Mécanique des uides : uide visqueux (PC*)

Mécanique des uides : uide visqueux (PC*)

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Question de cours

Modélisation des eets de viscosités d'un uide Exercice Viscosimètre de Couette

On considère deux cylindres concentriques de rayonR1 etR2> R1 et de hauteurhR2. Le premier cylindre est immobile, le second tourne à une vitesse angulaire constante Ω autour de son axe. On remplit l'espace entre les deux cylindres d'un liquide de masse volumiqueρ, supposé incompressible et présentant un coecient de viscositéη. On néglige l'eet de la pesanteur.

1. On suppose R2−R1 R1 et on se place en régime stationnaire. Justiez ^∂v_∂z = ^∂v_∂θ = 0. On considérera dans la suite un champ de vitessev(r)−→u_θ.

2. Montrez que le champ de vitesse se met nécessairement sous la formev(r) =Ar+^B_r. 3. Déterminez les expressions deA et deB.

4. Déterminez le couple qu'il faut appliquer sur le cylindre central pour qu'il reste immobile.

Pour une fonction de la forme−→

A =f(r)−→u_θ, le laplacien s'écrit∆−→ A =_∂2f

∂r² +¹_r^∂f_∂r −_r^f2

−→u_θ. Solution

1. On a par symétriev(r)−→u_θ (et par conservation de la matière, div−→v = 0) 2. En régime stationnaire, N S s'écrit ρ−→v .−−→

grad−→v = η∆−→v −−→

∇p = 0 et −→

∇p.−u→θ = 0. On cherche v^θ =Ar+^B_r.

∂²v^θ

∂r² +¹_r^∂v_∂r^θ −^v_r^θ2

=A 0 +¹_r−_r^r2

+B

2

r³ −¹_rr¹2 −^1/r_r2

= 0 Equation du deuxième ordre, 2 solutions indépendantes => base des solutions.

3. Conditions limites : AR1+_R^B

1 = 0⇔B=−AR²₁. AR2+_R^B

2 =R2Ω⇔A=_R^R2^22Ω

2−R²₁ et B=−^R_R²¹2^R22Ω 2−R²₁. 4. Force appliquée au niveau du cylindre R₁ : d−→

F =η^∂v_∂rdS−→u_θ=η A−_R^B2

1

dS−u→_θ= 2ηAdS−→u_θ. Moment : 2ηAdSR₁−→u_z. Total : 2η_R^R2^22Ω

2−R²₁2πR²₁h. Couple à exercer : −4πηh^R_R²¹2^R22Ω 2−R²₁

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Question de cours

On considère un cylindre de rayon R et de longueur L dans lequel s'écoule en régime stationnaire un uide incompressible de masse volumiqueρet de viscosité dynamique η. On note∆pla diérence de pression entre un bout du tuyau et l'autre. Déterminez le champ de vitesse et de pression dans la conduite ainsi que le débit massique.

Exercice Ecoulement sur un plan incliné

On considère un plan incliné d'un angleαsur lequel se trouve un lm de uide incompressible de masse volumiqueρet de viscosité dynamiqueη. On se place en régime stationaire et on notehla hauteur du lm de uide etv(x, z)−u→x sa vitesse.

1. Déterminez le champ de vitesse et de pression en tout point du uide.

2. Calculez le débit massique de l'écoulement sur une largeur L. 1

3. Exprimez la puissance développée par les forces de viscosité dans un volume de longueur l, de largeurLet de hauteurh.

Solution

1. incompressible donc div−→v = 0 donc∂_xv = 0 et on a v(z)−u→_x. Navier stockes : ∂_tv = 0 car stationaire et −→v .−−→

grad−→v = 0 donc η∆−→v −−→

∇p+ρ−→g = 0 donc

(η^∂_∂z^2v2 −^∂p_∂x+ρgsinα= 0

−^∂p_∂z+ρgcosα= 0 donc p(x, z) = ρgcosα+f(x)etp(x, h) =p0∀xdoncp(x, z) =p0+ρgcosα(h−z)et∂zv=−^ρg_η sinαz+Ket contrainte air-uide nulle donc∂_zv=−^ρg_ηsinα(h−z) etv=^ρgsinα_2η (2hz−z²) +K⁰ etv(0) = 0 doncK⁰ = 0. 2. Débit volumique : ˜

ρ−→v .−→

dS= ^ρgsinα_2η ρL(hh²−^h₃³) = ^ρ2gsinα_3η Lh³. 3. Pour un volume dxdydz, dP = −→

dF .−→v = η∆vvdτ = −η^ρg_ηsinα^ρgsinα_2η (2hz−z²)dτ = ^ρ2g2_2η^sin2α(z²− 2hz)dxdydzdoncP = ^ρ2g2_2η^sin2α(^h₃³ −hh²)Ll=−Qglsinα

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Cours écoulement de poiseuille

La divergence en coordonnée cylindrique est donnée par div−→

A = ¹_r∂r^∂ (rAr) + ¹_r^∂A_∂θ^θ + ^∂A_∂z^z. La condition d'incompressibilité du uide donne alors

∂v_z

∂z(r, z) = 0. On en déduit donc, avec −−→

grad= _∂r^∂ −→ur+¹_r∂θ^∂ −u→θ+_∂z^∂ −u→z, que −→v .−−→

grad−→v = vz ∂

∂z

vz−u→z = 0. L'équation de Navier Stockesρ

∂−→v

∂t +−→v .−−→

grad−→v

=−−−→

gradP+η∆−→v donne alors, avec∆vz−u→z=

1 r

∂

∂r r^∂v_∂r^z +_r¹2

∂²v_z

∂θ² +^∂_∂z^2v2^z

−u→z,







0 =−^∂P_∂r 0 =−¹_r^∂P_∂θ

0 =−^∂P_∂z +η¹_r∂r^∂ r^∂v_∂r^z

On tire des deux premières relations P(r, θ, z) = P(z). La dernière relation est donc une égalité de deux fonctions de variable indépendantes. On a donc

∂P

∂z =η¹_r∂r^∂ r^∂v_∂r^z

=κ. On en déduireP(z) =P0+κzet comme∆P =P(L)−P(0), on a

P(z) =P(0) +^∆P_L z. On en déduit donc

η1 r

∂

∂r

r∂vz

∂r

= ∆P

L ⇔ ∂

∂r

r∂vz

∂r

= ∆P ηLr

⇔ r^∂v_∂r^z = ∆P ηL

r² 2 +A

⇔ ^∂v_∂r^z = ∆P ηL r 2 +A

r

⇔ v_z(r) = ∆P ηL

r² 4 +A ln

r r₀

+B Or les conditions au limites imposent

2 Daniel Suchet - 2012

|vz(0)|<∞

|vz(R)|= 0car le uide est visqueux et la paroi immobile On en déduit donc

v_z(r) =−^R_4ηL^2∆P

1−_R^r2₂

3 Daniel Suchet - 2012