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D1846. En lignes droites...pour le nombre pi

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

D1846. En lignes droites...pour le nombre pi

Que j’aime à faire connaître ce nombre utile aux sages….

Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C) habitent le long du chemin des Matheux selon le plan ci-après

Trois routes R₁,R₂ et R₃ des Platanes, des Séquoïas et des Merisiers se rencontrent au carrefour H du Hêtre pourpre tandis que la route R₂ et le chemin des Matheux sont perpendiculaires au carrefour de Leibniz (L).

D’un pas constant Alice parcourt la distance AC en 5 minutes et la distance AL + LH en 9 minutes. Cunégonde du même pas constant parcourt la distance CL + LH en 8 minutes.

A vol d’oiseau, les points A,B et C sont respectivement à égale distance des droites (R1,R2) , des droites (R1,R3) et enfin des droites (R2,R3 ).

Les trois amis se promènent en couple : (A&C) ou (A&B) ou (B&C) le long des côtés des trois triangles HAC ou HAB ou HBC dont les sommets sont le point H et leurs maisons respectives.

Déterminer le couple qui lors de sa promenade est en mesure de calculer le plus rapidement les neuf premières décimales de π par sommation de fractions rationnelles positives et négatives dont on donnera la liste.

Solution proposée par Maurice Bauval

Les distances AL, BL, C, LH sont désignées par a, b, c, h. Un choix convenable des unités donne a+c = 5, a+h=

9, c+h = 8 d’où a = 3, c = 2, h = 6.

LHB = (LHR1 + LHR3)/2 = LHA + LHB = atan(3/6) – atan(2/6) = atan

= atan donc b = 6/7.

Angles du triangle HAC : A = atan 2, C = atan 3, H = π /4 car A+2C = atan

= 3 π/4 Angles du triangle HAB : A = atan 2, B = π – atan 7, H = atan

= atan Angles du triangle HBC : B = atan 7, C = atan 3 , H = atan

+atan = atan AHC et BHL ont même bissectrices.

(2)

Le parcours favorable est celui de A et C : Π = 4(atan +atan )

atan avec une erreur de l’ordre de 10-10 est donné par la somme de (-1)k/[(2k+1)22k+1] pour k variant de 0 à 13 atan avec une erreur de l’ordre de 10-10 est donné par la somme de (-1)k/[(2k+1)32k+1] pour k variant de 0 à 8 Le produit de la somme de ces 23 fractions par le nombre 4 donne l’approximation :

Le quotient donne 3,1415926535

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D1846 - En ligne droite... Pour le nombre π

  Trois routes R₁,R₂ et R₃ des Platanes, des Séquoïas et des Merisiers se rencontrent au carrefour H du Hêtre pourpre tandis que la route R₂ et le chemin des Matheux