G261. Méli-mélo de droites et de coniques
Je trace dans le plan un certain nombre de cercles puis un même nombre d’ellipses et de lignes droites. Toutes ces figures donnent un maximum de 2011 points d’intersection.
Dénombrer les cercles et les ellipses.
Solution de Claude Felloneau Réponse : Il y a 18 cercles et 11 ellipses
Soitnle nombre de cercles etple nombre d’ellipses. le tableau suivant donne le nombre maximum de points d’intersection obtenus.
E1 E2 card(E1∩E2) nbre de (E1,E2) Total
ellipse ellipse 4 p(p−1)/2 2p(p−1)
ellipse cercle 4 np 4np
ellipse droite 2 p2 2p2
cercle cercle 2 n(n−1)/2 n(n−1)
cercle droite 2 np 2np
droite droite 1 p(p−1)/2 p(p−1)/2
On a donc
5
2p(p−1)+6np+2p2+n(n−1)=2011. (1) On en déduit que 5
2p(p−1)+2p262011, donc 9p2−5p−402260 d’oùp621.
De plus, (1) s’écrit :
n2+(6p−1)n+9 2p2−5
2p−2011=0 (2)
Le discriminant∆1=(6p−1)2−18p2+10p+8044=18p2−2p+8045 doit être un carré parfait. La seule valeur dep, inférieure à 21, qui convient est 11.
On a alors :n2+65n−1494=0. Ce qui donnen=18.
