1 Espaces des fonctions r´ eguli` eres

1 ESPACES DES FONCTIONS R ´EGULI `ERES 3

1 Espaces des fonctions r´ eguli` eres

1.1 D´ efinitons et exemples

Soit k ≥ 0 un entier et I ⊂ R un intervalle ouvert. On utilise les notations suivantes:

C^k(I) ={ϕ:I→R, ϕest kfois continˆument diff´erentiable}

C^∞(I) = \

k≥0

C^k(I).

Pourk= 0, on ´ecrit C(I) au lieu deC⁰(I).

D´efinition 1.1. Soitϕ∈C(I). L’ensemble

suppϕ={x∈I, ϕ(x)6= 0}

est appel´e lesupport deϕ.

Exemple 1.2. Soit I = Ret ϕ(x) = x. Alors suppϕ =R. Si on consid`ere la mˆeme finctionϕcomme un ´el´ement de C(]−1,1[), alors suppϕ= ]−1,1[.

Pour 0≤k≤ ∞, on pose

C0^k(I) ={ϕ∈C^k(I), suppϕest compact dansI}.

Proposition 1.3. L’espace C0^∞(I)est non vide.

D´emonstration. Soit

f(t) =

e^−1/t, t >0,

0, t≤0. (1.1)

Il est facile `a v´erifier quef ∈C<sup>∞</sup>(R). SiI⊃[a, b] aveca, bfinis, alors la fonction ϕ(x) =f(x−a)f(b−x) appartient `a C0^∞(I).

1.2 Partition de l’unit´ e

Proposition 1.4. SoitK⊂Iun ensemble compact. Alors il existe une fonction ϕ∈C0^∞(I)telle que0≤ϕ≤1etϕ(x) = 1 pourx∈K.

D´emonstration. Sans perte de g´en´eralit´e, on peut supposer queK⊂[−a, a] et I⊃[−b, b]. Consi´erons la fonction

g(t) =C⁻¹ Z t

0

f(s)f(1−s)ds,

o`uf est d´efini par (1.1), etC=R¹

0 f(s)f(1−s)ds. Alorsg∈C^∞(R),g(t) = 0 pourt≤0,g(t) = 1 pourt≥1, et 0≤g≤1. La fonction

ϕ(x) =gb²−x² b²−a²

v´erifie toutes les conditions requises.

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Th´eor`eme 1.5. Soit K⊂R un ensemble compact couvert par des intervalles ouverts I¹, . . . , Im. Alors il existe des fonctions non n´egatives ϕj ∈ C0^∞(Ij), j= 1, . . . , m, telles que

m

X

j=1

ϕj(x)≤1 pour toutx∈R,

m

X

j=1

ϕj(x) = 1 dans un voisinage de K.

Voir [LS98, Zui02] pour la d´emonstration.