ comme une mesure normalisée, c’est-à-direσ(S^d−1) = 1. En prenant dans (1.1)B =S^d−1, on déduit immédiatement que

(1.2) x^α

L(x)P{kXk> x} →1, x→ ∞,

c’est-à-dire que kXk est une variable aléatoire positive à queue à variation régulière.

Les relations (1.1) et (1.2) donnent P

X

kXk ∈B

kXk> x

→σ(B), x→ ∞,

pour tousB ∈ B(S^d−1) avecσ(∂B) = 0, ce qui signifie que la loi conditionnelle de _kX^X_k sachant {kXk> x} converge faiblement versσ.

Il existent des différentes caractérisations de la propriété X ∈VR(α, σ) (voir, par exemple, [11]), on n’en donne ici que deux.

1. Le v.a. X ∈ VR(α, σ) si et seulement s’il existe une fonction ˜L `a variation lente telle que pour tous r >0 et B∈ B(S^d−1) avecσ(∂B) = 0

(1.3) lim

n→∞nP X

kXk ∈B, kXk> rb_n

=σ(B)r^−α o`ub_n=n^1/αL(n).˜

2. Pour formuler le deuxième critère on passe aux coordonnées polaires et identifie R^d\{0} avec le produit (0,∞)×S^d−1. On introduit les mesures Qn etQ définies surB((0,∞)×S^d−1) par

Q_n((r,∞)×B) =nP X

kXk ∈B, kXk> rb_n

, (1.4)

Q=m_α×σ, (1.5)

où mα(dr) =αr^−α−1dr. AlorsX ∈VR(α, σ) est équivalent à la convergence vague

(1.6) Qn

−→vag Q, n→ ∞.

(3)

Soit S₊ la famille des fonctions définies sur (0,∞)×S^d−1 dont les supports sont séparés de zéro, c’est-à-dire f ∈ S₊ si et seulement si ∃ε > 0 tel que supp(f)⊂[ε,∞)×S^d−1.

Il n’est pas difficile `a remarquer que la convergence en (1.6) entraine la convergence

(1.7)

Z

fdQn→ Z

fdQ pour toute f ∈ S₊ qui est born´ee etQ-p.p. continue.

D’autre part pour établir (1.6) il suffit de vérifier (1.7) pour toutesf ∈ S₊ continues bornées.

La variation régulière a la propriété importante qu’elle est préservée sous plusieurs oprérations et transformations qu’on utilise souvent en pratique. Une large collection des résultats de ce type est présentée dans le survey de Jessen et Mikosch [10].

Le but de notre travail est de compléter les investigations dans cette direction. On considère ici deux genres de transformations. Premièrement, on étudie le passage du v.a. initial X au vecteur Y = kXkf(_kXk^X ) où f est une application de S^d−1 dans S^d−1. Dans le deuxième cas on transforme la partie radiale de X, plus exactement on s’intéresse à la variation régulière du vecteur Y = Xf(_kX^X_k), où la fonction f cette fois-ci est une application de S^d−1 dans R+. On propose des conditions suffisantes et on donne des exemples qui montrent que ces conditions ne pourront être affaiblies sensiblement.

En conclusion remarquons que les propriétés des transformations présentées ici seront utiles pour les simulations des vecteurs appartenant au domaine d’attraction d’une loi stable de mesure spectrale donnée. Dans ce contexte on peut mentionner les articles de Chambers et al. [5] et de Modarres et al. [12].

2. R ´ESULTATS

2.1. Soit X un v.a. dans R^d ayant la queue à variation régulière et (kXk,_kX^X_k) sa décomposition polaire. On va d’abord s’intéresser aux transformations qui ne changent que la partie sphérique de X. Plus exactement on prend une application mesurable f : S^d−1 → S^d−1 et on définit le nouveau vecteur Y = kXkf(_kX^X_k). Il est clair qu’en coordonées polaires Y = (kXk, f(_kXk^X )). Sous quelles conditions Y reste-t-il encore un vecteur à queue régulière? Quelle est la mesure spectrale de ce nouveau vecteur? Le théorème suivant répond à ces questions.

