Mécanique des uides : ondes accoustiques (PC*)
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Exercice Pavillon exponentiel
On étudie la propagation d'onde sonore dans un guide de taille variable. On se ramène à un problème unidimensionnel à symétrie cylindrique et on noteR(x)le rayon du guide à l'abscissex. On noteρ0la masse volumique du uide au repos etp0 la pression à laquelle il est soumis en absence de surpression etχ0 sa compressibilité. On suppose toutes les grandeurs uniforme dans une tranchedxdu uide. On se limitera dans toute la suite à un développement des expressions au premier ordre des perturbations.
1. En eectuant un bilan de masse entre les abscissesxetx+dxet les instantstett+dt, déterminez une première relation entre ρ,vet S.
2. Exprimez les forces de pressions qui s'exercent sur le volume considéré précédemment.
3. En eectuant un bilan de quantité de mouvement sur un système convenablement choisi, déterminez une seconde relation entrev etp.
4. Déterminez une troisième relation entre les variables à partir d'une équation thermodynamique.
5. On prend un pavillon tel que R2dRdt = 1λ ∈ R+. Déterminez l'équation de propagation de la surpression.
Solution
1. Masse entrant dans le système entre t et t+dt : ρ0πR(x)2v(x)dt. Masse sortant du système : ρ0πR(x+ dx)2v(x+dx)dt. Masse dans le système à l'instant t : ρ(t)πR2dx. Masse dans le système à l'instant t+dt : ρ(t+dt)πR2dx
Bilan :
ρ(t+dt)πR2dx = ρ(t)πR2dx+ρ0πR(x)2v(x)dt−ρ0πR(x+dx)2v(x+dx)dt R2∂tρ = −ρ0∂x R(x)2v(x)
2. Pression : en x p(x)πR(x)2. en x+dx −p(x+dx)πR(x+dx)2. Contribution de la composante courbe suivant x : p(x)sinα2πRcosαdx ; et avectanα=dR/dx, on trouvep(x) 2πR dR=p(x)d πR2.
3. Qté de mouvement entrant dans le système entre t et t+dt : ρ0πR(x)2v(x)dt v(x) (ordre 2). Qté de mouvement sortant du système : ρ0πR(x+dx)2v(x+dx)dt v(x+dx) (ordre 2). Qté de mouvement dans le système à l'instant t : ρ(t)πR2dx v(x, t). Qté de mouvement dans le système à l'instant t+dt : ρ(t+dt)πR2dx v(x, t+dt). Qté de mouvement apportée au système : −→
F dt Bilan :
ρ(t+dt)πR2dx v(t+dt) = ρ(t)πR2dx v(x, t) +p(x)πR(x)2−p(x+dx)πR(x+dx)2+p(x)d πR2 R2∂tvρ = −∂x R(x)2p(x)
+p(x)∂xR2 ρ0∂tv = −∂x(p(x))
4. χ0=−V1∂V∂P = 1ρ∂P∂ρ d'où on tire∂tp=c2∂tρavec c−2=ρ0χ0
5. Rc22∂t2p=−ρ0∂x∂t R(x)2v(x, t)
= +∂x R(x)2∂x(p(x))
= 2∂x(p(x))Rx∂x(R(x)) +R2(x)∂x2(p(x)) d'où c12∂t2p= R(x)2 ∂x(R(x))∂x(p(x)) +∂x2(p(x)).
1
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Exercice Masse de Jeans
On considère un nuage interstellaire d'hydrogène de masse volumiqueρsoumis à sa propre gravitation.
On supposera le problème à symétrie cylindrique.
1. Rappelez la forme de la force de gravitation entre deux corps de massem1 etm2, puis la forme de la force de Coulomb entre deux charges q1 et q2, puis le théorème de Gauss pour l'électrostatique et en déduire par analogie le théorème de Gauss pour la gravitation. En déduire l'équivalent de l'équation de Maxwell Gauss pour la gravitation.
