G261 – Méli-mélo de droites et de coniques
Je trace dans le plan un certain nombre de cercles puis un même nombre d’ellipses et de lignes droites. Toutes ces figures donnent un maximum de 2011 points d’intersection.
Dénombrer les cercles et les ellipses.
Solution proposée par Patrick Gordon
Soit p le nombre de cercles et q le nombre d’ellipses et de lignes droites.
Les p cercles se coupent entre eux au maximum en 2 × p (p–1)/2 points1. Les q ellipses se coupent entre elles au maximum en 4 q (q–1)/2 points.
Les q droites se coupent entre elles au maximum en q (q–1)/2 points.
Les p cercles coupent les q droites au maximum en 2 pq points.
Les p cercles coupent les q ellipses au maximum en 4 pq points.
Les q droites coupent les q ellipses au maximum en 2 q² points.
Soit au total un nombre maximum de points d'intersection de :
½ (2p² + 12pq + 9q² – 2p – 5q).
Ce nombre ne prend la valeur 2011 que pour p = 18 et q = 11.
Il y a donc :
18 cercles 11 ellipses 11 droites.
1 réels ou imaginaires, à distance finie ou infinie
