Tabledesmatières
1 Qu'est-equ'unveteurduplan? 1
2 Sommedeveteurs 2
3 Veteurnul-Opposéd'unveteur 3
4 Multipliationd'unveteurparunnombreréel 3
5 Veteursolinéaires 3
5.1 Dénition . . . 3
5.2 Conséquenes . . . 4
6 Baseduplanvetor iel 4 7 Desexeries...basiques. 5 8 Veteursetrepèresduplan 8 8.1 Repère . . . 8
8.2 Colinéar itéetonséquenes . . . 11
8.3 Équationsdedroitesetolinéar ité . . . 12
8.4 Repèreor thonor mal . . . 12
1 Qu'est-equ'unveteurduplan?
Nousnepouvonspas,ànotreniveau,donnerunedénitionr igoureused'unveteurduplan.Disonsqueonrètement,un
veteurestundéplaement:
A B C
D E F
G H I
¡
!
d
¡
!
d
¡
!
d
LedéplaementdeAversBestlemêmequeeluideDversEoudeHversI.OnappelleedéplaementunVECTEURdéni
par
unediretion:elledeladroite(AB);
unsens:eluideAversB;
unenor me:quiestégaleàlalongueurAB.
Attention!1. ilnefautpasonfondresensetdiretion:parexemple
¡!
IHet
¡!
ABontlamêmediretion(arlesdroites(AB)et(IH)
sontparallèles)maisn'ontpaslemêmesens.
Lesveteurs
¡!
AB,
¡!
DEet
¡!
HIsontdonlesreprésentantsd'unmêmeveteurarilsontmêmesens,mêmediretionetmême
nor me:onpeutdondésignereveteurparunnomunique,parexemple
¡
!
d.
Lanormeduveteur
¡!
ABestégaleàlalongueurAB.Pourdésignerlanor mede
¡
!
d,onutilise
°
°
¡
!
d
°
°
.Ona
°
°
¡
!
d
°
°
ÆABÆDEÆHI
Remarque2.
¡!
ABÆ
¡¡!
CDÆ
¡
!
u sietseulementsiABDCestunparallélogramme
A
C D
¡
!
u
¡
!
u
Remarque3. Dansmonjeunetemps,ondisaitquedeuxveteurs
¡!
ABet
¡¡!
CDétaientégaux 1
sietseulementsilessegments[A;D℄
et[B;C℄avaientlemêmemilieu:pourquoi?
2 Sommedeveteurs
Leseret:jemedéplaedeAversBpuisdeBversC:globalement,jesuispar tideAetjesuisarrivéenC
A
B
C
¡
!
u
¡
!
v
¡
!
uÅ
¡
!
v
C'estenfaitlafameuseRelationdeCHASLES
Dénition4.
¡!
ABÅ
¡!
BCÆ
¡!
AC
Maisqu'enest-ildeettesommelorsqu'ononsidèredeuxveteursquelonques
¡
!
u et
¡
!
v ?
Ilsuftdeprendredesreprésentantsde
¡
!
u et
¡
!
v bienhoisis:
A
B
C
¡
!
u
¡
!
v
¡
!
u
¡
!
v
¡
!
u Å
¡
!
v
Onpeutaussi«penserparallélogramme»
A
B D
C
¡
!
u
¡
!
v
¡
!
uÅ
¡
!
v
1
Enfait,ondisaitquelesbipoints(A,B)et(C,D)étaientéquipollents...
JeparsdeA,jevaisenBetjeretour neenA:larelationdeCHASLESleonr me
¡!
ABÅ
¡!
BAÆ
¡!
AA
Quepeut-ondiredeeveteur
¡!
AA?
Quelleestsanor me?
Quelleestsadiretion?
Quelestsonsens?
Onappelleeveteurdenor menulleleveteurnuletonlenote
¡
!
0.
Plusgénéralementsiononsidèreunveteur
¡
!
u,onpeuttoujourstrouverunveteurdemêmediretion,demêmenor meet
desensopposé:quandonl'ajouteà
¡
!
u,onobtientleveteurnul.