2. Montrez qu'en électrostatique, le champ électrique dérive d'un champ scalaire. Par analogie, déter- minez l'équation vériée par le potentiel gravitationnel Ψ.
3. On traite le gaz du nuage comme un uide parfait compressible. Etablir l'équation de conservation de la masse et l'équation d'Euler.
4. On cherche une solution stationnaire sous la formeρ0, p0uniformes et constants,Ψ0 et−→v0=rΩ−→uθ
constants. Déterminez ΩetΨ0. A quoi correspond ce mouvement ?
5. On cherche la réponse au premier ordre du système : ρ =ρ0+ρ1, P =P0+P1 etc. Exprimez les équations vériées par les termes d'ordre 1. On supposera −→v1 = v1(r, z)−→uz et l'ensemble des variables indépendantes deθ.
6. On cherche des solutions sous la forme d'ondes planesρ1(r, z, t) = ˜ρ1e−i(krr+kzz−ωt) etc. Jusitiez cette forme et déterminez les équations vériées parρ˜1,P˜1,Ψ˜1 etv˜1.
7. On admet la relation thermodynamque P1 =c2sρ1, oùcs est la vitesse de propagation des ondes sonores dans le nuage et on s'intéresse aux perturbations longitudinales (kr = 0). Déterminez la relation de dispersion. En déduire que, soumis à des excitations de grandes longueurs d'onde, le nuage est instable et ni par s'eondrer sur lui même. En déduire l'expression de la masse des étoiles dans leur première partie de vie.
Formulaire : ∆f(r) =1r∂r(r∂rf),div A−→
B
=−→ B .−−→
gradA+Adiv−→ B
Solution 1. −→
F = 4π1
0
q1q2
r2 −→ur =q2
−→
E1(−→r) et −→
F =−Gm1rm22−→ur =m2−→g1(−→r) donc‚ −→g .−→
dS = −4πGMint et div−→g =
−4πGρ. 2. −→
rot−→ E =−→
0 →−→
E =−−−→
gradV →∆V =−ρ
0. Ici,∆Ψ = 4πGρ 3. ∂ρ∂t+div(ρ−→v) = 0 et ∂−→v
∂t +
−
→v .−−→
grad
−
→v =−1ρ−−→
gradP−−−→
gradΨ
4. Euler avec −→v = rΩ−→uθ : Ω∂θ∂ (rΩ−→uθ) = −rΩ2−→ur = −∂r∂ Ψ−→ur donc Ψ = 12r2Ω2+cste et avec Gauss : Ω2= 2πGρ0
5. A l'ordre 1,
∂ρ1
∂t +ρ0div(−→v1) +−→v0.−−→
grad(ρ1) = 0
= ∂ρ1
∂t +ρ0∂zv1+v0 r∂θρ1
∂t−→v1+
−
→v1.−−→
grad
−
→v0+
−
→v0.−−→
grad
−
→v1 = −1 ρ0
−−→gradP1−−−→
gradΨ1
= ∂t−→v1+v1.∂z−→v0+v0.∂θ−→v1
∆Ψ1 = 4πGρ1
6. En TF
2 Daniel Suchet - 2012
iωρ˜1−ikzρ0v˜1 = 0 iωv˜1 = i1
ρ0kzP˜1+ikzΨ˜1
−k2zΨ˜1 = 4πGρ˜1
P˜1 = c2sρ˜1
soit
ωρ˜1−kzρ0v˜1 = 0 ωv˜1 =
1
ρ0
kzc2s−4πG kz
˜ ρ1
−kz2Ψ˜1 = 4πGρ˜1
P˜1 = c2sρ˜1
7. Pour avoir une solution autre que triviale, on doit avoir
ω −kzρ0 1
ρ0kzc2s−4πGk
z −ω
= 0
ω2 = kz2c2s−4πρ0G
Longueur de Jeans : λJ= 2πk
J aveckJ2 =4πρc20G
s . Masse de Jeans : 43πλ3Jρ0=43
π5 ρ0G3
1/2 c3s. __________________________
3 Daniel Suchet - 2012
