Que j’aime à faire connaître ce nombre utile aux sages….
Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C) habitent le long du chemin des Matheux selon le plan ci-après
Trois routes R₁,R₂ et R₃ des Platanes, des Séquoïas et des Merisiers se rencontrent au carrefour H du Hêtre pourpre tandis que la route R₂ et le chemin des Matheux sont perpendiculaires au carrefour de Leibniz (L).
D’un pas constant Alice parcourt la distance AC en 5 minutes et la distance AL + LH en 9 minutes. Cunégonde du même pas constant parcourt la distance CL + LH en 8 minutes.
A vol d’oiseau, les points A,B et C sont respectivement à égale distance des droites (R1,R2) , des droites (R1,R3) et enfin des droites (R2,R3).
Les trois amis se promènent en couple : (A&C) ou (A&B) ou (B&C) le long des côtés des trois triangles HAC ou HAB ou HBC dont les sommets sont le point H et leurs maisons respectives.
Déterminer le couple qui lors de sa promenade est en mesure de calculer le plus rapidement les neuf premières décimales de π par sommation de fractions rationnelles positives et négatives dont on donnera la liste.
Avec comme unité de distance, celle parcourue par chaque matheux en une minute, AC=5, AL-CL=1 donc AL=3, CL=2 et LH=6, puis AH=3√5, CH=2√10. Soient D et E les extrémités du chemin des Matheux, à ses intersections avec R1 et R3.
A, B et C sont respectivement sur les bissectrices de (R1, R2), (R1, R3) et (R2, R3)
Si α est l’angle AHL, tanα=AL/LH=1/2, LH/HD=cos2α=(1-1/4)/(1+1/4)=3/5 donc HD=10, LD=8 : DA=5 et DC=10 . De même si γ est l’angle LHC, tanγ=CL/LH=1/3, LH/HE=cos2γ=(1-1/9)/(1+1/9)=4/5 donc HE=15/2 et LE=9/2 ; ainsi DE=25/2 : le triangle EHD est semblable au triangle isiaque (3, 4, 5) donc rectangle en H ; HB est la diagonale d’un carré de coté c tel que c/(HD-c)=3/4 soit c=3HD/7=30/7,
BL=√(2c2-HL2)=6/7 donc si β est l’angle BHL, tanβ=BL/HL=1/7. Le développement
Arctan x =x-x3/3+x5/5+ ...+(-1)kx2k+1/(2k+1)+... fournit une série alternée qui converge assez lentement pour x=1 (où Arctan(1)=π/4), mais beaucoup plus rapidement pour x=1/n lorsque n augmente. Comme tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb), π/4=Arctan(1/2)+Arctan(1/3) et Arctan(1/2)=Arctan(1/3)+Arctan(1/7) : la meilleure convergence est obtenue avec les angles β et γ, soit pour B et C :
donc π/4=2γ+β=(2/3+1/7)-(2/33+1/73)/3+... +(-1)k(2/32k+1+1/72k+1)+...
