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èmesJOURNÉES DE L’HYDRODYNAMIQUE Nantes, 7, 8 et 9 mars 2005
Quelques aspects de l’´ ecoulement bidimensionnel de fluide visqueux autour de sections munies de protub´ erances r´ eguli` eres.
Some aspects of the two-dimensional viscous flows around cross sections with regular corrugations.
Y.-M. SCOLAN
EGIM, Technop^ole Ch^ateau Gombert, 13451 Marseille, Cedex 20.
R´ esum´ e
Un mod` ele Vortex-In-Cell est mis en œuvre pour l’´ etude de sections droites de cylin- dre circulaire muni de protub´ erances r´ eguli` eres. Les applications portent sur l’analyse d’´ ecoulement uniforme autour de sections bidimensionnelles munies de strakes ou on- dul´ ees. Quelques r´ esultats sont fournis et requi` erent maintenant une validation avec des mesures exp´ erimentales.
On propose ´ egalement ici une am´ elioration du calcul des efforts en ´ ecoulement de fluide visqueux. Cette formulation s’appuie sur une projection de l’´ equation de conservation de la quantit´ e de mouvement sur une base de fonction harmonique via la th´ eorie potentielle et l’emploi de transformations conformes.
Summary
A model Vortex-In-Cell is used to study cross sections of circular cylinders with regular
corrugations. Applications are done for two-dimensional sections with strakes and wavy
contour. Some results are provided and now require a validation with experimental data. It is
also proposed here some improvments of the force calculation in viscous flows. This
fomulation is based on a projection of the momentum conservation equation on a basis of
harmonic function via the potential theory and the use of conformal transformations.
Il existe de nombreuses situations oula suppression des VibrationsInduites par les Vor-
tex (VIV) onstitue un element ruial de dimensionnement des strutures qui y sont
soumises. Parmi les dispositifs utilises, aussi bien en genie ivil que dans l'industrie
petroliere oshore, on trouve les enroulements heliodaux de lames mines (strakes)
omme illustre i-dessous pour une plate-forme de type SPAR (Genesis, voir site web
http://www.oshore-tehnology.om) en ours de transportsur site.
Enfontionnement,es strutureselanees plaees dans des ourantspresentent lerisque
d'^etre soumises a un eort transverse a la diretiondu ourant. Cela est d^u a une forte
orrelation {dans la diretion axiale{ du l^aher alterne des tourbillons. La fontion des
strakes est don d'inhiber touteorrelation axiale.
On tente ii de reproduire des eoulements autour de setions droites de tels ylin-
dres. La resolution des equations de Navier-Stokes bidimensionnelles est realisee selon
une methode Vortex In Cell implementee dans le logiielAquavi. Le traitement de se-
tions non irulaires est possible gr^ae a l'emploi de transformations onformes. C'est
dans e adre que l'onetudie lessetions suivantes
Il s'agit de setions droites, l'une d'un ylindre muni d'un enroulement de strakes re-
tilignes, l'autre d'un ylindre irulaire auquel on a ajoute une variation sinusodale du
rayon. Cesdernieres protuberanes representent lasetiondroite deertaines embasesde
strutures gravitaires.
Il surgitevidemmentunequestionfondamentale quiest: unemodelisationbidimension-
nelleest-ellerepresentatived'unphenomene typiquementtridimensionnel? Lareponseest
lairementnon. Onpeuts'enonvainreenvisitantl'albumdephotosdeRokwell(2004)
sur son siteweb www.lehigh.edu/ inuid/album04. Il y derit, sur la base de mesures de
soulignequelesinstabilitesinduitesparlesstrakesseonjuguentavelesfortesinstabilites
tridimensionnelles(ditesmodeAetB)inherentes auxeoulementsafaibleReynolds(voir
entre autres Williamson,1996).
S'il n'est lairement pas possible de reproduire le phenomene reel par une approhe
bidimensionnelle, les aluls restent neanmoins liites. En eet on manque atuellement
de donnees preises sur l'augmentation (ou la diminution) de tra^nee induite par es
protuberanes. C'est l'objetif de e papier.