Théorème 2.1. SoitX un v.a. dansR^dtel que la condition de variation régulière (1.1) a lieu avec l’exposant α et la mesure spectrale σ. Soit f une

(4)

application σ-p.p. continue sur S^d−1 à valeurs dans S^d−1, et µ est la mesure image définie parµ=σf⁻¹. Alors le v.a. transforméY = (kXk, f(_kX^X_k))a la queue à variation régulière de même exposant queX et de mesure spectraleµ.

La d´emonstration est report´ee dans la section suivante.

Corollaire 2.1. Soit X un v.a. dans R² qui vérifie la condition de variation régulière(1.1)avec l’exposantαet la mesure spectraleσ. On identifie S¹ avec l’intervalle [0,2π) et on suppose que la mesure spectrale de X soit uniforme, c’est-à-dire dσ/dθ = 1/2π, θ ∈ [0,2π). Soit µ une mesure de probabilité sur S¹ avec la fonction de répartition F(x) =µ([0, x]),x∈[0,2π).

Si Y est un v.a. défini par Y = (kXk, F⁻¹(_2πkX^X _k))oùF⁻¹ est la fonction de quantile correspondant à F, alors Y vérifie la condition de régularité avec la mesure spectrale µ.

Remarque1. Ce corollaire montre avec évidence l’utilité des applications du théorème 2.1 au problème de simulation.

Remarque 2. La condition de continuit´e de f σ-p.p. est importante.

L’exemple suivant montre que le résultat du théorème 2.1 n’est plus vrai si l’on omet cette condition.

Exemple1. Soient F₁ etF₂ deux lois définies surR+ telles que 1. la loi Fi n’a pas de queue à variation régulière,i= 1,2;

2. la loi F = ¹₂(F₁+F₂) a la queue à variation régulière avec l’exposant α et les constantes de normalisation bn.

Soient{1/n}et {−1/n}deux suites des points sur la sphère unité S¹= (−π, π], notées {x⁺_n} et {x⁻_n}. Soit l_n^± la demi-droite sortant de 0 et passant par le pointx^±_n. Définissons deux suites des segments{∆⁺_n}et{∆⁻_n}par ∆^±_n = l_n^±∩((−π, π]×[n, n+ 1)). SoitPla loi sur (−π, π]×(R+\{0}) définie de fa¸con suivante: son support est la réunion de tous les intervalles ∆^±_i , i= 1,2, . . ., et la restriction dePsurS∞

i=1∆⁺_i (respectivement surS∞

i=1∆⁻_i ) concide avec 1/2F1

transférée surl⁺_n (respectivement avec 1/2F₂ transférée surl⁻_n). SoitX un v.a.

de loi P. On vérifie facilement quePest la loi ayant la queue régulière avecbn

comme les constantes de normalisation dont la mesure spectrale est σ=δ_{0}. Si l’on d´efinit f : (−π, π]→(−π, π] par

f(x) =







π

2 x >0, 0 x= 0,

−^π₂ x <0,

on obtient que σf⁻¹ = σ tandis que Y = (kXk, f(_kXk^X )) n’a pas de queue régulière. Réellement, par exemple, on a pour ε >0

nP Y

kYk ∈π 2 −ε,π

2 +ε

, kYk> rb_n

=

(5)

=nP X

kXk ∈(0, π], kXk> rb_n

=n(1−F₁(rb_n)) qui ne converge nulle part par le choix de F1.

2.2. On considère maintenant les transformations ne modifiant que la partie radiale du vecteur initial. Etant donné une fonction h:S^d−1 →R+ on définit le nouveau vecteur aléatoire Y = Xh(_kX^X_k) = (kXkh(_kX^X_k),_kXk^X ). Le résultat suivant donne des conditions sous lesquelles la propriété de régularité de queue soit préservée.

