ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 4 13 novembre 2015
2 exercices imposés (I et II), et un exercice au choix parmi 3 (III, IV ou V) Exercice I. (compétence principale : A, secondaire : T,C)
Soit le polynôme P d'expression P(x) =x4+ 1. 1. L'équation P(x) = 0 a-t-elle des solutions ? 2. Le polynôme Qdéni par Q(x) =x2+√
2x+ 1 divise-t-ilP? 3. Quelle(s) remarque(s) pouvez-vous faire ?
Exercice II. (compétence principale : T, secondaire : C) Soitα etβ deux suites satisfaisant les relations
∀n∈N,
αn+1 = 3αn+βn βn+1= 2αn+ 4βn et
α0=−3
β0 =−2
On introduit deux suites auxiliaireszett en posant zn=αn+βn et tn= 2αn−βn. 1. Montrer que les deux suites zett sont géométriques.
2. Donner l'expression dezn ettn en fonction den, puis celle deαn etβn. Exercice III. (compétence principale : R,T, secondaire : C)
Etudier les variations de la fonction h dénie parh(x) = min{x4−x2+ 1;−x3+x+ 1}.
(On pourra commencer par s'intéresser à la diérence des deux polynômes, an de réécrirehsans le "min".) Exercice IV. (compétence principale : R,T secondaire : C)
Résoudre l'inéquation (I) : 2
(lnx)2 − 3 2 lnx −1
2 ≤0
Exercice V. (compétence principale : R,T, secondaires : C)
Déterminer l'ensemble des polynômesP ∈R3[X]tels que P(1) =P(−1) = 1etP0(1) = 0.
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