1. Proposer la formule de Green pour l’int´ egrale suivante lorsque U et V sont deux fonctions r´ eguli` eres de Ω ⊂ IR

(1)

SEATECH-M´ ecanique num´ erique 2017 Examen - Documents autoris´ es.

Dur´ ee: 1 heure.

1. Proposer la formule de Green pour l’int´ egrale suivante lorsque U et V sont deux fonctions r´ eguli` eres de Ω ⊂ IR

³

dans IR

³

:

Z

Ω

rotU (x) · V (x) dx,

o` u rot d´ esigne le rotationel. On notera Γ le bord de Ω, n la normale unitaire sortante ` a Ω et

× le produit vectoriel sur IR

³

. On rappelle la formule de Green

Z

Ω

∂

i

u(x)v(x) dx = − Z

Ω

∂

i

v(x)u(x) dx + Z

Γ

u(x)v(x)n

i

(x) dγ.

On en d´ eduit que (on note U

i+3

= U

i

, ∂

i+3

= ∂

i

par permutation circulaire) Z

Ω

(∂

i+1

U

i

(x) − ∂

i

U

i+1

(x))V

_i−1

(x) dx = − Z

Ω

∂

i+1

V

_i−1

(x)U

i

(x) dx + Z

Γ

U

i

(x)V

_i−1

(x)n

i+1

(x) dγ +

Z

Ω

∂

i

V

i−1

(x)U

i+1

(x) dx − Z

Γ

U

i+1

(x)V

i−1

(x)n

i

(x) dγ.

Or,

Z

Ω

rotU(x) · V (x) dx =

3

X

i=1

Z

Ω

(∂

_i+1

U

_i

(x) − ∂

_i

U

_i+1

(x))V

_i−1

(x) dx,

3

X

i=1

Z

Ω

∂

i

V

_i−1

(x)U

i+1

(x) − ∂

i+1

V

_i−1

(x)U

i

(x) dx =

3

X

i=1

Z

Ω

∂

i

V

_i−1

(x)U

i+1

(x) − ∂

i+2

V

i

(x)U

i+1

(x) dx

=

3

X

i=1

Z

Ω

∂

i+1

V

i

(x)U

i

(x) − ∂

i+3

V

i+1

(x)U

i+2

(x) dx,

= Z

Ω

rotV (x) · U (x) dx, puisque U

i+2

= U

_i−1

et ∂

i+3

= ∂

i

, par permutation circulaire.

On a ´ egalement,

3

X

i=1

Z

Γ

(U

_i

(x)n

_i+1

(x) − U

_i+1

(x)n

_i

(x))V

_i−1

(x) dγ = Z

Γ

(U (x) × n(x)) · V (x) dγ.

Ainsi,

Z

Ω

rotU(x) · V (x) dx = Z

Ω

rotV (x) · U (x) dx + Z

Γ

(U (x) × n(x)) · V (x) dγ.

2. On consid` ere l’EDP d’´ evolution suivante d’inconnue u(t, x) ∈ IR

³

, p ∈ IR:

ρ(∂

_t

u(t, x) + u · ∇u) + ∇p(t, x) = 0, (t, x) ∈ IR × IR

³

,

∂

t

ρ(t, x) + div (ρ(t, x)u(t, x)) = 0, (t, x) ∈ IR × IR

³

, ρ(t, x) = ρ + 1

c

²

(p(t, x) − p), u(0, x) = u

0

(x), p(0, x) = p

0

(x),

1

(2)

o` u ρ > 0, p, c > 0 sont des r´ eels fix´ es.

(a) Donner une interpr´ etation physique de ce syst` eme d’EDP.

On reconnaˆıt la forme non conservative de la conservation de quantit´ e de mouvement pour un fluide de densit´ e ρ et de vitesse u, soumis ` a la pression p, en premi` ere ´ equation ainsi que l’´ equation de conservation de la masse en deuxi` eme ´ equation. La troisi` eme ´ equation est une loi d’´ etat lin´ earis´ ee autour de l’´ etat (ρ, p). On a donc l’´ equation d’Euler compressible pour une loi d’´ etat lin´ earis´ ee.

(b) On suppose que la donn´ ee initiale est une perturbation de l’´ etat au repos (0, p) (u

₀

suppos´ e petit, p

0

−p suppos´ e petit et ρ − ρ suppos´ e petit). On note ˜ u = u − 0, ˜ p = p − p,

˜

ρ = ρ − ρ. Justifier formellement que

ρ∂

t

u(t, x) + ˜ ∇˜ p(t, x) ∼ 0, (t, x) ∈ IR × IR

³

,

∂

_t

p(t, x) + ˜ ρc

²

div (˜ u(t, x)) ∼ 0, (t, x) ∈ IR × IR

³

,

˜

u(0, x) = u

₀

(x), p(0, x) = ˜ p

₀

(x) − p.

On lin´ earise cette ´ equation autour de l’´ etat (0, p). Le seul terme nonlin´ eaire (terme d’inertie) est lin´ earis´ e autour de 0, son lin´ earis´ e est donc nul, il ne reste que la partie lin´ eaire de l’´ equation v´ erifi´ ee par la perturbation

˜

u(t, x) = u(t, x) − 0, p(t, x) = ˜ p(t, x) − p

qui v´ erifie bien la condition initiale propos´ ee. On note qu’on a exploit´ e ∂

_t

ρ(t, x) = ˜

_c¹₂

∂

_t

p(t, x) ˜ par lin´ earit´ e de la loi d’´ etat.

Pour une loi d’´ etat quelconque et nonlin´ eaire, l’exercice est un petit peu plus technique car il faut lin´ eariser la loi d’´ etat.