Théorème 2.2. SoitX un v.a. dansR^dayant la queue régulière d’expo- santα et de mesure spectraleσ. Soith une fonctionσ-p.p. continue et bornée sur S^d−1 à valeurs dansR+,µune mesure finie surS^d−1 avec la densitéh(x)^α par rapport à σ. Alors le v.a. Y = (kXkh(_kXk^X ),_kX^X_k) a la queue à variation régulière de même exposantα et de mesure spectrale µ.

La d´emonstration est report´ee dans la section suivante.

Les deux contre-exemples ci-dessous montrent que la condition que h est σ-p.p. continue et bornée est réellement importante pour préserver la régularité. L’exemple 2 présente une fonction h σ-p.p. continue mais non- bornée pour laquelle le résultat du théorème 2.2 n’a pas lieu, tandis que la fonction h de l’exemple 3 sera bornée mais nonσ-p.p. continue.

Exemple2.Définition deX. Soitτ une mesure discrète surS¹définie par τ({b_k}) =q_k= 1

k(k+ 1), b_k=π− π

2^k−1, k= 1,2, . . . . Il est clair que P∞

k=1q_k = 1 et b_k ∈ [0, π). Notons L_k la demi-droite sortant de 0 et passant par le point bk, c’est-à-dire Lk = {cb_k, c > 0}. Soit Qk une mesure surL_k dont la fonction de répartition est définie par

F_k(x) =

0 0< x <1, 1−k^−νx^−α x≥1,

o`u ν > 0, k = 1,2, . . . . Supposons que X soit un v.a. dans R² de loi P d´efinie par

P(A) =

∞

X

k=1

q_kQ_k(A∩L_k), A∈ B(R²).

D´efinissons la mesure σ sur S¹ par σ(B) = X

{k|b_k∈B}

q_kk^−ν, B ∈ B(S¹).

(6)

Cette mesure est bien d´efinie car P∞

k=1qkk^−ν < 1. Maintenant pour tous B ∈ B(S¹) avec σ(∂B) = 0 et ∀r >1 on a

r^αP X

kXk ∈B, kXk> r

= X

{k|b_k∈B}

r^αP X

kXk =b_k, kXk> r

=

=r^α X

{k|b_k∈B}

q_k(1−F_k(r)) =r^αr^−α X

{k|b_k∈B}

q_kk^−ν =σ(B).

Cela signifie queX a la loi à queue régulière d’exposantα et de mesure spectrale σ.

On passe `a la construction de notre fonction h. Prenons les intervalles I_k, k= 1,2, . . . surS¹ = [0,2π)

I1 = 7π

4 ,2π

∪h 0,π

4

, Ik =

bk− π

2^k+1, bk+ π 2^k+1

, k≥2.

Puisque la distance entre b_k etb_k+1 est ₂^πk, les intervalles I₁, I₂, . . . sont dis- joints et bk∈Ik pour chaquek. Notre fonctionh est d´efinie par

h(x) =

∞

X

k=1

k^β1IIk(x),

où β est tel que _α¹ < β < ^1+ν_α . Évidemment h est σ-p.p. continue et non- bornée. SiY =Xh(_kXk^X ), alors pour ∀r >1

r^αP Y

kYk ∈S¹, kYk> r

=r^αP

kXkh X

kXk

> r

=

=r^α

∞

X

k=1

P X

kXk =b_k, kXk> r k^β

≥r^α X

{k|^r

kβ<1}

1

k(k+ 1) ≥ r^α r^1/β + 1, d’où suit la convergence vers l’infini quand r→ ∞ du terme de droite, ce qui n’aurait pas lieu si le théorème 2.2 était applicable.

Exemple3. D´efinition deX. On consid`ere la fonction g(x) surR+

g(x) =

∞

X

k=0

1

2^k1I_(k,k+1](x).

Notons son graphe parD_g:

Dg ={(x, y)|y=g(x), x >0}.

Soit Qune mesure sur R+ dont la fonction de r´epartition est d´efinie par FQ(x) = 1−G(x) = 1−1∧x^−α.