Apres avoir rappele brievement la formulation theorique du probleme et les grandes
lignesdes shemas numeriquesadoptes, on derit lestransformationsonformes utilisees.
On fournit ensuite une etude parametrique de quelques formes en fontion de leur
geometrie.
2 Le modele numerique
Les equations a resoudre sont elles de Navier-Stokes instationnaires formulees pour la
vortiite!etlafontiondeourant . Ils'agitdequantitessalairespourdeseoulements
plans. Lealuldelavitesseresultedel'equationdePoissonpour ,tandisquel'equation
detransportdelavortiiteest traiteepar unetehniqued'OperatorSplittingseparantles
eets de onvetionet de diusion. La vortiiteest representee de maniereLagrangienne
sous la forme de vortex disrets. Ce sont idealement des masses de Dira mais qui, en
pratiqueontunsupportnirepresenteparlesellulesd'unmaillageregulier. Onproede
eetivementauxalulssurlabased'unmaillagepolaireregulierissudetransformations
onformes. L'existene de telles transformations est prouvee pour tout obstale simple-
ment onnexe. Les shemas numeriques sont des lors plus simples: une FFT dans la
diretion azimuthale et des dierenes nies dans la diretion radiale pour la resolution
de l'equation de Poisson.
3 Les transformations onformes
Onherhe lafontion f bijetivequiassoiel'aÆxe z du planphysique al'uniqueimage
dans le plan transforme selon z = f(). Le Jaobien de la transformation est note
J()=dz=d =f 0
.
3.1 Setion munie de strakes
Le domaine physique est derit dans le plan omplexe z. Le domaine de alul dans
lequel le ontour de l'obstale est un erle unite, est derit dans le plan omplexe .
Leylindre muni de strakesneessitela transformationdu domaineexterieura un erle
duquel on retranhe egalement les segments R jzj R +a aux points arg(z) = 2k
n
pour k 2 [0;:::;n 1℄. Par la suite, pour simplier, on prendra toujours un rayon unite
R = 1m. Cette transformation est derite dans Lavrentyev et Chabat (1977). On passe
d'un aÆxe =re i
a z =x+iy en proedant aux aluls suessifs suivants. On repere
leseteur k dans lequelse trouvel'aÆxe selon 2[2(k 1)
n
;2k
n
℄;lestransformations
ulterieuressont toutesidentiques pour haun des n seteurs. On faitsubir une premiere
z
0
= e
i(k 1)
; ave =
n
: (1)
Les ars obtenus (a r onstant) sont etires de telle faon que leurs images soient des
demi-erlesdans le demi-plansuperieur:
z
1
=z n
2
0
; (2)
ons'assurequel'argumentde z
0
est inferieura 2
n
etpar onsequent l'argument de z
1 est
dans l'intervalle[0;℄. On applique la transformationdite de Joukowski qui a pour eet
d'aplatirleontour du orps sur l'axe des x:
z
2
= 1
2
z
1 +
1
z
1
: (3)
Le ontour du seteur est devenu un segment sur l'axe des x, on le ontrate selon la
formule:
z
3
=Az
2
ave A = 1
2
(1+a) n
2
+(1+a) n
2
: (4)
On proede a une transformation de Joukowski inverse qui fournit un ontour de forme
semi-irulairedeni dans ledemi-plansuperieur:
z
4
=z
3 +
q
z 2
3
1; ou z
3
= 1
2
z
4 +
1
z
4
; (5)
ouuneattentionpartiulieredoit^etreapporteeaualuldel'argumentdutermeomplexe
apparaissant sous laraine arree. Le ontour semi-irulaireobtenu est ontratepar la
transformationsuivante:
z
5
=z 2
n
4
(6)
an d'obtenir un ontour dans le seteur de longueur d'ar . Enn on eetue une
rotationinverse pour faireorrespondre leseteur du plan auseteur du plan physique
z:
z =z
5 e
i(k 1)
: (7)
Le Jaobiende ette transformation est le produit de tous les Jaobiens des transforma-
tions intermediaires