(c) En d´ eduire que

∂

²_t

p(t, x) ˜ − c

²

4 p(t, x) ˜ ∼ 0, (t, x) ∈ IR × IR

³

,

˜

p(0, x) = p

₀

(x) − p, ∂

_t

p(0, x) = ˜ −ρc

²

div (u

₀

(x)).

et donner le nom de cette ´ equation.

On d´ erive en temps la deuxi` eme ´ equation et on injecte la premi` ere ´ equation, on trouve bien l’´ equation des ondes propos´ ee. La donn´ ee initiale ∂

_t

p(0, x) est obtenue par la deuxi` ˜ eme ´ equation

` a t = 0.

3. On consid` ere l’EDP

∂

_t²

p(t, x) − c

²

4 p(t, x) = 0, (t, x) ∈ IR × IR

³

, p(0, x) = p

₀

(x), ∂

_t

p(0, x) = p

₁

(x).

(a) Appliquer la transform´ ee de Fourier en espace et en d´ eduire l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par ˆ p(t, ξ ).

∂

_t²

p(t, ξ) + ˆ c

²

|ξ|

²

p(t, ξ) = 0, ˆ (t, ξ) ∈ IR × IR

³

, ˆ

p(t, ξ) = ˆ p

0

(ξ), ∂

t

p(t, ξ) = ˆ p

1

(ξ).

2

(3)

(b) Expliciter la solution. On a obtenu une EDO param´ etr´ ee par la fr´ equence ξ. La solution s’´ ecrit

ˆ

p(t, ξ) = A(ξ) cos(c|ξ|t) + B(ξ) sin(c|ξ|t),

avec A et B des constantes d´ ependantes de la fr´ equences ` a d´ eterminer en fonction des donn´ ees initiales ˆ p

₀

(ξ) et ˆ p

₁

(ξ).

A(ξ) = ˆ p

0

(ξ), B(ξ) = p ˆ

1

(ξ) c|ξ| .

(c) V´ erifier par une technique d’estimation d’´ energie que Z

IR

³

|∂

_t

p(t, x)|

²

dx + c

²

Z

IR

³

|∇p(t, x)|

²

dx = Z

IR

³

|p

₁

|

²

dx + c

²

Z

IR

³

|∇p

₀

|

²

dx.

On pensera ` a multiplier l’EDP par ∂

_t

p et int´ egrer en espace. On peut v´ erifier cette propri´ et´ e

`

a l’aide de la transform´ ee de Fourier et de l’expression analytique de ˆ p(t, ξ). On propose de le faire ici par estimation d’´ energie formelle. On remarque que q = ∂

t

p v´ erifie

(∂

t

q)q = 1 2 ∂

t

q

²

. De plus,

Z

IR

³

− 4 p q dx = Z

IR

³

∇p · ∇q dx = 1 2

d dt

Z

IR

³

|∇p|

²

dx.

Ainsi,

1 2

d dt

Z

IR

³

|q(t, x)|

²

+ c

²

|∇p(t, x)|

²

dx = 0.

D’o` u le r´ esultat apr` es int´ egration en temps.

(d) On propose la discr´ etisation temporelle de pas δt suivante:

∂

_t

p

ⁿ⁺¹²

− ∂

_t

p

ⁿ⁻¹²

δt − c

²

4 p

ⁿ⁺¹

+ p

ⁿ⁻¹

2 = 0,

˜

p(0, x) = p

0

(x), ∂

t

p(0, x) = ˜ p

1

(x),

o` u ∂

t

p

ⁿ⁺¹²

est d´ efini par

∂

_t

p

ⁿ⁺¹²

= p

ⁿ⁺¹

− p

ⁿ

δt .

Montrer que Z

IR

³

|∂

_t

p

ⁿ⁺¹²

|

²

dx + c

²

2 Z

IR

³

|∇p

ⁿ⁺¹

|

²

dx = Z

IR

³

|∂

_t

p

ⁿ⁻¹²

|

²

dx + c

²

2 Z

IR

³

|∇p

ⁿ⁻¹

|

²

dx.

On exploite l’identit´ e remarquable

(∂

t

p

ⁿ⁺¹²

− ∂

t

p

ⁿ⁻¹²

)(∂

t

p

ⁿ⁺¹²

+ ∂

t

p

ⁿ⁻¹²

) = |∂

t

p

ⁿ⁺¹²

|

²

− |∂

t

p

ⁿ⁻¹²

|

²

, ainsi que

∂

t

p

ⁿ⁺¹²

+ ∂

t

p

ⁿ⁻¹²

= 1

δt (p

ⁿ⁺¹

− p

ⁿ⁻¹

), puis que

− Z

IR

³

4 p

ⁿ⁺¹

+ p

ⁿ⁻¹

2 (p

ⁿ⁺¹

− p

ⁿ⁻¹

) dx = Z

IR

³

∇p

ⁿ⁺¹

+ ∇p

ⁿ⁻¹

2 (∇p

ⁿ⁺¹

− ∇p

ⁿ⁻¹

) dx.

3

(4)

On conclut sur le dernier terme ` a nouveau par l’identit´ e remarquable:

Z

IR

³

∇p

ⁿ⁺¹

+ ∇p

ⁿ⁻¹

2 (∇p

ⁿ⁺¹

− ∇p

ⁿ⁻¹

) dx = 1 2

Z

IR

³

|∇p

ⁿ⁺¹

| − |∇p

ⁿ⁻¹

|

²

dx.

Il ne reste plus qu’` a prendre l’expression du sch´ ema, multiplier par ∂

t

p

ⁿ⁺¹²

+ ∂

t

p

ⁿ⁻¹²

, int´ egrer en espace et exploiter les identit´ es ci-dessus.

4