(7)

L’application π de R+ dansR² d´efinie par π :r7→(r, g(r))

transforme Qen mesure image Qπ⁻¹ qui sera concentr´ee sur Dg. Supposons queX soit un v.a. dansR² de loi

P(A) = 1

2Qπ⁻¹(A∩D_g) +1

2Q(A∩E), A∈ B(R²),

o`u E = {(x,0) | x > 0}. On v´erifie que X satisfait (1.3). Prenons d’abord B = [a,2π),a∈(0,2π). Notonsk_a= min{k| ¹

2^k ≤a}, alors ((ka,∞)×B)∩Dg =∅.

Donc pour tout r > k_a on a

(2.8) r^αP

X

kXk ∈B, kXk> r

= 0.

Ensuite, si B = [0, a), pour∀r > k_a

r^αP{(r,∞)×B}=r^αP{((r,∞)×(0, a))∪((r,∞)× {0})}= (2.9)

=r^α 1

2Qπ⁻¹(((r,∞)×(0, a))∩Dg) +1

2Q((r,∞))

=r^αG(r) = 1.

Les relations (2.8), (2) donnent (1.1) avec σ=δ_{0}.

D´efinition de h. On poseh(x) = 1I_(0,2π)(x). Alors l’ensemble des discontinuit´es de h sera {0} et puisque σ(∂{0}) = σ({0}) = 1, la fonction h n’est pas σ-p.p. continue.

Par les arguments analogues aux précédents on trouve que le vecteur Y = Xh(_kXk^X ) satisfait la condition de régularité avec la mesure spectrale µ= ¹₂δ_{0}. Par conséquent dµ/dσ6=h.

Si les variables aléatoires _kXk^X et kXk sont indépendantes il y a une condition moins forte sur htelle que la régularité soit préservée sous la trans- formation.

Théorème 2.3. Soit X un v.a. dans R^d satisfaisant la condition (1.1) avec l’exposant α et la mesure spectrale σ, h une fonction définie sur S^d−1 à valeurs dans R+ telle que R

S^d−1h^α+εdσ < ∞ pour un ε > 0. Si les variables

X

kXk et kXk sont indépendantes, alors le vecteur transforméY =Xh(_kXk^X ) = (kXkh(_kXk^X ), _kXk^X ) vérifie la condition (1.1) avec la mesure spectrale µ telle que dµ/dσ =h^α.

Démonstration. En représentant Y sous la forme Y = kXkZ, où Z =

X

kXkh(_kXk^X ), on remarque que le résultat suit directement du Théorème 4.15,

(8)

[14]. En connection de ce r´esultat on peut mentionner [4] (pourd= 1) et [6], Lemme 3.9.

En randomisant la fonctionh, on déduit immédiatement du théorème 2.3 le corollaire suivant.

Corollaire 2.2. Supposons que X satisfasse la condition (1.1) avec l’exposant α et la mesure spectrale σ. Soit {Z(θ), θ ∈ S^d−1} un processus stochastique ind´ependant deX dont les trajectoires sont presque srement pos- itives et σ-p.p. continues. Si pour un ε >0

Z

S^d−1

E(Z^α+ε(θ))σ(dθ)<∞

alors le vecteur Y =XZ(_kXk^X ) a la queue régulière de même exposantα que X et de mesure spectrale µ telle que dµ/dσ=E(Z(θ))^α.

Remarque3. En vu du th´eor`eme 2.3 on pourrait penser que la condition suivante et moins restrictive

∃δ >0 tel que Z

S¹

h^α+δdσ <∞

sera suffisante pour préserver la régularité de queue. Exemple 2 montre que ce n’est pas le cas. Réellement, siδ est suffisamment petit,

Z

S¹

h^α+δ(θ)σ(dθ) =

∞

X

k=1

k^{(α+δ)β−ν}q_k ≤

∞

X

k=1

k^{(α+δ)β−ν−2}<∞.

