I Qu’est-cequ’unvecteurduplan?

Veteurs et repères du Plan

I

Qu’est-ce qu’un vecteur du plan ?

Nousnepouvonspas,ànotreniveau,donnerunedénitionr igoureused'unveteurduplan.Disonsqueonrètement,un

veteurestundéplaement:

A B C

D E F

G

H I

¡

!

d

¡

!

d

¡

!

d

LedéplaementdeAversBestlemêmequeeluideDversEoudeHversI.OnappelleedéplaementunVECTEURdéni

par

– unediretion:elledeladroite(AB);

– unsens:eluideAversB;

– unenor me:quiestégaleàlalongueurAB.

 ^{ilnefautpasonfondresensetdiretion:parexemple}

¡!

IHet

¡!

ABontlamêmediretion(arlesdroites(AB)et(IH)

sontparallèles)maisn'ontpaslemêmesens.

Lesveteurs

¡!

AB,

¡!

DEet

¡!

HIsontdonlesreprésentantsd'unmêmeveteurarilsontmêmesens,mêmediretionetmême

nor me:onpeutdondésignereveteurparunnomunique,parexemple

¡

!

d.

Lanormeduveteur

¡!

ABestégaleàlalongueurAB.Pourdésignerlanor mede

¡

!

d,onutilise

°

°

¡

!

d

°

°

.Ona

°

°

¡

!

d

°

°

ÆABÆDEÆHI

Remarque11 :

¡!

ABÆ

¡¡!

CDÆ

¡

!

u sietseulementsiABDCestunparallélogramme:

A

B

C D

¡

!

u

¡

!

u

Remarque22 :Dansmonjeunetemps,ondisaitquedeuxveteurs

¡!

ABet

¡!

ACétaientégaux a

sietseulementsilessegments

[A;D℄et[B;C℄avaientlemêmemilieu:pourquoi?

a

Enfait,ondisaitqu'ilsétaientéquipolents...

II

Somme de vecteurs

Leseret:jemedéplaedeAversBpuisdeBversC:globalement,jesuispar tideAetjesuisarrivéenC

A

B

C

¡

!

u

¡

!

v

¡

!

uÅ

¡

!

v

C'estenfaitlafameuse

RelationdeCHASLES

¡!

ABÅ

¡!

BCÆ

¡!

AC

Maisqu'enest-ildeettesommelorsqu'ononsidèredeuxveteursquelonques

¡

!

u et

¡

!

v ?

Ilsuftdeprendredesreprésentantsde

¡

!

u et

¡

!

v bienhoisis:

A

B

C

¡

!

u

¡

!

v

¡

!

u

¡

!

v

¡

!

uÅ

¡

!

v

Onpeutaussi«penserparallélogramme»

A

B D

C

¡

!

u

¡

!

v

¡

!

uÅ

¡

!

v

III

Vecteur nul - Opposé d’un vecteur

JeparsdeA,jevaisenBetjeretour neenA:larelationdeCHASLESleonr me

¡!

ABÅ

¡!

BAÆ

¡!

AA

Quepeut-ondiredeeveteur

¡!

AA?

Quelleestsanor me?

Quelleestsadiretion?

Quelestsonsens?

Onappelleeveteurdenor menulleleveteurnuletonlenote

¡

!

0.

Plusgénéralementsiononsidèreunveteur

¡

!

u,onpeuttoujourstrouverunveteurdemêmediretion,demêmenor meet

desensopposé:quandonl'ajouteà

¡

!

u,onobtientleveteurnul.

Onl'appelleleveteuropposéde

¡

!

u etonlenotebiensûr¡

¡

!

u

¡

!

u

¡

¡

!

u

IV

Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Nousavonsdéjàabordéleproblèmeenparlantdel'opposéduveteur

¡

!

u qu'onnote¡

¡

!

u,'estàdire(¡1)£

¡

!

u.

Nouspouvonsaisémentimaginerqueleveteur3

¡

!

u estenfaitégalà

¡

!

u Å

¡

!

u Å

¡

!

u,etlesadditionsdeveteurs,ononnaît!

Nouspouvonsmêmeomprendreque¡3

¡

!

u,'est

¡

¡

¡

!

u

¢

Å

¡

¡

¡

!

u

¢

Å

¡

¡

¡

!

u

¢

Vousomprendrezdonsansproblèmeladénitionsuivante

Dénition1Produitd'unveteurparunnombreréel

Soit

¡

!

u unveteurnonnuletkunnombreréelnonnul.Alorsonnotek

¡

!

u leveteur

– ayantlamêmediretionque

¡

!

u ;

– ayantlemêmesensque

¡

!

u sikÈ0,lesensontrairesinon;

– ayantpournor mek

°

° ¡!

u

°

°

sikÈ0et¡k

°

° ¡!

u

°

°

sinon.

¡

!

u k

¡

!

u(kÈ0 )

k

¡

!

u(kÇ0 )

Cepetitdessinrésumelesdifférentsasdegure.

.

V

Vecteurs colinéaires

a. Dénition

Nousavonsremarquéque

¡

!

u etk

¡

!

u avaientlamêmediretion.

Inversement,sideuxveteursnonnuls

¡

!

u et

¡

!

v ontlamêmediretion,alorsonpeutimaginerqu'ilexisteunréelktelque

¡

!

v Æk

¡

!

u.