dz
d
= dz
dz
5 dz
0
d 4
Y
i=0 dz
i+1
dz
i
: (8)
3.2 Setion ondulee
Conernantlaformeondulee,onutiliselassiquementlatransformationonformedetype
Theodorsen-Garrik (1933)dontlaformulegenerique liantl'aÆxe du planomplexede
alul az l'aÆxe image dans leplan physique s'erit
h 1
X
n=0 (A
n +iB
n )
n i
n n
derit le erle unite jj=1. Laserie innie est don tronquee a N =2 p
logjzj=A
0 +
N =2 1
X
n=1 A
n
osn+B
n
sinn; (10)
arg(z)=+B
0 +
N =2 1
X
n=1 B
n
osn A
n
sinn: (11)
LesoeÆientssontalulesselonunproessusiteratifdetypepointxeenombinantdes
FFTdireteetinverse. Ilestommodedefaireorrespondrelesdemi-axesreelsarg(z)=0
et arg() = 0, si bien que B
0
= P
N =2 1
n=1 B
n
Par ailleurs les formes suseptibles d'^etre
traitees par la transformationde Theodorsen-Garrik doivent verier lesonditions dites
de Warhauski (1945). Ces onditions peuvent ne pas ^etre satisfaites. Dans e as le
proessusiteratifest pluslong voirepeutne pas onverger. UnefoislesoeÆientsA
n et
B
n
determines, le Jaobiende la transformation sededuit de
dz
d
= z
1
N =2 1
X
n=1 n(A
n +iB
n )
n
: (12)
On illustre les deux transformations etudiees en traant l'image d'un maillage polaire
regulierdeni dans leplan sur lesgures suivantes
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Il est important de noter que le maillage du plan physique onentre naturellement les
points au bout des protuberanes. Dans les zones intermediaires le maillage est plut^ot
l^ahe. Cela ne s'oppose pas a l'idee quel'on sefait de l'eoulementdans es regions. On
rappellequelealulsefaitdansleplantransforme,ilestdonimportantdebienidentier
les modiations des aluls du fait de l'introdution de la transformation onforme. Le
tableausuivant indique lesquantitesonernees par es modiations.
onvetion d=dt=W()=jJ()j 2
W(): vitesse omplexe
diusion =(
x +i
y
)=J()
x
y
: nombres aleatoires
eortde pression R
p()e
i
J()d
p(): pression
eortde frition R
!()ie i
=J()
omplexe J. Des diÆultes numeriques sont don attendues si le orps a transformer
presente des hangements brusques de geometrie. Ainsi le bout des strakes se omporte
omme un "anon" de vortex ar J() s'y annule m^eme si la ondition d'adherene du
uideest presrite sur le orps. Parontre lefait queJ() devienneimportant auxpieds
des strakes ne pose pas de probleme numerique. En eet la pression peut ^etre obtenue
par integration de son gradient tangent lui m^eme proportionnel au gradient normal de
vortiite sur le orps 'est a dire le taux de irulation generee par pas de temps. Or
au pied des strakes tres peu de vortiite est produite. Seul un traitement du Jaobien
est preonise en bout de strakes. Il onsiste en une tronation arbitrairede d=dz (voir
Solan et Faltinsen, 1994). Le prinipe est de modier la partie reelle de J() = dz
d j
jj=1
and'eviterquelespartiesreelleetimaginairedeJ()s'annulentsimultanementauoin.
Ce traitement est illustre sur la gure suivante pour une forme munie de 3 strakes. On
traelapartiereelle etimaginairede dz
d
auvoisinagedu strakeorientelelongde l'axedes
x negatifs.
θ y
x
δ
−10
−8
−6
−4
−2 0 2 4
0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
teta/pi
Im(J) original Im(J) traite
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
teta/pi
Re(J) original Re(J) traite
Leparametre Æ ajustable permet de jouersur l'importanedu traitement. Ce parametre
doit ^etre hoisi pour que les proprietes globales de l'eoulement soient peu aetees.