Onl'appelleleveteuropposéde
¡
!
u etonlenotebiensûr¡
¡
!
u
¡
!
u
¡
¡
!
u
4 Multipliationd'unveteurparunnombreréel
Nousavonsdéjàabordéleproblèmeenparlantdel'opposéduveteur
¡
!
u qu'onnote¡
¡
!
u,'estàdire(¡1)£
¡
!
u.
Nouspouvonsaisémentimaginerqueleveteur3
¡
!
u estenfaitégalà
¡
!
uÅ
¡
!
uÅ
¡
!
u,etlesadditionsdeveteurs,ononnaît!
Nouspouvonsmêmeomprendreque¡3
¡
!
u,'est
¡
¡
¡
!
u
¢
Å
¡
¡
¡
!
u
¢
Å
¡
¡
¡
!
u
¢
Produitd'unveteurparunnombreréel
Vousomprendrezdonsansproblèmeladénitionsuivante
Dénition5. Soit
¡
!
u unveteurnonnuletkunnombreréelnonnul.Alorsonnotek
¡
!
u leveteur
ayantlamêmediretionque
¡
!
u ;
ayantlemêmesensque
¡
!
u sikÈ0,lesensontrairesinon;
ayantpournor mek
°
° ¡!
u
°
°
sikÈ0et¡k
°
° ¡!
u
°
°
sinon.
¡
!
u k
¡
!
u(kÈ0 )
k
¡
!
u(kÇ0 )
Cepetitdessinrésumelesdifférentsasdegure.
5 Veteursolinéaires
5.1 Dénition
Nousavonsremarquéque
¡
!
u etk
¡
!
u avaientlamêmediretion.
Inversement,sideuxveteursnonnuls
¡
!
u et
¡
!
v ontlamêmediretion,alorsonpeutimaginerqu'ilexisteunréelktelque
¡
!
v Æk
¡
!
u.
Parexemple,s'ilsontlemêmesens,alorsleveteur
°
°¡!
v
°
°
°
°¡!
u
°
°
¡
!
u a
lemêmesensque
¡
!
v (ar...
lamêmediretionque
¡
!
v (ar...
lamêmenor meque
¡
!
v (ar...
don
¡
!
v Æ
°
°¡!
v
°
°
°
°¡!
u
°
°
¡
!
u,equionr menotresupposition.
Avantderésumererésultat,unpeudevoabulaire:
Dénition6. Onditquedeuxveteurssontolinéairessi,etseulementsi,ilsontlamêmediretion.
Remarque7. DeuxCOpainspar tagentleurpain,deuxCOrreteursduBapar tagentlemêmereteur,deuxveteursCOli-
néairespar tagentlamêmeligne...
A
B
D
C
¡
!
u
¡
!
v
Notreobser vationpréédentevadonnousper mettred'énonerlethéorèmepr imordialsuivant:
Théorème8. Deuxveteurs
¡
!
u et
¡
!
v sontolinéairessi,etseulementsi,ilexisteunréelktelque
¡
!
v Æk
¡
!
u
Attention!9. Vousferezbienattentionàparlerdeveteursolinéairesetnonpasdeveteursparallèles!Deuxdroitespeuvent
êtreparallèlessiellesonttousleurspointsouauunpointenommun.Onnepeutpasdirelamêmehosedesveteursar
lesveteurs...n'ontpasdepoints!Cesontdesdéplaements,pasdesensemblesdepointsommelesdroites.
5.2 Conséquenes
Sionarr iveàmontrerquedeuxveteurs
¡!
ABet
¡¡!
CDsontolinéaires,onpourraendéduirequelesdroites(AB)et(CD)sont
parallèles.
Sionarr iveàmontrerquedeuxveteurs
¡!
ABet
¡!
ACsontolinéaires,onpourraendéduirequelesdroites(AB)et(AC)sont
parallèles.Or,ommevousl'avezremarqué,lesdroites(AB)et(AC)ontlepointAenommun.Quepensez-vousde2droites
parallèlesayantunpointenommun?Ellessontbiensûr...
2
EtdonlespointsA,BetCappar tiennentàunemêmedroite:ilssontalignés.
Àretenir
Montrerquedeuxveteurssontolinéairespeutnousaideràmontrerquedeuxdroitessontparallèlesouquetroispointssont
alignés.