Parexemple,s'ilsontlemêmesens,alorsleveteur

°

°¡!

v

°

°

°

°¡!

u

°

°

¡

!

u a

– lemêmesensque

¡

!

v (ar...

– lamêmediretionque

¡

!

v (ar...

– lamêmenor meque

¡

!

v (ar...

don

¡

!

v Æ

°

°¡!

v

°

°

°

°¡!

u

°

°

¡

!

u,equionr menotresupposition.

Avantderésumererésultat,unpeudevoabulaire:

Dénition2Veteursolinéaires

Onditquedeuxveteurssontolinéairessi,etseulementsi,ilsontlamêmediretion.

Remarque33 :DeuxCOpainspar tagentleurpain,deuxCOrreteursduBapar tagentlemêmereteur,deuxveteursCOli-

néairespar tagentlamêmeligne...

A

B

D

C

¡

!

u

¡

!

v

Notreobser vationpréédentevadonnousper mettred'énonerlethéorèmepr imordialesuivant:

Théorème1

Deuxveteurs

¡

!

u et

¡

!

v sontolinéairessi,etseulementsi,ilexisteunréelktelque

¡

!

v Æk

¡

!

u

 ^{Vousêtreparallèleferezbiensiattentionellesonttousàparlerleursdepointsveteursouolinéairesauunpointetennonommun.pasdeveteursOnnepeutparallèlespasdire!Deuxlamêmedroiteshosepeuventdes}

veteursarlesveteurs...n'ontpasdepoints!Cesontdesdéplaements,pasdesensemblesdepointsommeles

droites.

b. Conséquenes

1. Sionarr iveàmontrerquedeuxveteurs

¡!

ABet

¡¡!

CDsontolinéaires,onpourraendéduirequelesdroites(AB)et(CD)sont

parallèles.

2. Sionarr iveàmontrerquedeuxveteurs

¡!

ABet

¡!

ACsontolinéaires,onpourraendéduirequelesdroites(AB)et(AC)sont

parallèles.Or,ommevousl'avezremarqué,lesdroites(AB)et(AC)ontlepointAenommun.Quepensez-vousde2droites

parallèlesayantunpointenommun?Ellessontbiensûr...... b

EtdonlespointsA,BetCappar tiennentàunemêmedroite:ilssontalignés.

b

D'aprèsundesaxiomesd'Eulidequiestlabasedelagéométriequevousétudiezaulyée:«pardeuxpointsdistintsduplanilpasseunedroiteetune

seule»

Àretenir

Montrerquedeuxveteurssontolinéairespeutnousaideràmontrerquedeuxdroitessontparallèlesouquetroispointssont

alignés.

Leproblèmevaêtred'arr iveràprouverquedeuxveteurssontolinéaires:ilsufrade«penserBASE»...

VI

Base du plan vectoriel

Euh..leplanvetor iel,'estquoi?Disonsque'estl'ensembledesdéplaementsendimension2.Ondiraalorsque

Dénition3Base

Deuxveteursfor mentunebaseduplanvetor ielsi,etseulementsi,ilsNEsontPASolinéaires.

Etonadmettralerésultatpr imordialsuivant:

Théorème2

Soit

¡

!

u et

¡

!

v deuxveteursNONolinéaires:ilsfor mentunebaseduplanvetor iel.Alorsonpeutexpr imern'impor tequel

veteur

¡

!

t souslafor me

¡

!

t Æx

¡

!

uÅy

¡

!

v

avexetydesréels.LesnombresxetysontappeléslesCOORDONNÉESde

¡

!

t danslaBASE

¡

¡

!

u,

¡

!

v

¢

Leserettientdansledessinsuivant:

¡

!

v

¡

!

v

O

x

¡

!

u

y

¡

!

v

¡

!

t M(x;y)

¡

!

t

Nousn'ironspasplus loinpourl'instant,maisnousretiendronsqu'ilsera utiled'expr imer haqueveteurd'unproblème

donnéenfontiondedeuxveteursdebaseintelligemmenthoisis...

VII

Des exercices. . . basiques.

Nousallonsétudiertoutessor tesd'exeriesquinousfour nirontautantd'outilspourrésoudrenosenigmesmathématiques...

a. «Voir»deségalitésvetor ielles

ConsidérezavelaplusgrandeattentionunparallèlogrammeABCDdeentreO:donnezunmaximumd'égalitésvetor ielles.

Enpar tiulier,trouvezdeségalitésvetor iellesquiper mettrontdearatér iser

lemilieud'unsegment.

C'estàdirequipermettentdeonlurequelepointétudiéestàoupsûrlemilieudusegmentétudié.

A B C D

O

Nousallonsainsipouvoirrésoudrel'exeriesuivant:

L Exercice 1 Parallèlogrammes et milieux

ABCDestunparallélogrammedeentreO.LespointsM,N,PetQsonttelsque:

¡¡!

AMÆ 3

2

¡!

AB

¡!

BNÆ 3

2

¡!

BC

¡!

CPÆ 3

2

¡¡!

CD

¡¡!

DQÆ 3

2

¡!

DA

1. a) Démontrezque

¡¡!

MBÆ

¡!

DP.

b) Déduisez-enqueOestlemilieude[MP℄.

2. DémontrezdemêmequeOestmilieude[Q N℄.

3. Déduisezdesquestionspréédenteslanatureduquadr ilatèreMNPQ .

A B

C D

O

Q

M N

P