D2928. Un carrefour tr` es fr´ equent´ e
Q1/ Le point S
2 triangles quelconques parmi les 4ont toujours un cˆot´e commun. Prenons par exemple ABC (orthocentre hd) etBCD (orthocentrehc).
Ahd etDhasont parall`eles, et coupentΓrespectivement enh0d et h0a.
ADeth0dh0asont anti-parall`eles par rapport `aBC, doncADethdhasont parall`eles : AhaetDhdse coupent au centre du parall´elogrammeAhdhaD.
En prenantABCetABD, on a le parall´elogrammeABhbhadont la diagonaleAhaest commune avec le cas pr´ec´edent. Donc les4droitesAha,Bhb,Chc,Dhd se coupent enS.
Quant aux droites PaQa, PbQb, PcQc, PdQd, ce sont les droites de Simson de A par rapport `a BCD, de B/ACD, deC/ABDet deD/ABC. Or la droite de Simson d’un pointX par rapport au triangle
T
diviseen2parties ´egales le segment qui jointX `a l’orthocentre de
T
11Lalesco§2.4
1
Q2.1/ Les points P , Q, R
La droite de Simson deApar rapport `a BCD(c`adPaQa), et la droiteAh0c (h0c pied deCRc surΓ) ont des pentes oppos´ees2par rapport `a BD. De mˆeme pourPcQc etCh0a.
Les hauteursARah0a etCRch0c sont parall`eles (h0a eth0c surΓ). DoncAh0c etCh0a ont des pentes oppos´ees par rapport `a BDet le triangleRaSRc est isoc`ele enS.
Quels que soient les points 1et 2parmi A, B, C, D, les droites de Simson du point1par rapport au triangle 234et du point2par rapport au triangle triangle134ont des pentes oppos´ees par rapport `a la droite34. On a donc les triangles suivants isoc`eles enS :
RaSRc, RbSRd, PaSQd, PcSQb, PbSQa, PdSQc
Consid´erons maintenant les ensembles de 2 triangles ayant un cˆot´e commun et les projections des sommets non communs sur les cˆot´es de l’autre triangle : par exemple ABC etDBC, et les couples de pointsRa/Rd, Pa/Qd,Pd/Qa.
2Lalesco§2.3
2
Pour le coupleRa/Rd, on a :
R\aDRd = (π/2−DCA)\ −BDC\ = (π/2−DBA)\ −BAC−\ =R\aARd
EF est donc parall`ele `a BC, et le th´eor`eme de Pascal appliqu´e `a l’hexagone BCAF ED montre que RaRd
est parall`ele `a BC.
Rd\RbRa=DCA\ =DCB\ =Rd\RcRa
Le quadrilat`ereRaRbRcRdest inscriptible et les triangles isoc`elesSRaRcetSRbRdmontrent que son centre estS.
PaQd est confondue avecBC, etPdQa est aussi parall`ele `a BC. On montre de la mˆeme fa¸con que Pa, Qd, Qb,Pc d’une part,Pb,Qc,Qa,Pb d’autre part, sont co-cycliques de centreS.
Q2.2/ Les points X , Y , Z
Les sym´etries par rapport (cf Q1) `aS deAetHa,BetHb,CetHc,DetHdmontrent qu’on a un ensemble de points sym´etriques des pr´ec´edents, Xi dePi,Yi deQi,Zi deRi, donc sur les mˆemes droites et les mˆemes cercles.
Q2.3/ Les cercles d’Euler
S milieu deAHaest sur le cercle d’Euler du triangleBCD3. Cela vaut pour les7autres triangles.
3Lalesco§2.5
3