3. PREUVES

Démonstration du théorème2.1.Prenons l’ensembleB ∈ B(S^d−1) tel que µ(∂B) = 0. Alors∀r >0,

x^α L(x)P

Y

kYk ∈B, kYk> x

= x^α L(x)P

f

X kXk

∈B, kXk> x

=

= x^α L(x)P

X

kXk ∈f⁻¹(B), kXk> x

.

Pour que le dernier terme converge versµ(B)r^−α, il suffit d’assurer grâce à la condition (1.1) que σ(∂f⁻¹(B)) = 0. Notons D l’ensemble des discontinuités de f, alorsσ(D) = 0. On va montrer que

(3.10) ∂f⁻¹(B)⊂f⁻¹(∂B)∪D.

Si x ∈∂f⁻¹(B)\D alors f est continue en x. Comme x ∈∂f⁻¹(B), il existe deux suites xn ∈f⁻¹(B) et yn ∈f⁻¹(B)^{,n = 1,2, . . ., telles que xn →x et

(9)

yn→x. On en d´eduit

f(x_n)→f(x), f(x_n)∈B et f(y_n)→f(x), f(y_n)∈/ B.

Cela implique f(x) ∈∂B, ainsi x ∈ f⁻¹(∂B) d’o`u (3.10). Puisque µ(∂B) = σf⁻¹(∂B) = 0, on en d´eduit

σ(∂f⁻¹(B))≤σf⁻¹(∂B) +σ(D) = 0 qui compl`ete la d´emonstration.

Démonstration du théorème 2.2. Rappelons que Qn,Q sont les mesures associées avecXet définies par (1.4) et (1.5). Soit ˜Q_n, ˜Qdes mesures associées avec le vecteur Y =Xh(_kXk^X ) et définies de même fa¸con, i.e.,

Q˜n((r,∞)×B) =nP Y

kYk ∈B, kYk> rbn

, Q˜=mα×µ, oùB∈ B(S^d−1) etr >0,b_n est le même que dans (1.4). NotonsS₊ la famille des fonctions sur R^davec les supports qui sont séparés du point zéro, i.e.,

S₊={f | ∃ε >0 tel que supp(f)⊂(ε,∞)×S^d−1}.

Pour démontrer le théorème, d’après le théorème de portmanteau, il nous suffit d’établir la convergence

(3.11)

Z

fd ˜Q_n→ Z

fd ˜Q, n→ ∞,

pour toute f ∈ S₊ continue et born´ee. D´efinissons l’application ϕpar ϕ:R+×S^d−1→R+×S^d−1, (ρ, θ)7→(ρh(θ), θ).

On remarque que Y =ϕ(X), et Qnϕ⁻¹((r,∞)×B) =nP

Y

kYk ∈B, kYk> rbn

, Qϕ⁻¹((r,∞)×B) =Q{(ρ, θ)|θ∈B, ρh(θ)∈(r,∞)}=

= Z

B

Z

1I_(r,∞)(ρh(θ))m_α(dρ)σ(dθ) =

= Z

B

σ(dθ)α Z

1I(r,∞)(ρh(θ))ρ^−α−1dρ=µ(B)r^−α. Par cons´equent,

Z

fd ˜Qn= Z

(f ◦ϕ)dQn, Z

fd ˜Q= Z

(f ◦ϕ)dQ.

La fonction f ◦ϕ est bornée et Q-p.p. continue grâce à Q-p.p. continuité de ϕ. De plus, f ◦ϕ∈ S₊ puisque h est supposée bornée. En effet si h≤M et supp(f) ⊂(ε,∞)×S^d−1, alors supp(f ◦ϕ)⊂ (ε/M,∞)×S^d−1. Car X a la

(10)

queue régulière d’exposantα et de mesure spectraleσ, grâce à la convergence

´

equivalente (1.7), on a pour toute f ∈ S₊,R

(f ◦ϕ)dQ_n→R

(f◦ϕ)dQ ce qui donne (3.11).

R ´EF ´ERENCES

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Received 16 February 2010 Universit´e Lille I

Laboratoire Paul Painlevé UMR 8524 CNRS Bâtiment M2, Cité Scientifique 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex, France