Leproblèmevaêtred'arr iveràprouverquedeuxveteurssontolinéaires:ilsufrade«penserBASE»...
6 Baseduplanvetor iel
Euh..leplanvetor iel,'estquoi?
Disonsque'estl'ensembledesdéplaementsendimension2.Ondiraalorsque
Dénition10. Deuxveteursfor mentunebaseduplanvetor ielsi,etseulementsi,ilsNEsontPASolinéaires.
Etonadmettralerésultatpr imordialsuivant:
Théorème11. Soit
¡
!
u et
¡
!
v deuxveteursNONolinéaires:ilsformentunebaseduplanvetoriel.Alorsonpeutexprimern'im-
por tequelveteur
¡
!
t souslaforme
¡
!
t Æx
¡
!
u Åy
¡
!
v
avexetydesréels.LesnombresxetysontappeléslesCOORDONNÉESde
¡
!
t danslaBASE
¡
¡
!
u,
¡
!
v
¢
Leserettientdansledessinsuivant:
¡
!
i
¡
!
j
O
x
¡
!
i
y
¡
!
j
¡
!
t
2
D'aprèsundesaxiomesd'Eulidequiestlabasedelagéométriequevousétudiezaulyée:«pardeuxpointsdistintsduplanilpasseunedroiteetune
seule»
donnéenfontiondedeuxveteursdebaseintelligemmenthoisis...
7 Desexeries...basiques.
Nousallonsétudiertoutessor tesd'exeriesquinousfour nirontautantd'outilspourrésoudrenosenigmesmathématiques...
«Voir»deségalitésvetor ielles
ConsidérezavelaplusgrandeattentionunparallèlogrammeABCDdeentreO:donnezunmaximumd'égalitésvetor ielles.
Enpar tiulier,trouvezdeségalitésvetor iellesquiper mettrontdearatér iser 3
lemilieud'unsegment.
A B
C
D
O
Parallèlogrammesetmilieux
Nousallonsainsipouvoirrésoudrel'exeriesuivant:
Exerie12. ABCDestunparallélogrammedeentreO.LespointsM,N,PetQsonttelsque:
¡¡!
AMÆ 3
2
¡!
AB
¡!
BNÆ 3
2
¡!
BC
¡!
CPÆ 3
2
¡¡!
CD
¡¡!
DQÆ 3
2
¡!
DA
Démontrezque
¡¡!
MBÆ
¡!
DP.
Déduisez-enqueOestlemilieude[MP℄.
DémontrezdemêmequeOestmilieude[Q N℄.
DéduisezdesquestionspréédenteslanatureduquadrilatèreMNPQ .
A B
C D
O
Q
M N
P
Constr utiondepoint
Exerie13. AetBsontdeuxpointsdistintsduplan.OndénitlepointMparlarelationvetorielle:3
¡¡!
MAÅ
¡¡!
MBÆ
¡
!
0.
Exprimez
¡¡!
AMenfontionde
¡!
AB.PlaezM.
M«apparaît»deuxfoisdansl'égalité:pourpouvoirleonstr uire,ilfaudrait«par tir»d'unpointonnuet«suivrelaèhe»jus-
qu'enMgrâeàdes«indiations»utilisantdesmouvementsentrepointsonnus...
3
C'estàdirequipermettentdeonlurequelepointétudiéestàoupsûrlemilieudusegmentétudié.
Exerie14. ABCDestunparallélogramme.Iestlemilieude[AB℄.Eestlepointtelque
¡!
DEÆ 2
3
¡!
DI.
Compléterlaguresuivante.
A B
C
D
Travaillerdansunebasepourmontrerquedespointssontalignés...
Exerie15. IlsemblequeA,EetCsoientalignés.Nousvoudrionsleprouver.Pourela,nousallonsessayerdemontrerque
lesveteurs
¡!
AEet
¡!
ACsontolinéaires.Oui,maisomment?
Pensonsbase!Ilestasseznatureldansunparallélogrammedehoisir
¡!
ABet
¡!