Neanmoins en absene de donnees experimentales, il n'est atuellement pas possible de
aler e parametre preisement.
4 Calul de masses ajoutees en eoulement potentiel
Pardenitionde lamasseajoutee d'unorpsen mouvementde translationdansun uide
aurepos, onpeut etablir la relationsuivante entre M
a
et l'energieinetique du domaine
uide
1
2 M
a V
2
= 1
2
Z
~
r 2
ds; (13)
ou est le potentiel de l'eoulement alule dans le repere du orps. Le potentiel de
perturbation est regulier a l'inni etvia la formulede Green, l'expression de la masse
ajoutee sereduitauneintegralesurleontourduorps. Onne s'interesseiiqu'aualul
de la masse ajoutee assoiee a un mouvement de translation. Le probleme de l'inertie
ajoutee en rotationest beauoup plus omplique;iln'est pas examineii.
En utilisantleTheoreme du Cerleainsi que les proprietes des transformationsgeome-
triques utilisees, on exprime le potentiel de perturbation en tout point du uide omme
F()=W 1
z h
J 1
z
i
+ J
1
W 1
z
; (14)
ouW 1
z
estlavitesseomplexedetranslationdansleplanz. LeJaobienJ 1
estlavaleur
asymptotiquede dz
d
al'inni. Enserappelantquelelongdu ontour physiquelanormale
en toutpoints'exprimesous formeomplexen()=e i
J()=jJ()j,de parlehangement
de variable issu de latransformation onforme,on exprime lamasse ajoutee
M
a
=
jW 1
z j
2 Z
2
0
<
h
F(e i
) i
<
h
W 1
z n()
i
jJ()jd (15)
On peut montrer par simple omposition vetorielle d'eortque lesmasses ajoutees liees
auxmouvementsde translationen xety sont identiques pourvu quelaongurationsoit
symetrique par rapport al'axe y=0.
Il est probablequ'un alulanalytiquedel'integralede M
a
parune methode d'integrale
de ontour soitpossible. Ii vu lesexpressions de dz=d =J() et z =f(),on proede
a un alul numerique. On trouve ependant dans Newman (1977, 1979) l'expression
analytiquedeM
y
ainsiquedumomentd'inertieajouteeen rotationpourlasetionmunie
de 2 strakes.
M
y
R 2
=
1 +
2
; ave =(1+ a
R )
2
: (16)
Laguresuivantemontrelesomparaisonsfaitesentrelesresultatsanalytiquesetnumeriques.
x y
0 1 2 3 4 5 6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Mx/(pi*rho*R**2) My/(pi*rho*R**2)
a/R
My exact My num.
En proedant aux aluls numeriques on peut evaluer la masse ajoutee pour n 2. La
guresuivante resumees resultats
2 4 6 8 10 12 14
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Mx My
n a/R
R x
y
(1) (n)
(2)
(3)
a
identiques.
Les masses ajoutees de la forme ondulee sont traes sur la gure suivante en fontion
du nombre d'ondulationset de leur amplitude
3 4
5 6
7 8 9 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 1
1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16
n
a/R
n=9 a/R=0.09
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Y
X
La transformation onforme utilisee ne permet pas de gerer un grand nombre de pro-
tuberanes de forteamplitude.
5 Forme integrale des eorts
Ilexiste unealternativeaualuldeseorts par integrationdiretedutenseur de Cauhy
omprenant pression p~n et frition !
~
t (ou (~n ;
~
t) sont les veteurs normal et tangent au
orps)
~
F = Z
B
(p~n+!
~
t)d` (eoulementbidimensionnel): (17)
Sur la base des developpements theoriquesde Temam (1977),Napolitanoet Quartapelle
(1983)ontelaboreplusavantuneformulationintegraledeseortsquipeut^etrefailement
etendue a un orps de forme quelonque plae dans un ourant de uide visqueux. Le
prinipe de base est de produire une integrale de la pression le long du orps. Pour ela
on utilise le produit salaire assoie a un espae de fontions suÆsamment regulieres.