ACommeveteursdebase:ilssontbienonnus
et«représentent»lesdiretionsprivilégiéesduparallélogramme.Leproblème,'estqueEest«aumilieu»...Réglonsepre-
mierproblème:àl'aidedelarelationdeCHASLESetdesdonnéesdutexte,exprimez
¡!
AEenn'utilisantquedespoints«surles
bords»duparallélogramme.
Exerie16. Déduisez-enuneexpressionde
¡!
AEuniquementenfontionde
¡!
ABet
¡!
AD,nosveteursdebase.
Exprimezégalement
¡!
ACenfontionde
¡!
ABet
¡!
AD.
Vouspouvezmaintenantomparer
¡!
AEet
¡!
ACenfontiondeveteursdignesdeonaneetonlure...
A B
C D
I E
...etpourmontrerquedesdroitessontparallèles.
Exerie17. ABCestuntriangleetIestlemilieudusegment[AC℄.Oestunpointquelonque.
OnseproposedeonstruirelepointPtelque:
¡!
OPÆ
¡!
O AÅ
¡!
OC¡2
¡!
OB .
Justierque
¡!
O AÅ
¡!
OCÆ2
¡!
OI.
Quellerelationliealors
¡!
OPet
¡
!
IB?
ConstruireP.
Endéduireque(BI)et(OP)sontparallèles.
O
P A
B
C
I
Dessin
PlaerlepointEtelque
¡!
BEÆ
¡!
AC .
PlaerlepointFtelque
¡!
BFÆ¡
¡!
AC .
PlaerlepointGtelque
¡!
BGÆ
¡!
ACÅ
¡!
BA.
A
B C
Calulvetor ieldansunparallélogramme.
SoitABCDunparallélogramme.SoitElemilieude[BC℄etFlemilieude[DC℄.
Montrerque
¡!
ACÅ
¡!
BDÆ2
¡!
BC.
Montrerque
¡!
AEÅ
¡!
AFÆ 3
2
¡!
AC .
A B
C
D
E F
Danshaundesassuivants,démontrerquelesveteurs
¡!
ABet
¡¡!
CDsontolinéaires:
¡!
ACÅ
¡¡!
DCÆ
¡!
BD.
2
¡!
CB¡9
¡!
CA¡7
¡!
ADÆ
¡
!
0.
7
¡!
ABÆ3
¡!
CBÅ5
¡!
ADÅ2
¡!
CA.
Aveousansveteurs
SoitABCuntr iangle.
Constr uirelespointsM,NetPtelsque:
¡¡!
AMÆ 1
3
¡!
AB,
¡¡!
CNÆ 1
3
¡!
CA,
¡!
CPÆ 1
3
¡!
BC.
Montrerque
¡¡!
MNÆ¡ 1
3
¡!
ABÅ 2
3
¡!
AC .Ondétaillerasoigneusementlesaluls.
Montrerque
¡!
NPÆ
¡¡!
MN.Ondétaillerasoigneusementlesaluls.Quepeut-onenonlure?
Retrouvererésultat,sanslesveteurs,enutilisantlespropr iétésdegéométr ieplane.
M N P
A
B C
Êtreounepasêtrealignés...
LespointsP,QetRsont-ilsalignés?
P
Q
R A
B C
Médianes
Préliminaire : P,Q et R sont trois points non alignés et I est le milieu de [Q,R]. Exprimez
¡PRÅ! ¡PQ!en fonction de
¡!PI.
Exerie:
ABCestuntr ianglequelonque.A 0
,B 0
etC 0
sontlesmilieuxrespetifsde[BC℄,CA℄et[AB℄.
Calulerlasomme:
¡¡!
AA 0
Å
¡¡!
BB 0
Å
¡¡!
C C 0
.
Mestunpointquelonqueduplan.Montrerque:
¡¡!
MA 0
Å
¡¡!
MB 0
Å
¡¡!
MC 0
Æ
¡¡!
MAÅ
¡¡!
MBÅ
¡¡!
MC.
8 Veteursetrepèresduplan
8.1 Repère
Nousavonsvupréédemmentqu'unebase(for méededeuxveteursnonolinéaires)per mettaitd'expr imern'impor tequel
veteurenfontiondes2veteursdebase.
Théorème18. Soitu et v deuxveteursNONolinéaires:ilsformentunebaseduplanvetoriel.Alorsonpeutexprimern'im-
por tequelveteur
¡
!
t souslaforme
¡
!
t Æx
¡
!
u Åy
¡
!
v
avexetydesréels.LesnombresxetysontappeléslesCOORDONNÉESde
¡
!
t danslaBASE
¡
¡
!
u,
¡
!
v
¢
Maintenant,pourrepérerunpoint,onhoisirauneor iginexeetdeuxveteursdebase.Laléduhapitretientdansledessin
suivant:
¡
!
i
¡
!
j
M(x;y)
¡
!
i
¡
!
j
M(x;y)
¡¡!
O M
¡
!
i
¡
!
j
M(x;y)
¡¡!
O M
¡
!
i
¡
!
j
M(x;y)
¡¡!
O M
x
¡
!
i
¡
!
i
¡
!
j
M(x;y)
¡¡!
O M
x
¡
!
i
¡
!
i
¡
!
j
M(x;y)
¡¡!
O M
x
¡
!
i y
¡
!
j
Théorème19. DirequelepointMapouroordonnées(x,y)danslerepère
¡
O;
¡
!
,
¡
!
|
¢
signieque
¡¡!
OMÆx
¡
!
i Åy
¡
!
j
Onappellexl'absissedeMetysonordonnée
Coordonnéesduveteur
¡!
AB
Noustravaillonsdansunrepère(O,
¡
!
i ,
¡
!
j)etdeuxpointsAetBontpouroordonnéesrespetives(x
A ,y
A )et(x
B ,y
B ).
Commenttraduirevetoriellementesrenseignements?
Coordonnéesduveteur
¡!
AB
Aapouroordonnées(x
A ,y
A
),donpardénition...
...
¡!
O AÆx
A
¡
!
i Åy
A
¡
!
j
Demême,onobtientpourB...
...
¡!
OBÆx
B
¡
!
i Åy
B
¡
!
j
Coordonnéesduveteur
¡!
AB
Nousvoudr ionsàprésentobtenirlesoordonnées
³
x¡!
AB ,y¡!
AB
´
quivér ient,d'aprèsnotredénition
¡!
ABÆ x¡!
AB
¡
!
i Å y¡!
AB
¡
!
j
Coordonnéesduveteur
¡!
AB
Leproblème,'estdefairelelienentre
¡!
ABet
¡!
O Aet
¡!
OB .
Maisoui!Biensûr!Utilisonsnotrebonnevieille...
...relationdeCHASLES!
Coordonnéesduveteur
¡!
AB
Eneffet,
¡!
ABÆ
¡!
AOÅ
¡!
OB
Æ¡
¡!
O AÅ
¡!
OB
Æ¡
³
x
A
¡
!
i Åy
A
¡
!
j
´
Åx
B
¡
!
i Åy
B
¡
!
j
Æ¡x
A
¡
!
i ¡y
A
¡
!
j Åx
B
¡
!
i Åy
B
¡
!
j
Æ(x
B
¡x
A )
¡
!
i Å
¡
y
B
¡y
A
¢
¡
!
j
Or
¡!
ABÆ x¡!
AB
¡
!
i Å y¡!
AB
¡
!
j
Don...
Coordonnéesduveteur
¡!
AB
Théorème20. Leveteur
¡!
ABapouroordonnées
¡
x
B
¡x
A ,y
B
¡y
A
¢
Combinaisonlinéairedeveteurs
Supposonsquenoustravaillonsdansunrepère(O,
¡
!
i,
¡
!
j)etquenousonnaissonsdeuxveteursetleursoordonnées:
¡
!
u
2
3
!
¡
!
w
9
4
!
Onpeutsedemanderquellessontlesoordonnéesde2
¡
!
u¡
¡
!
w.
Ilsuftd'utilisernotrebase.