On projette ainsi l'equation de onservation de quantite de mouvement sur une base de
fontions bien hoisies notamment harmoniques dans le domaine uide tout entier .
Pour simplieronetablitles formules des eorts s'appliquantsur un orps plae dans un
ourant onstant et on s'aranhit du alul du moment. Les fontions dependent de
laomposantedes eortsque l'onalule. Leurdeterminationpassepar laresolutiondes
problemes aux limitessuivants
8
>
>
<
>
>
:
x
=
y
=0; dans ,
~
r
x
~n= ~x~n;
~
r
y
~n = ~y~n ;
sur la surfae du orps,
(
~
r
x
;
~
r
x
)!0; al'inni,
(18)
Entenant omptedes onditionsaux limitessur le orps (onditionadherenedu uide)
etau loin(pas de vortiite)on obtient l'expression des eorts
~
F
=
Z
(~n^~!)
~ x+
~
r
x
~ y+
~
r
y
d`
Z
(~u^~!)
~
r
x
~
r
y
ds: (19)
(idealement sousformed'un nombreni N
v
de masses de Diraorrespondant haune a
un vortex disret) presente l'inter^etevident de transformer l'integralesur en
Z
(~u^~!)
~
rds = Nv
X
k=1 k
(u
x
;y u
y
;x
); (20)
ou(u
x
;u
y
)sontlesomposantes artesiennes delavitessealuleeal'endroitousetrouve
levortex numeroktransportantlairulation
k
. Dansleasd'unourantinstationnaire,
le terme supplementaire ferait appara^tre un eort d'inertie ajoutee (deja alule plus
haut). Dansleasd'unorpsderitparunetransformationonformelesfontions(
x
;
y )
sont parfaitement onnues, elles s'interpretent omme le potentiel de perturbation d'un
eoulementirrotationnelde uideparfait. Surlabasedes notationsdejafaites,onobtient
x
= x+<
h
J 1
+ J
1
i
;
y
= y+= h
J 1
J
1
i
; (21)
dont on deduit les gradients. La omposante de frition s'erit sous formeomplexe
F
v
=2iJ 1
Z
2
0
!
1
jJj 2
e i
d; (22)
ou!
1
represente lavortiiteparietaledans le plan. On peut noter que etteexpression
estlairementdierentedeellequel'on obtientdiretementparintegrationdelafrition
F
frot
=i Z
!()e i
J()
: (23)
On note que si l'on reduit et eort au erle unite, les deux expressions dierent d'un
fateur 2. Quant a la omposante tenant ompte de la vortiite deja evauee dans le
uide,elle s'exprimeomme
F
x
F
y
ve
= Nv
X
k=1 k
0
B
B
u
y
(1 <(B)) u
x
=(B) ave B = 1
J h
J
1 J
1
e 2i
r 2
i
u
x
(<(B) 1) u
y
=(B) ave B = 1
J h
J 1
+ J
1
e 2i
r 2
i 1
C
C
A
; (24)
De futurs travauxpourrontporter sur la generalisationde ette formulationaualul du
moment. Cela signie que l'on doit resoudre le probleme aux limitessuivant
8
<
:
z
==0; dans ,
~
r
z
~n= ~n (~z^~r); sur lasurfae du orps,
~
r
z
!0; a l'inni.
(25)
Dans e as le alul de
z
se omplique mais il reste possible semi-analytiquement. En
eet la fontion
z
presente la m^eme symetrie ylique que la setion physique. On
transforme alors haque seteur en une plaque plane. Le probleme aux limites (mixte
Neumann-Dirihlet)pour
z
onduitaexprimer diretementle gradientde
z
sous forme
integrale (voirNewman, 1979 ouMilne-Thomson, Art. 9.63, 19).
Pour illustrer les dierentes formulations des eorts (eqs 17 d'une part et eqs 22,24
d'autrepart), ontrae,sur lesguressuivantes, les series temporelles des eorts en ligne