¡
!
u Æ2
¡
!
i Å3
¡
!
j,don2
¡
!
uÆ4¡!Å6
¡
!
j
¡
!
wÆ9
¡
!
i Å4
¡
!
j,don¡
¡
!
wơ9
¡
!
i ¡4
¡
!
j
Finalement
2
¡
!
u¡
¡
!
wÆ4
¡
!
i Å6
¡
!
j ¡9
¡
!
i ¡4
¡
!
j Æ¡5
¡
!
i Å2
¡
!
j
Onobservedonque,suretexemple,
x
2
¡
!
u¡
¡
!
w Æ
2x¡!
u
¡ x¡!
w y
2
¡
!
u¡
¡
!
w Æ
2y¡!
u
¡ y¡!
w
Ilresteàprouverqueelarestevraipourn'impor tequelveteuretn'impor tequelleombinaison.
¡
!
u
x¡!
u
y¡!
u
!
¡
!
w
x¡!
w
y¡!
w
!
Quellessontlesoordonnéesduveteura
¡
!
uÅb
¡
!
w,aveaetbdesnombresréelsxés.
a
¡
!
u Åb
¡
!
w Æa
³
x¡!
u
¡
!
i Å y¡!
u
¡
!
j
´
Åb
³
x¡!
w
¡
!
i Å y¡!
w
¡
!
j
´
Æ ax¡!
u
¡
!
i Å ay¡!
u
¡
!
j Å bx¡!
w
¡
!
i Åby¡!
w
¡
!
j
Æ
³
ax¡!
u Å
bx¡!
w
´
¡
!
i Å
³
ay¡!
u Åby¡!
w
´
¡
!
j
Combinaisonlinéairedeveteurs
Théorème21. Nousretiendronsdonqueleveteura
¡
!
uÅb
¡
!
wapouroordonnées
³
ax¡!
u Å
bx¡!
w ,
ay¡!
u Åby¡!
w
´
Aufait,queveutdireombinaisonlinéaireàvotreavis?
Lesoordonnéesd'uneombinaisondeveteurssontégalesauxombinaisonsdesoordonnées...
Coordonnéesdumilieud'unsegment
SoitIlemilieud'unsegment[A;B℄.SupposonsquenousonnaissionslesoordonnéesdeAetB.Commentendéduireles
oordonnéesdeI?
QuiditoordonnéesdeIdans(O,
¡
!
i,
¡
!
j)ditoordonnéesde
¡!
OIdanslabase(
¡
!
i ,
¡
!
j).
Ilfaudraitdonessayerderelier
¡!
OIave
¡!
O Aet
¡!
OB ...
Queonnaissez-vousommerelationvetor ielleentreI,AetB?
Coordonnéesdumilieud'unsegment
Parexemple
¡
!
AIÆ
¡
!
IB
IlnousmanqueO...ommentfaire?
LarelationdeCHASLESofourse...
¡!
AOÅ
¡!
OIÆ
¡!
IOÅ
¡!
OB
¡!
OI¡
¡!
IOÆ¡
¡!
AOÅ
¡!
OB
¡!
OIÅ
¡!
OIÆ
¡!
O AÅ
¡!
OB
2
¡!
OIÆ
¡!
O AÅ
¡!
OB
Coordonnéesdumilieud'unsegment
¡!
OIÆ 1
2
¡
¡!
O AÅ
¡!
OB
¢
etdon
Théorème22. LemilieuIde[A;B℄apouroordonnées
³
x
A Åx
B
2 ,
y
A Åy
B
2
´
8.2 Colinéar itéetonséquenes
Rappelez-vous:sideuxveteurs
¡
!
u
x
y
!
et
¡
!
u 0
x 0
y 0
!
sontolinéaires,elaveutdirequ'ilexisteunréelktelque...
...
¡
!
u 0
Æk
¡
!
u
Pointdevueoordonnées,çadonne...
...x 0
Ækxety 0
Æky
Quepensez-vousdex 0
y¡y 0
x?
Etoui,'est...
...nul
Théorème23.
¡
!
u
x
y
!
et
¡
!
u 0
x 0
y 0
!
sontolinéairessi,etseulementsi,
x 0
y¡yx 0
Æ0
Pourquoil'ai-jeappeléNémo?
Montrerque3pointssontalignés
Est-equelespointsA(2;3),B(5;7)etC(¡6;¡8)sontalignés?
LethéorèmedeNémodevraitvousaideràtrouver...
Regardez
¡!
ABet
¡!
AC ...
Est-equedesdroitessontparallèles?
A(¡4;¡1),B(4;5),C(3;¡2)etD(7;1).
Est-equelesdroites(AB)et(CD)sontparalèles?
8.3 Équationsdedroitesetolinéar ité
ConsidéronsdeuxpointsxésAetB.Commenttraduirevetor iellementqu'unpointMappar tientàladroite(AB)?
Pasd'idée?Quepensez-vousdesveteurs
¡¡!
AMet
¡!
AB?
Bienjoué!Ilssontolinéaires!Commentendéduireuneéquationde(AB),'estàdireunerelationentrelesordonnéesetles
absissesdespointsde(AB)?
LethéorèmedeNémobiensûr!Vousn'êtespasonvainu(e)?Voyonsunexemple.
Déter minationd'uneéquationdedroite
PrenonsA(2;3)etB(¡1;5).UnpointM(x;y)appar tientà(AB)si,etseulementsi,...
¡¡!
AM
x¡2
y¡3
!
et
¡!
AB
¡3
2
!
sontolinéaires,'estàdire...
...si,etseulementsi,2(x¡2)¡(¡3)(y¡3)Æ0
equidonne,aprèsaluls2xÅ3y¡13Æ0.Unpetitremaniementnousper metderetrouveruneér iturehabituelle...
yơ 2
3 xÅ
13
3
Veteurdireteur
Leveteur
¡!
ABapourdiretionelledeladroite(AB):onditque'estunveteurdireteurdeladroite(AB).
Ildoitexisterunlienentreveteurdireteuretoefientdireteur...trouvez-le!
Coordonnéesduentredegravitéd'untr iangle
SoitABCuntr iangle.OnnoteA 0
lemilieude[BC℄,B 0
lemilieude[AC℄etC 0
lemilieude[AB℄.Commevouslesavez,leentrede
gravitéGdutr iangleABCestl'intersetiondesmédianes.
Onseplaedanslerepère
¡
A,
¡!
AB,
¡!
AC
¢
.
QuellessontlesoordonnéesdeA,B,C,A 0
,B 0
etC 0
?
Déter minezdeséquationsdesdroites(AA 0
)et(BB 0
).
Déduisez-enlesoordonnéesdeG.
Calulezlesoordonnéesde
¡¡!
AA 0
et
¡!
AGpuisretrouvezunepropr iétévueen3 ème
.
Déter minezlesoordonnéesduveteur
¡!
GAÅ
¡!
GBÅ
¡!
GC.
8.4 Repèreor thonor mal
Dénition24. Unrepère(O,
¡
!
i,
¡
!
j)estditor thogonallorsquelesdroites(O,
¡
!
i )et(O,
¡
!
j)sontperpendiulaires. Unrepère
(O,
¡
!
i ,
¡
!
j)estditor thonormallorsqu'ilestor thogonaletquelesveteurs
¡
!
i et
¡
!
j sonttousdeuxdenor me1.
Obser vezettemagniquegure
¡
!
i
¡
!
j
O A
B
(x
B
¡x
A )
¡
!
i
(y
B
¡y
A )
¡
!
j
x
A
x
B y
A y
B
Pouvez-vousalulerladistaneABenfontiondesoordonnéesdeAetdeB?
DistanedansunR.O.N.
Bonsangmais'estbiensûr!GrâeànotrebonvieuxthéorèmedePythagore!
Effetuezladémonstrationetpréisezpourquoiealuln'estvalablequedansunR.O.N.
Montrerqu'unquadr ilatèreestunretangle
DansunR.O.N.(O,
¡
!
i ,
¡
!
j),ononsidèrelesquatrepoints
A(¡1;3) B(3; p
5) C(2;¡3) D(¡2;¡ p
5)
Quelleestlanatureduquadr ilatèreABCD?
Équationdeerle
Leplanestmunid'unR.O.N.(O,
¡
!
i ,
¡
!
j).
LespointsA(¡3;¡4),B(1,8;4,7)etC(1,4;¡4,8)sont-ilssurleerleCdeentreOetderayon5?
ÀquelleonditionsurxetyunpointM(x;y)est-ilsurC?
